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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 11
Cours 3
Indépendance
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Définition
Soient \text{A} et \text{B} deux événements d'un univers \Omega. On dit que \text{A} et \text{B} sont indépendants lorsque \mathrm{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)} .
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Attention, il faudra éviter
de confondre événements
indépendants
et événements
incompatibles.
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Propriété
Soient \text{A} et \text{B} deux événements d'un univers \Omega tels que \mathrm{P(A) \neq 0} .
\text{A} et \text{B} sont des événements indépendants si et seulement si \mathrm{P_{A}(B)=P(B). }
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« Si et seulement
si » indique une
équivalence. Il faut
donc démontrer la
propriété dans le
sens direct et le sens
réciproque.
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Démonstration
\mathrm{ P(A) \neq 0} donc \mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}.
Sens direct : \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\mathrm{P}(\mathrm{B}).
Réciproque : \mathrm{P_{A}(B)=P(B)} donc \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), ce qui montre \text{A} et \text{B} sont indépendants.
Sens direct : \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\mathrm{P}(\mathrm{B}).
Réciproque : \mathrm{P_{A}(B)=P(B)} donc \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), ce qui montre \text{A} et \text{B} sont indépendants.
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Exemple
Soient \text{A} et \text{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P(A)= 0\text{,}8} et \mathrm{P(B) = 0\text{,}35}. Alors \mathrm{P(A \cap B)=P(A) \times P(B)}=0{,}8 \times 0{,}35=0{,}28.
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Les événements \text{A} et \overline{\text{B}} sont donc aussi indépendants.
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Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux événements indépendants, alors \overline{\text{A}} et \text{B} sont aussi deux événements indépendants.
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Démonstration
D'après la formule des probabilités totales,
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}) donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Or, \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}) et donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-\mathrm{P}(\mathrm{A})) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}).
On en déduit que \overline{\text{A}} et \text{B} sont indépendants.
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}) donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Or, \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}) et donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-\mathrm{P}(\mathrm{A})) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}).
On en déduit que \overline{\text{A}} et \text{B} sont indépendants.
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Application et méthode
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Énoncé
Soient \text{A} et \text{B} deux événements tels que \mathrm{P(A) = 0\text{,}8 , } \mathrm{P(B) = 0\text{,}35} et \mathrm{P(A \cap B) = 0{,}28} .
1. Montrer que \text{A} et \text{B} sont indépendants.
2. Déterminer \mathrm{P (A \cup B)} puis \mathrm{P(\overline{A} \cup B)}.
2. Déterminer \mathrm{P (A \cup B)} puis \mathrm{P(\overline{A} \cup B)}.
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1. Pour démontrer que des événements
\text{A} et \text{B} sont indépendants, on vérifie que \mathrm{P (A \cap B)} et \mathrm{P(A) \times P(B)} sont égaux.
2.
2.
- On utilise la formule apprise en seconde reliant les événements \text{A} , \text{B} , \mathrm{A \cap B} et \mathrm{A \cup B}.
- On utilise la propriété du cours pour calculer \mathrm{P (A \cap B) }et \mathrm{P(\overline{A} \cap B)}.
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Solution
1. \mathrm{P(A) \times P(B) = 0{,}28 = P(A \cap B)} donc \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants.
2. On sait que \mathrm{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}
donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}87.
\text{A} et \text{B} sont indépendants donc \mathrm{\overline{A}} et \text{B} le sont aussi.
De ce fait : \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-0{,}8) \times 0{,}35=0{,}07.
2. On sait que \mathrm{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}
donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}87.
\text{A} et \text{B} sont indépendants donc \mathrm{\overline{A}} et \text{B} le sont aussi.
De ce fait : \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-0{,}8) \times 0{,}35=0{,}07.
Pour s'entraîner
exercices à
p. 295
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