COURS 1


3
Indépendance





LOGIQUE

« Si et seulement si » indique une équivalence. Il faut donc démontrer la propriété dans le sens direct et le sens réciproque.

Exemple

Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements indépendants tels que P(A)=0,8\mathrm{P(A)= 0\text{,}8} et P(B)=0,35\mathrm{P(B) = 0\text{,}35}. Alors P(AB)=P(A)×P(B)=0,8×0,35=0,28.\mathrm{P(A \cap B)=P(A) \times P(B)}=0{,}8 \times 0{,}35=0{,}28.

Remarque

Attention, il faudra éviter de confondre événements indépendants et événements incompatibles.


DÉMONSTRATION


D'après la formule des probabilités totales,
P(B)=P(AB)+P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}) donc P(AB)=P(B)P(AB).\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Or, A\text{A} et B\text{B} sont des événements indépendants, donc P(AB)=P(A)×P(B)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}) et donc P(AB)=P(B)P(A)×P(B)=(1P(A))×P(B)=P(A)×P(B).\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-\mathrm{P}(\mathrm{A})) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}).
On en déduit que A\overline{\text{A}} et B\text{B} sont indépendants.

Propriété

Si A\text{A} et B\text{B} sont deux événements indépendants, alors A\overline{\text{A}} et B\text{B} sont aussi deux événements indépendants.


DÉMONSTRATION

P(A)0\mathrm{ P(A) \neq 0} donc PA(B)=P(AB)P(A).\mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}.
Sens direct : A\text{A} et B\text{B} sont des événements indépendants, donc P(AB)=P(A)×P(B),\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où PA(B)=P(A)×P(B)P(A)=P(B).\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\mathrm{P}(\mathrm{B}).

Réciproque : PA(B)=P(B) \mathrm{P_{A}(B)=P(B)} donc P(A)×PA(B)=P(A)×P(B), \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où P(AB)=P(A)×P(B), \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), ce qui montre A\text{A} et B\text{B} sont indépendants.


Définition

Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements d’un univers Ω.\Omega. On dit que A\text{A} et B\text{B} sont indépendants lorsque P(AB)=P(A)×P(B).\mathrm{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)} .

LOGIQUE

Les événements A\text{A} et B\overline{\text{B}} sont donc aussi indépendants.

Propriété

Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements d’un univers Ω\Omega tels que P(A)0.\mathrm{P(A) \neq 0} . A\text{A} et B\text{B} sont des événements indépendants si et seulement si PA(B)=P(B).\mathrm{P_{A}(B)=P(B). }

Application et méthode


Méthode

1. Pour démontrer que des événements A\text{A} et B\text{B} sont indépendants, on vérifie que P(AB)\mathrm{P (A \cup B)} et P(A)×P(B)\mathrm{P(A) \times P(B)} sont égaux.

2.
  • On utilise la formule apprise en seconde reliant les événements A,\text{A} , B,\text{B} , AB\mathrm{A \cap B} et AB.\mathrm{A \cup B}.
  • On utilise la propriété du cours pour calculer P(AB)\mathrm{P (A \cap B) }et P(AB).\mathrm{P(\overline{A} \cap B)}.

SOLUTION

1. P(A)×P(B)=0,28=P(AB)\mathrm{P(A) \times P(B) = 0{,}28 = P(A \cap B)} donc A\mathrm{A} et B\mathrm{B} sont indépendants.

2. On sait que P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)\mathrm{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}
donc P(AB)=P(A)+P(B)P(A)×P(B)=0,87.\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}87.
A\text{A} et B\text{B} sont indépendants donc A\mathrm{\overline{A}} et B\text{B} le sont aussi.
De ce fait : P(AB)=P(A)×P(B)=(10,8)×0,35=0,07.\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-0{,}8) \times 0{,}35=0{,}07.

Pour s'entraîner : exercices 24 à 26 p. 295

Énoncé

Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements tels que P(A)=0,8,\mathrm{P(A) = 0\text{,}8 , } P(B)=0,35\mathrm{P(B) = 0\text{,}35} et P(AB)=0,28\mathrm{P(A \cap B) = 0{,}28} .
1. Montrer que A\text{A} et B\text{B} sont indépendants.
2. Déterminer P(AB)\mathrm{P (A \cup B)} puis P(AB).\mathrm{P(\overline{A} \cup B)}.
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