Indépendance

$\mathrm{P}(\mathrm{A})\ne 0$ donc ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}.$
Sens direct : $\text{A}$ et $\text{B}$ sont des événements indépendants, donc $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B}),$ d'où ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\mathrm{P}(\mathrm{B}).$

Réciproque : ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})$ donc $\mathrm{P}(\mathrm{A})\times {\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B}),$ d'où $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B}),$ ce qui montre $\text{A}$ et $\text{B}$ sont indépendants.

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements indépendants tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0\text{,}8$ et $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}35$. Alors $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,8\times 0,35=0,28.$

Les événements $\text{A}$ et $\overline{\text{B}}$ sont donc aussi indépendants.

Si $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux événements indépendants, alors $\overline{\text{A}}$ et $\text{B}$ sont aussi deux événements indépendants.

D'après la formule des probabilités totales,
$\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})$ donc $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}).$
Or, $\text{A}$ et $\text{B}$ sont des événements indépendants, donc $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B})$ et donc $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-\mathrm{P}(\mathrm{A}))\times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})\times \mathrm{P}(\mathrm{B}).$
On en déduit que $\overline{\text{A}}$ et $\text{B}$ sont indépendants.

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0\text{,}8,$ $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}35$ et $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=0,28$. 1. Montrer que $\text{A}$ et $\text{B}$ sont indépendants.
2. Déterminer $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})$ puis $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cup \mathrm{B}).$