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Ch. 5
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Ch. 6
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Ch. 8
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Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 11
Synthèse
Exercices de synthèse - Objectif BAC
9 professeurs ont participé à cette page
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81
[Modéliser.] À un croisement, se trouve un feu tricolore dont les feux sont alternativement vert, rouge ou orange avec des probabilités respectives de \text{0,4, 0,5 } et \text{0,1} Des cyclistes empruntent régulièrement ce croisement et une étude statistique a permis de déterminer les résultats suivants :
1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
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2. Calculer la probabilité que le cycliste ne s'arrête pas au feu tricolore.
3. Calculer la probabilité que le feu soit vert, sachant que le cycliste ne s'est pas arrêté au feu.
3. Calculer la probabilité que le feu soit vert, sachant que le cycliste ne s'est pas arrêté au feu.
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82
[Modéliser.]
Dans un club sportif regroupant 250 adhérents, on choisit un membre au hasard et on considère les événements suivants :
1. Déterminer la probabilité \mathrm{P}_{\mathrm{J}}(\mathrm{F}) et \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{J}}}(\overline{\mathrm{F}}).
2. Parmi les femmes, il y a 50 compétiteurs.
En tout, 45 jeunes sont compétiteurs, dont 25 femmes. 100 hommes ne font pas de compétition.
a. Réaliser un diagramme de Venn présentant la répartition des membres dans le club.
En tout, 45 jeunes sont compétiteurs, dont 25 femmes. 100 hommes ne font pas de compétition.
a. Réaliser un diagramme de Venn présentant la répartition des membres dans le club.
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b. En déduire la probabilité que le membre soit un
homme sachant que c'est un jeune compétiteur.
c. Quelle est la probabilité que le membre soit un homme sachant que c'est un compétiteur ?
3. Combien d'arbres pondérés faisant intervenir \text{F} , \text{J} et \text{C} peut-on imaginer ?
c. Quelle est la probabilité que le membre soit un homme sachant que c'est un compétiteur ?
3. Combien d'arbres pondérés faisant intervenir \text{F} , \text{J} et \text{C} peut-on imaginer ?
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83
[Modéliser.]Pour savoir si un courriel est indésirable, on lui fait passer un test. On note \text{T} l'événement « le test est positif » et \text{S} l'événement « le courriel est un spam ».
Les probabilités liées à \text{T} et \text{S} sont récapitulées dans le tableau ci-dessous.
| \text{S} | \overline{\mathrm{S}} | Total | |
| \text{T} | 0,23 | ||
| \overline{\mathrm{T}} | 0,73 | ||
| Total | 0,25 |
1. Quelle est la probabilité pour que le test ne donne pas un résultat fiable ?
2. Quelle est la probabilité pour que le test soit négatif sachant que le mail est un spam ?
3. Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que le mail n'est pas un spam ?
4. Si l'on applique ce test sur dix courriels indépendamment les uns des autres et sans savoir si ce sont des spams ou pas, quelle est la probabilité qu'aucun test ne soit positif ?
5. Quelle est alors la probabilité qu'aucun courriel ne soit un spam ?
6. Si on répète quatre fois le même test sur un spam, chaque test étant supposé indépendant des autres, quelle est la probabilité que le test soit négatif à chaque fois ?
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84
[Représenter.]
Une fourmi se déplace sur les cases ci-dessous en partant
de la case \text{A} . Pour son premier mouvement elle se
déplace vers la droite ou la gauche avec une probabilité
de \dfrac{1}{2}. Si elle se déplace à droite, elle ira à nouveau à
droite avec une probabilité de 60 %. Si elle se déplace à
gauche, elle ira à nouveau à gauche avec une probabilité
de 80 %.
Quelle est la probabilité que la fourmi sorte du quadrillage après le troisième mouvement ?
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Quelle est la probabilité que la fourmi sorte du quadrillage après le troisième mouvement ?
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85
Python
[Modéliser.]
Pour calculer une approximation de \pi, on
choisit au hasard et indépendamment n points
dont l'abscisse et l'ordonnée sont toutes les deux entre
0 et 1. On calcule alors la proportion de points situés à
l'intérieur du disque de rayon 1 et de centre \text{O} .
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1. L'algorithme suivant teste si le point est à l'intérieur du disque de rayon 1 et de centre \text{O} . Recopier et compléter la ligne 6.
\boxed{
\begin{array} { rl } 1& \text { Intérieur } \leftarrow 0 \\
2& \text { n } \leftarrow 1000 \\
3&\text{ Répéter n fois : } \\
4&\quad \text { abscisse } \leftarrow \text { nombre aléatoire entre } 0 \text { et } 1 \\
5 & \quad \text { ordonnée } \leftarrow \text { nombre aléatoire entre } 0 \text { et } 1 \\
6&\quad \text { Si } \text { ... } \\
7&\quad \quad \text { Intérieur } \leftarrow \text { Intérieur } + 1 \\
8&\quad \text { Fin Si } \\
9& \text { Fin Répéter } \\
10&\text { Estimation } \leftarrow \text { Intérieur} \div \text {n} \\
11&\text { Estimation } \leftarrow 4 \times \text{Estimation}
\end{array}
}
2. Programmer cet algorithme à l'aide de Python.
3. Les sept premiers chiffres de l'écriture décimale de \pi sont 3\text{,}141 592. Donner une valeur approximative de n pour obtenir les quatre premiers chiffres corrects
avec l'algorithme. Conclure.
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86
[Modéliser.]
Un jeu de hasard consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. Si la carte est rouge, le joueur, sans remettre la carte, recommence avec une probabilité de \text{0,9} Si la carte est noire, le joueur recommence, sans remettre la carte, avec une probabilité de \text{0,6.}
1. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes ?
2. Représenter cette situation par un arbre de probabilité et le compléter.
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3. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes rouges ?
4. Quelle est la probabilité d'obtenir une carte rouge et une carte noire ?
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87
[Modéliser.] André est un piètre pêcheur : la probabilité qu'il réussisse à pêcher un poisson est égale à \text{0,3} chaque jour.
1. En supposant que le résultat de sa pêche est indépendant du résultat de la pêche du jour précédent, déterminer la probabilité qu'il attrape un poisson quatre jours de suite.
2. En supposant cette fois que la probabilité d'une pêche fructueuse augmente de \text{0,5} le jour suivant un échec et de \text{0,15} le jour suivant une réussite, et vaut 1 si elle devrait dépasser 1, calculer la probabilité qu'il attrape un poisson chacun des deux premiers jours puis la probabilité qu'il en attrape un chacun des trois premiers jours.
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88
En médecine
[Modéliser.]
Votre ami vient de passer les tests de dépistage d'une
maladie rare et incurable qui touche une personne sur
100\,000. Malheureusement, le test est positif. Espérant
une erreur de diagnostic, votre ami a demandé quelle
était la probabilité d'une erreur : le spécialiste lui a
répondu que, pour 99 % des malades, le résultat est
positif, alors que, pour 99\text{,}9 % des personnes saines, le
résultat est négatif.
De manière surprenante, vous réussissez à utiliser ces données pour remonter le moral de votre ami.
Soient \text{M} et \text{T} les événements : \text{M} : « la personne est malade » ;
\text{T} : « le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant l'expérience.
De manière surprenante, vous réussissez à utiliser ces données pour remonter le moral de votre ami.
Soient \text{M} et \text{T} les événements :
1. Construire un arbre pondéré modélisant l'expérience.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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2. Déterminer la probabilité qu'une personne choisie ait un test positif.
3. Déterminer la probabilité qu'une personne soit malade, sachant que le test est positif.
4. Rassurer votre ami.
3. Déterminer la probabilité qu'une personne soit malade, sachant que le test est positif.
4. Rassurer votre ami.
Dans la vie professionnelle
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Le/la biochimiste travaille
en laboratoire et effectue
des recherches pour mieux
comprendre les propriétés de la
matière vivante. En particulier,
il/elle peut s'intéresser aux effets
d'un médicament, d'un sérum ou
d'un vaccin sur notre organisme pour en
concevoir de nouveaux, rapporter les résultats observés
et faire éventuellement des recommandations. Durant
tout le processus, les probabilités sont présentes.
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89
[Modéliser.]
Trois dés cubiques, indiscernables au toucher, sont placés dans une urne.
Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6.
Le troisième est spécial : trois de ses faces sont numérotées 6, les trois autres sont numérotées 1.
On tire de l'urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et on les lance.
On note \text{A} l'événement : « les deux dés tirés sont normaux ».
On note \text{B} l'événement : « les deux faces supérieures obtenues après le lancer sont numérotées 6 ».
1. a. Définir l'événement contraire de \text{A.}
b. Calculer les probabilités de \text{A} et de \overline{\text{A}}.
2. a. Calculer \mathrm{P_{A}(B),} puis \mathrm{P(B \cap A)}.
b. Calculer \text{P(B).}
3. Calculer \mathrm{P_{B}(A).}
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90
[Chercher.]
On considère un dé pipé à quatre faces. La probabilité de la face k (pour k un nombre entier entre 1 et 4) est le k ième terme d'une suite géométrique de raison \dfrac{1}{2}.
1. Déterminer la probabilité de la face 1.
2. En déduire la loi de probabilité du résultat de ce dé.
3. On note :
\text{A :} « obtenir 1 ou 3 en lançant le dé » ;
\text{B :} « obtenir 3 ou 4 en lançant le dé ».
Les événements \text{A} et \text{B} sont-ils indépendants ?
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91
[Calculer.]
Soient p un réel tel que 0 \lt p \lt 1 et \alpha(p) le nombre défini par \alpha(p)=-\dfrac{1}{5} p^{2}-\dfrac{3}{10} p+\dfrac{1}{2}.
On considère deux événements \text{A} et \text{B} tels que \mathrm{P(A)} = p, \mathrm{P (A \cap B) = p^{2}} et \mathrm{P(\overline{A} \cap B) = \alpha (p).}
L'objectif est de trouver p pour que \text{A} et \text{B} soient indépendants.
1. Montrer que, pour tout p \in ] 0 ; 1[, \alpha(p)=(1-p)\left(\dfrac{1}{5} p+\dfrac{1}{2}\right).
2. Donner un critère sur p pour que \text{A} et \text{B} soient indépendants.
3. Trouver p pour que ce critère soit réalisé.
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92
[Chercher.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements tels que \mathrm{P(A)}= x, \mathrm{P(B) = 1- }x et \mathrm{P(A \cap B ) = \dfrac{1}{4}.}
1. Établir que x \in[0\:; 1].
2. Trouver toutes les valeurs de x possibles pour que \text{A} et \text{B} soient indépendants.
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93
[Modéliser.]
Chaque année, une ruche a un risque de 5 % d'être attaquée par un frelon asiatique. Dans ce cas, ses chances de survie sont de 10 %. Si la ruche n'est pas attaquée, ses chances de survie sont de 90 %. Chaque année, le risque d'attaque est le même et les attaques sont indépendantes les unes des autres.
1. Quelle est la probabilité que la ruche survive trois ans ?
2. Quelle serait cette même probabilité si la menace du frelon asiatique n'existait pas ?
2. Quelle serait cette même probabilité si la menace du frelon asiatique n'existait pas ?
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94
[Calculer.]
Deux automobilistes empruntent indépendamment l'un de l'autre une route forestière sur laquelle la probabilité de rencontrer un animal sauvage est de 0\text{,}2.
1. Quelle est la probabilité qu'au moins un des deux automobilistes rencontre un animal sauvage ?
2. Écrire un algorithme permettant de déterminer le nombre minimal de trajets qu'il faut parcourir pour que la probabilité de rencontrer un animal sauvage au moins une fois soit supérieure à 0\text{,}9.
2. Écrire un algorithme permettant de déterminer le nombre minimal de trajets qu'il faut parcourir pour que la probabilité de rencontrer un animal sauvage au moins une fois soit supérieure à 0\text{,}9.
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95
[Raisonner.]
Dans cet exercice, on suppose que la probabilité de donner naissance à une fille est la même que celle de donner naissance à un garçon. Donc \mathrm{P(F) = P(G) = 0\text{,}5 .} De plus, on admet que le sexe d'un enfant à la naissance est indépendant du sexe des enfants nés avant. Pedro-Miguel a deux enfants.
1. Lorsque le facteur est venu sonner à sa porte pour lui apporter un colis, c'est une fille qui a répondu. On ne sait pas si cette fille est l'aînée des deux enfants ou pas. Quelle est la probabilité que l'autre enfant de Pedro- Miguel soit un garçon : \dfrac{2}{3} ou \dfrac{1}{2}\:? Justifier.
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Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827)
est un mathématicien, physicien, astronome et homme politique français. Il retrouve vers 1772, quelques années après Thomas Bayes, le théorème de Bayes. En 1812, il publie sa Théorie analytique des probabilités qui jette les bases de la théorie des probabilités.
est un mathématicien, physicien, astronome et homme politique français. Il retrouve vers 1772, quelques années après Thomas Bayes, le théorème de Bayes. En 1812, il publie sa Théorie analytique des probabilités qui jette les bases de la théorie des probabilités.
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Martin Gardner (1914-2010)
est un écrivain américain de
vulgarisation mathématique et
scientifique. Il est le premier à
énoncer le paradoxe précédent
(qui n'en est pas vraiment un)
portant le nom de the Two Children
Problem dans une revue scientigique en 1959 : Mr.
Smith has two children. At least one of them is a boy.
What is the probability that both children are boys?
Martin Gardner a lui-même reconnu que le problème
était mal posé et pouvait alors accepter différentes
réponses. On retrouve ce même type de « paradoxe »
dans l'exercice 99.
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Club de Maths
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96
Défi
n personnes sont réunies dans une même pièce. À partir de combien de personnes la probabilité qu'au moins une d'entre elles ait son anniversaire le même jour qu'une autre est supérieure ou égale à 50 % ? On s'aidera éventuellement d'une calculatrice et on supposera qu'il y a 365 jours dans une année, et que les différents jours sont équiprobables.
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97
Défi
Une urne \text{A} contient x boules rouges et y boules noires. Une urne \text{B} contient u boules rouges et v boules noires. On prélève au hasard une boule de l'urne \text{A}, que l'on place dans l'urne \text{B}. On prélève alors une boule de l'urne \text{B.}
Sachant que le second tirage a permis d'obtenir une boule rouge, quelle est la probabilité qu'une boule rouge ait été tirée de l'urne \text{A ?}
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98
Enigme
Azra et Basile jouent à un jeu. Une urne contient n boules noires et 1 boule rouge. Ils tirent chacun leur tour une boule, sans remise. Lorsque l'un deux tire la boule rouge, il gagne et le jeu s'arrête.
Basile propose à Azra de choisir si elle joue la première ou pas. Azra se dit que jouer la première a un avantage : avoir la possibilité de tirer la boule rouge dès le premier tour.
Mais si elle tire une boule noire, Basile aura alors une probabilité plus grande de tirer la boule rouge.
Que conseiller à Azra ?
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99
Casse-tête
Deux prisonniers parmi trois, appelés \text{A,} \text{B} et \text{C,} doivent être exécutés. Ils le savent aussi, mais ne sont pas sûrs du nom de l'heureux épargné.
\text{A} dit : « La probabilité que je ne sois pas exécuté est \dfrac{1}{3}.
Si je demande au gardien le nom d'un des prisonniers (autre que le mien) qui va être exécuté, alors il ne reste que deux possibilités.
La probabilité que je survive monte alors à \dfrac{1}{2}. »
Pourtant, le prisonnier sait déjà, avant l'information donnée par le gardien, qu'un autre détenu va être exécuté : le gardien n'a donc donné aucune information concernant son exécution.
Pourquoi la probabilité de l'exécution a-t-elle changé ?
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah