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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 12

Cours 2

Espérance, variance et écart-type

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Dans cette partie,

X

est une variable aléatoire réelle définie sur un univers

Ω

prenant les valeurs

x_{1},

x_{2},

...,

x_{r}

avec les probabilités respectives

p_{1},

p_{2},

...,

p_{r} .

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A
Espérance d'une variable aléatoire réelle

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Définition

L'espérance de

X

est le nombre réel, noté

E (X),

défini par

E (X) = i = 1 \sum r p_{i} x_{i} = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{r} x_{r} .

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Remarque

E (X)

peut s'interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par

X

lorsque l'expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois.

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Exemple

La loi de probabilité d'une variable aléatoire

X

est donnée ci-dessous :

$x_{i}$	-2	1	4
$P (X = x_{i})$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

On a

E (X) = - 2 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{3} = \frac{3}{2} .

Sur un très grand nombre d'expériences, en moyenne, la valeur de

X

est

\frac{3}{2} .

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Remarque

Dans un jeu de hasard, l'espérance sera liée au gain potentiel du joueur (ou de l'organisateur). Un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle.

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Propriété

Soit

X

une variable aléatoire et soient

a

b

des réels. Alors :

E (a X + b) = a \times E (X) + b .

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Démonstration

E (a X + b) = i = 1 \sum r p_{i} (a x_{i} + b) = p_{1} (a x_{1} + b) + p_{2} (a x_{2} + b) + \dots + p_{r} (a x_{r} + b)

= a p_{1} x_{1} + p_{1} b + a p_{2} x_{2} + p_{2} b + \dots + a p_{r} x_{r} + p_{r} b

= a (p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{r} x_{r}) + b (p_{1} + p_{2} + \dots + p_{r})

= a E (X) + b .

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Remarque

Pour la dernière étape, on utilise l'égalité

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{r} = 1.

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Application et méthode

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Énoncé

Soit

X

une variable aléatoire dont on donne la loi de probabilité dans le tableau suivant. Calculer et interpréter

E(X) .

$x_{i}$	-2	1	4
$P (X = x_{i})$	0,2	0,5	0,3

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Méthode

1. On applique la formule du cours en remplaçant les

x_{i}

par les valeurs prises par la variable aléatoire

X

et les

p_{i}

par les probabilités correspondantes.
2. On interprète le résultat à l'aide d'une moyenne en se rappelant que cela est valable uniquement pour un très grand nombre d'expériences identiques réalisées.

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Solution

E (X) = - 2 \times 0, 2 + 1 \times 0, 5 + 4 \times 0, 3 = 1, 3

Sur un très grand nombre de répétitions de cette expérience aléatoire, la valeur moyenne de

X

est

1, 3.

Pour s'entraîner

exercices 27
à 29
p. 321

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B
Variance et écart-type d'une variable aléatoire

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Définition

La variance de $X$ est le réel positif, noté $Var(X),$ défini par

Var (X) = \sum_{i = 1}^{r} p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} = p_{1} (x_{1} - E (X))^{2} + p_{2} (x_{2} - E (X))^{2} + \dots + p_{r} (x_{r} - E (X))^{2} .

L'écart-type de $X$ est le nombre positif, noté $σ (X),$ défini par $σ (X) = Var (X) .$

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Remarque

L'écart-type de

X

est la moyenne quadratique des écarts des valeurs avec l'espérance.

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Exemple

On reprend la variable aléatoire

X

du premier exemple de la partie A. On a

Var (X) = \frac{1}{6} \times (- 2 - \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2} \times (1 - \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{3} \times (4 - \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{6} \times (- \frac{7}{2})^{2} + \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{3} \times (\frac{5}{2})^{2} = \frac{1}{6} \times \frac{49}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{25}{4} = \frac{17}{4}

σ (X) = Var (X) = \frac{17}{4} = \frac{17}{2}

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Remarque

On a toujours

Var (X) ⩾ 0

donc

σ (X)

est toujours défini.

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Propriété

Soient

X

une variable aléatoire et

a

b

deux réels :

Var (a X + b) = a^{2} \times Var (X)

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Démonstration

Soient

a

b

deux réels. On sait que

Var (X) = i = 1 \sum r p_{i} \times (x_{i} - E (X))^{2}

donc

Var (a X + b) = i = 1 \sum r p_{i} \times (a x_{i} + b - E (a X + b))^{2} .

Or,

E (a X + b) = a E (X) + b

donc :

Var (a X + b) = i = 1 \sum r p_{i} \times (a x_{i} + b - (a E (X) + b))^{2} = i = 1 \sum r p_{i} \times (a x_{i} + b - a E (X) - b)^{2} = i = 1 \sum r p_{i} \times [a (x_{i} - E (X))]^{2} = i = 1 \sum r p_{i} \times a^{2} \times (x_{i} - E (X))^{2} .

Puisque

a^{2}

est indépendant de

i,

on a :

Var (a X + b) = a^{2} \times i = 1 \sum r p_{i} \times (x_{i} - E (X))^{2} = a^{2} \times Var (X) .

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Remarque

On démontre alors que :

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X) .

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Application et méthode

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Énoncé

Soit

X

une variable aléatoire dont on donne la loi de probabilité dans le tableau suivant. Calculer la variance et l'écart-type de la variable aléatoire

X.

$x_{i}$	-2	1	4
$P (X = x_{i})$	0,2	0,5	0,3

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Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. On applique la formule du cours en remplaçant les

x_{i}

par les valeurs prises par la variable aléatoire

X

et les

p_{i}

par les probabilités correspondantes.
2. L'écart-type s'obtient simplement en calculant la racine carrée de la variance.

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Solution

On a vu précédemment que

E(X) = 1, 3.

On a alors :

Var (X) = 0, 2 \times (- 2 - 1, 3)^{2} + 0, 5 \times (1 - 1, 3)^{2} + 0, 3 \times (4 - 1, 3)^{2} = 0, 2 \times (- 3, 3)^{2} + 0, 5 \times 0, 3^{2} + 0, 3 \times 2, 7^{2} = 0, 2 \times 10, 89 + 0, 5 \times 0, 09 + 0, 3 \times 7, 29 = 2, 178 + 0, 045 + 2, 187 = 4, 41

D'où

σ (X) = Var (X) = 4, 41 = 2, 1.

Pour s'entraîner

exercices 30
à 32
p. 321

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Ch. 3Équations et inéquations du second degré

Ch. 4Dérivation

Ch. 5Applications de la dérivation

Ch. 6Fonction exponentielle

Ch. 7Trigonométrie

Ch. 8Fonctions trigonométriques

Ch. 9Produit scalaire

Ch. 10Configurations géométriques

Ch. 11Probabilités conditionnelles

Ch. 12Variables aléatoires réelles

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Espérance, variance et écart-type

AEspérance d'une variable aléatoire réelle

Remarque

Remarque

Remarque

Méthode

BVariance et écart-type d'une variable aléatoire

Remarque

Remarque

Remarque

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Suites numériques

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Fonction exponentielle

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Trigonométrie

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Fonctions trigonométriques

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Produit scalaire

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Configurations géométriques

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Probabilités conditionnelles

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Variables aléatoires réelles

A
Espérance d'une variable aléatoire réelle

B
Variance et écart-type d'une variable aléatoire