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Synthèse





93
[Modéliser.]
Chaque année, une ruche a un risque de 55 % d’être attaquée par un frelon asiatique. Dans ce cas, ses chances de survie sont de 1010 %. Si la ruche n’est pas attaquée, ses chances de survie sont de 9090 %. Chaque année, le risque d’attaque est le même et les attaques sont indépendantes les unes des autres.

Probabilités conditionnelles - Synthèse - abeilles

1. Quelle est la probabilité que la ruche survive trois ans ?


2. Quelle serait cette même probabilité si la menace du frelon asiatique n’existait pas ?

89
[Modéliser.]
Trois dés cubiques, indiscernables au toucher, sont placés dans une urne.
Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6.
Le troisième est spécial : trois de ses faces sont numérotées 6, les trois autres sont numérotées 1.
On tire de l’urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et on les lance.
On note A\text{A} l’événement : « les deux dés tirés sont normaux ».
On note B\text{B} l’événement : « les deux faces supérieures obtenues après le lancer sont numérotées 6 ».

1. a. Définir l’événement contraire de A.\text{A.}


b. Calculer les probabilités de A\text{A} et de A.\overline{\text{A}}.


2. a. Calculer PA(B),\mathrm{P_{A}(B),} puis P(BA).\mathrm{P(B \cap A)}.


b. Calculer P(B).\text{P(B).}


3. Calculer PB(A).\mathrm{P_{B}(A).}

91
[Calculer.]
Soient pp un réel tel que 0<p<10 \lt p \lt 1 et α(p)\alpha(p) le nombre défini par α(p)=15p2310p+12.\alpha(p)=-\dfrac{1}{5} p^{2}-\dfrac{3}{10} p+\dfrac{1}{2}.

On considère deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)=p,\mathrm{P(A)} = p, P(AB)=p2\mathrm{P (A \cap B) = p^{2}} et P(AB)=α(p).\mathrm{P(\overline{A} \cap B) = \alpha (p).}

L’objectif est de trouver pp pour que A\text{A} et B\text{B} soient indépendants.

1. Montrer que, pour tout p]0;1[,p \in ] 0 ; 1[, α(p)=(1p)(15p+12).\alpha(p)=(1-p)\left(\dfrac{1}{5} p+\dfrac{1}{2}\right).


2. Donner un critère sur pp pour que A\text{A} et B\text{B} soient indépendants.


3. Trouver pp pour que ce critère soit réalisé.

82
[Modéliser.]
Dans un club sportif regroupant 250 adhérents, on choisit un membre au hasard et on considère les événements suivants :
  • F :\text{F :} « l’adhérent est une femme » ;
  • J :\text{J :} « l’adhérent est un jeune » ;
  • C :\text{C :} « l’adhérent participe à des compétitions ».
  • On sait que 115 adhérents sont des femmes, 75 sont des jeunes et 45 sont des jeunes femmes.

    1. Déterminer la probabilité PJ(F)\mathrm{P}_{\mathrm{J}}(\mathrm{F}) et PJ(F).\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{J}}}(\overline{\mathrm{F}}).


    2. Parmi les femmes, il y a 50 compétiteurs.
    En tout, 45 jeunes sont compétiteurs, dont 25 femmes. 100 hommes ne font pas de compétition.


    a. Réaliser un diagramme de Venn présentant la répartition des membres dans le club.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici


    b. En déduire la probabilité que le membre soit un homme sachant que c’est un jeune compétiteur.


    c. Quelle est la probabilité que le membre soit un homme sachant que c’est un compétiteur ?


    3. Combien d’arbres pondérés faisant intervenir F,\text{F} , J\text{J} et C\text{C} peut-on imaginer ?

    81
    [Modéliser.] ◉◉
    À un croisement, se trouve un feu tricolore dont les feux sont alternativement vert, rouge ou orange avec des probabilités respectives de 0,4, 0,5 \text{0,4, 0,5 } et 0,1\text{0,1} Des cyclistes empruntent régulièrement ce croisement et une étude statistique a permis de déterminer les résultats suivants :
  • si le feu est vert, le cycliste passe avec une probabilité de 11 ;
  • si le feu est orange, le cycliste passe avec une probabilité de 0,1\text{0,1} ;
  • si le feu est rouge, le cycliste passe avec une probabilité de 0,02.\text{0,02.}

  • 1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici


    2. Calculer la probabilité que le cycliste ne s’arrête pas au feu tricolore.


    3. Calculer la probabilité que le feu soit vert, sachant que le cycliste ne s’est pas arrêté au feu.


    Synthèse - probabilités - cyclistes

    83
    [Modéliser.] ◉◉◉
    Pour savoir si un courriel est indésirable, on lui fait passer un test. On note T\text{T} l’événement « le test est positif » et S\text{S} l’événement « le courriel est un spam ».
    Les probabilités liées à T\text{T} et S\text{S} sont récapitulées dans le tableau ci-dessous.

    S\text{S} S\overline{\mathrm{S}} Total
    T\text{T} 0,23
    T\overline{\mathrm{T}} 0,73
    Total 0,25


    1. Quelle est la probabilité pour que le test ne donne pas un résultat fiable ?


    2. Quelle est la probabilité pour que le test soit négatif sachant que le mail est un spam ?


    3. Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que le mail n’est pas un spam ?


    4. Si l’on applique ce test sur dix courriels indépendamment les uns des autres et sans savoir si ce sont des spams ou pas, quelle est la probabilité qu’aucun test ne soit positif ?


    5. Quelle est alors la probabilité qu’aucun courriel ne soit un spam ?


    6. Si on répète quatre fois le même test sur un spam, chaque test étant supposé indépendant des autres, quelle est la probabilité que le test soit négatif à chaque fois ?

    Histoire des maths


    Martin Gardner (1914-2010) est un écrivain américain de vulgarisation mathématique et scientifique. Il est le premier à énoncer le paradoxe précédent (qui n’en est pas vraiment un) portant le nom de the Two Children Problem dans une revue scientigique en 1959 : Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys? Martin Gardner a lui-même reconnu que le problème était mal posé et pouvait alors accepter différentes réponses. On retrouve ce même type de « paradoxe » dans l’exercice 99.

    Probabilités conditionnelles - Synthèse - Martin Gardner

    90
    [Chercher.]
    On considère un dé pipé à quatre faces. La probabilité de la face k k (pour kk un nombre entier entre 11 et 44) est le kk ième terme d’une suite géométrique de raison 12.\dfrac{1}{2}.

    1. Déterminer la probabilité de la face 1.1.


    2. En déduire la loi de probabilité du résultat de ce dé.


    3. On note :
    A :\text{A :} « obtenir 11 ou 33 en lançant le dé » ;
    B :\text{B :} « obtenir 33 ou 44 en lançant le dé ».
    Les événements A\text{A} et B\text{B} sont-ils indépendants ?

    92
    [Chercher.]
    Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements tels que P(A)=x\mathrm{P(A)}= x, P(B)=1x\mathrm{P(B) = 1- }x et P(AB)=14.\mathrm{P(A \cap B ) = \dfrac{1}{4}.}
    1. Établir que x[0;1].x \in[0\:; 1].


    2. Trouver toutes les valeurs de xx possibles pour que A\text{A} et B\text{B} soient indépendants.


    DIFFÉRENCIATION

    ◉◉ Parcours 1 : exercices 36 ; 38 ; 47 ; 54 et 67
    ◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 51 ; 57 ; 60 ; 65 ; 73 ; 81 et 87
    ◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 88

    95
    [Raisonner.]
    Dans cet exercice, on suppose que la probabilité de donner naissance à une fille est la même que celle de donner naissance à un garçon. Donc P(F)=P(G)=0,5.\mathrm{P(F) = P(G) = 0\text{,}5 .} De plus, on admet que le sexe d’un enfant à la naissance est indépendant du sexe des enfants nés avant. Pedro-Miguel a deux enfants.
    1. Lorsque le facteur est venu sonner à sa porte pour lui apporter un colis, c’est une fille qui a répondu. On ne sait pas si cette fille est l’aînée des deux enfants ou pas. Quelle est la probabilité que l’autre enfant de Pedro- Miguel soit un garçon : 23\dfrac{2}{3} ou 12?\dfrac{1}{2}\:? Justifier.

    Club de Maths


    98
    ÉNIGME

    Azra et Basile jouent à un jeu. Une urne contient nn boules noires et 1 boule rouge. Ils tirent chacun leur tour une boule, sans remise. Lorsque l’un deux tire la boule rouge, il gagne et le jeu s’arrête.
    Basile propose à Azra de choisir si elle joue la première ou pas. Azra se dit que jouer la première a un avantage : avoir la possibilité de tirer la boule rouge dès le premier tour.
    Mais si elle tire une boule noire, Basile aura alors une probabilité plus grande de tirer la boule rouge.

    Que conseiller à Azra ?

    97
    DÉFI

    Une urne A\text{A} contient xx boules rouges et yy boules noires. Une urne B\text{B} contient uu boules rouges et vv boules noires. On prélève au hasard une boule de l’urne A,\text{A}, que l’on place dans l’urne B.\text{B}. On prélève alors une boule de l’urne B.\text{B.}
    Sachant que le second tirage a permis d’obtenir une boule rouge, quelle est la probabilité qu’une boule rouge ait été tirée de l’urne A ?\text{A ?}

    99
    CASSE-TÊTE

    Deux prisonniers parmi trois, appelés A,\text{A,} B\text{B} et C,\text{C,} doivent être exécutés. Ils le savent aussi, mais ne sont pas sûrs du nom de l’heureux épargné.
    A\text{A} dit : « La probabilité que je ne sois pas exécuté est 13.\dfrac{1}{3}.
    Si je demande au gardien le nom d’un des prisonniers (autre que le mien) qui va être exécuté, alors il ne reste que deux possibilités.
    La probabilité que je survive monte alors à 12\dfrac{1}{2}. »
    Pourtant, le prisonnier sait déjà, avant l’information donnée par le gardien, qu’un autre détenu va être exécuté : le gardien n’a donc donné aucune information concernant son exécution.

    Pourquoi la probabilité de l’exécution a-t-elle changé ?

    96
    DÉFI

    nn personnes sont réunies dans une même pièce. À partir de combien de personnes la probabilité qu’au moins une d’entre elles ait son anniversaire le même jour qu’une autre est supérieure ou égale à 5050 % ? On s’aidera éventuellement d’une calculatrice et on supposera qu’il y a 365365 jours dans une année, et que les différents jours sont équiprobables.

    85
    PYTHON
    [Modéliser.]
    Pour calculer une approximation de π,\pi, on choisit au hasard et indépendamment nn points dont l’abscisse et l’ordonnée sont toutes les deux entre 00 et 1.1. On calcule alors la proportion de points situés à l’intérieur du disque de rayon 11 et de centre O.\text{O} .

    Probabilités conditionnelles - Synthèse


    1. L’algorithme suivant teste si le point est à l’intérieur du disque de rayon 11 et de centre O.\text{O} . Recopier et compléter la ligne 6. 6.


    1 Inteˊrieur 02 n 10003 Reˊpeˊter n fois : 4 abscisse  nombre aleˊatoire entre 0 et 15 ordonneˊ nombre aleˊatoire entre 0 et 16 Si  ... 7 Inteˊrieur  Inteˊrieur +18 Fin Si 9 Fin Reˊpeˊter 10 Estimation  Inteˊrieur÷n11 Estimation 4×Estimation \boxed{ \begin{array} { rl } 1& \text { Intérieur } \leftarrow 0 \\ 2& \text { n } \leftarrow 1000 \\ 3&\text{ Répéter n fois : } \\ 4&\quad \text { abscisse } \leftarrow \text { nombre aléatoire entre } 0 \text { et } 1 \\ 5 & \quad \text { ordonnée } \leftarrow \text { nombre aléatoire entre } 0 \text { et } 1 \\ 6&\quad \text { Si } \text { ... } \\ 7&\quad \quad \text { Intérieur } \leftarrow \text { Intérieur } + 1 \\ 8&\quad \text { Fin Si } \\ 9& \text { Fin Répéter } \\ 10&\text { Estimation } \leftarrow \text { Intérieur} \div \text {n} \\ 11&\text { Estimation } \leftarrow 4 \times \text{Estimation} \end{array} }


    2. Programmer cet algorithme à l’aide de Python.

    3. Les sept premiers chiffres de l’écriture décimale de π\pi sont 3,141592.3\text{,}141 592. Donner une valeur approximative de nn pour obtenir les quatre premiers chiffres corrects avec l’algorithme. Conclure.

    Histoire des maths


    Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)
    est un mathématicien, physicien, astronome et homme politique français. Il retrouve vers 1772, quelques années après Thomas Bayes, le théorème de Bayes. En 1812, il publie sa Théorie analytique des probabilités qui jette les bases de la théorie des probabilités.

    Probabilités conditionnelles - Synthèse - Pierre-Simon de Laplace

    84
    [Représenter.]
    Une fourmi se déplace sur les cases ci-dessous en partant de la case A.\text{A} . Pour son premier mouvement elle se déplace vers la droite ou la gauche avec une probabilité de 12.\dfrac{1}{2}. Si elle se déplace à droite, elle ira à nouveau à droite avec une probabilité de 6060 %. Si elle se déplace à gauche, elle ira à nouveau à gauche avec une probabilité de 8080 %.

    Probabilités conditionnelles - Synthèse - fourmi


    Quelle est la probabilité que la fourmi sorte du quadrillage après le troisième mouvement ?


    fourmi en mouvement

    87
    [Modéliser.] ◉◉
    André est un piètre pêcheur : la probabilité qu’il réussisse à pêcher un poisson est égale à 0,3\text{0,3} chaque jour.

    1. En supposant que le résultat de sa pêche est indépendant du résultat de la pêche du jour précédent, déterminer la probabilité qu’il attrape un poisson quatre jours de suite.


    2. En supposant cette fois que la probabilité d’une pêche fructueuse augmente de 0,5\text{0,5} le jour suivant un échec et de 0,15\text{0,15} le jour suivant une réussite, calculer la probabilité qu’il attrape un poisson deux jours de suite puis la probabilité qu’il en attrape un trois jours de suite.


    Probabilités conditionnelles - Synthèse - pêcheur

    86
    [Modéliser.]
    Un jeu de hasard consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. Si la carte est rouge, le joueur, sans remettre la carte, recommence avec une probabilité de 0,9\text{0,9} Si la carte est noire, le joueur recommence, sans remettre la carte, avec une probabilité de 0,6.\text{0,6.}
    1. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes ?


    2. Représenter cette situation par un arbre de probabilité et le compléter.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici


    3. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes rouges ?


    4. Quelle est la probabilité d’obtenir une carte rouge et une carte noire ?

    94
    [Calculer.]
    Deux automobilistes empruntent indépendamment l’un de l’autre une route forestière sur laquelle la probabilité de rencontrer un animal sauvage est de 0,2.0\text{,}2.

    1. Quelle est la probabilité qu’au moins un des deux automobilistes rencontre un animal sauvage ?


    2. Écrire un algorithme permettant de déterminer le nombre minimal de trajets qu’il faut parcourir pour que la probabilité de rencontrer un animal sauvage au moins une fois soit supérieure à 0,9.0\text{,}9.


    Probabilités conditionnelles - Synthèse - biche

    88
    EN MÉDECINE
    [Modéliser.] ◉◉◉
    Votre ami vient de passer les tests de dépistage d’une maladie rare et incurable qui touche une personne sur 100000.100\,000. Malheureusement, le test est positif. Espérant une erreur de diagnostic, votre ami a demandé quelle était la probabilité d’une erreur : le spécialiste lui a répondu que, pour 9999 % des malades, le résultat est positif, alors que, pour 99,999\text{,}9 % des personnes saines, le résultat est négatif.
    De manière surprenante, vous réussissez à utiliser ces données pour remonter le moral de votre ami.
    Soient M\text{M} et T\text{T} les événements :
  • M\text{M} : « la personne est malade » ;
  • T\text{T} : « le test est positif ».

  • 1. Construire un arbre pondéré modélisant l’expérience.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici


    2. Déterminer la probabilité qu’une personne choisie ait un test positif.


    3. Déterminer la probabilité qu’une personne soit malade, sachant que le test est positif.


    4. Rassurer votre ami.

    Dans la vie professionelle

    Le/la biochimiste travaille en laboratoire et effectue des recherches pour mieux comprendre les propriétés de la matière vivante. En particulier, il/elle peut s’intéresser aux effets d’un médicament, d’un sérum ou d’un vaccin sur notre organisme pour en concevoir de nouveaux, rapporter les résultats observés et faire éventuellement des recommandations. Durant tout le processus, les probabilités sont présentes.

    Probabilités conditionnelles - Synthèse
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