Variables aléatoires réelles

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Une variable aléatoire est une fonction définie sur un univers $\Omega$ qui, à une ou plusieurs issues de $\Omega ,$ associe un unique nombre réel. Cela permet de :

✔ modéliser des problèmes liés aux probabilités ;
✔ associer à une expérience aléatoire des nombres réels autres que des probabilités.

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La loi de probabilité d'une variable aléatoire est la donnée exhaustive (souvent sous forme de tableau) de toutes les images calculées par cette fonction et les probabilités associées. Cela permet d' :

✔ avoir un rapide aperçu de l'ensemble des issues dont on a associé un réel par cette variable aléatoire ;
✔ étudier les probabilités de certains événements constitués d'une ou plusieurs issues.

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L'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne de cette variable aléatoire obtenue sur un très grand nombre d'expériences identiques. On a les formules suivantes :

• $\text{E}(\text{X})=\sum _{i=1}^r{p}_i{x}_i=p_1{x}_1+p_2{x}_2+\dots +p_r{x}_r;$
• $\text{E}(a\text{X}+b)=a\times \text{E}(\text{X})+b$ avec $a$ et $b$ des réels.

Cela permet de :

✔ savoir si un jeu est équitable ou non lorsque la situation est associée à un gain ;
✔ calculer une moyenne théorique lorsqu'une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois.

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La variance d'une variable aléatoire permet de calculer l'écart-type qui est l'écart moyen quadratique entre chaque valeur et l'espérance. On a les formules suivantes :

• $\text{Var}(\text{X})=\sum _{i=1}^r{p}_i{\left(x_i-\text{E}(\text{X})\right)}^2;$
• $\sigma (\text{X})=\sqrt{\text{ Var }(\text{X})};$
• $\text{ Var }(a\text{X}+b)=a^2\times \text{Var}(\text{X})$ avec $a$ un réel.

Cela permet de :

✔ déterminer la dispersion des valeurs autour de l'espérance ;
✔ comparer des expériences aléatoires.