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Variables aléatoires réelles
Annexes
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 12
Cours 2
Espérance, variance et écart-type
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Dans cette partie, \text{X} est une variable aléatoire réelle définie sur un univers \Omega prenant les valeurs x_1 , x_2 , ... \:, x_r avec les probabilités respectives p_1 , p_2 , ...\:, p_r .
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AEspérance d'une variable aléatoire réelle
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Définition
L'espérance de \text{X} est le nombre réel, noté \text{E}(\text{X}), défini par
\text{E} ( \text{X} ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \ldots + p_r x_r.
\text{E} ( \text{X} ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \ldots + p_r x_r.
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\text{E}(\text{X}) peut s'interpréter comme la valeur moyenne des valeurs
prises par \text{X} lorsque l'expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois.
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Exemple
La loi de probabilité d'une variable aléatoire \text{X} est donnée ci-dessous :
On a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) = - 2 \times \dfrac { 1 } { 6 } + 1 \times \dfrac { 1 } { 2 } + 4 \times \dfrac { 1 } { 3 } = \dfrac { 3 } { 2 }.
Sur un très grand nombre d'expériences, en moyenne, la valeur de \text{X} est \dfrac { 3 } { 2 }.
| x_i | -2 | 1 | 4 |
| \text {P} \left( \text {X} = x _ { i } \right) | \dfrac { 1 } { 6 } | \dfrac { 1 } { 2 } | \dfrac { 1 } { 3 } |
On a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) = - 2 \times \dfrac { 1 } { 6 } + 1 \times \dfrac { 1 } { 2 } + 4 \times \dfrac { 1 } { 3 } = \dfrac { 3 } { 2 }.
Sur un très grand nombre d'expériences, en moyenne, la valeur de \text{X} est \dfrac { 3 } { 2 }.
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Dans un jeu de hasard, l'espérance sera liée au gain potentiel du joueur (ou de l'organisateur). Un
jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle.
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Propriété
Soit \text{X} une variable aléatoire et soient a et b des réels. Alors : \mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = a \times \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b.
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Démonstration
\mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \left( a x _ { i } + b \right) = p _ { 1 } \left( a x _ { 1 } + b \right) + p _ { 2 } \left( a x _ { 2 } + b \right) + \ldots + p _ { r } \left( a x _ { r } + b \right)
= a p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 1 } b + a p _ { 2 } x _ { 2 } + p _ { 2 } b + \ldots + a p _ { r } x _ { r } + p _ { r } b
= a \left( p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } + \ldots + p _ { r } x _ { r } \right) + b \left( p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { r } \right)
= a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b.
= a p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 1 } b + a p _ { 2 } x _ { 2 } + p _ { 2 } b + \ldots + a p _ { r } x _ { r } + p _ { r } b
= a \left( p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } + \ldots + p _ { r } x _ { r } \right) + b \left( p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { r } \right)
= a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b.
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Pour la dernière étape, on utilise l'égalité p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { r } = 1.
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Application et méthode
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Énoncé
Soit \text{X} une variable aléatoire dont on donne la loi de probabilité
dans le tableau suivant. Calculer et interpréter \text{E(X)}.
| x_i | -2 | 1 | 4 |
| \text {P} \left( \text {X} = x _ { i } \right) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
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1. On applique la formule du cours en remplaçant les x_i par les valeurs prises par la variable aléatoire \text{X} et les p_i par les probabilités correspondantes.
2. On interprète le résultat à l'aide d'une moyenne en se rappelant que cela est valable uniquement pour un très grand nombre d'expériences identiques réalisées.
2. On interprète le résultat à l'aide d'une moyenne en se rappelant que cela est valable uniquement pour un très grand nombre d'expériences identiques réalisées.
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BVariance et écart-type d'une variable aléatoire
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Définition
- La variance de \text{X} est le réel positif, noté \text{Var(X),} défini par \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) \\ =\sum _ { i = 1 } ^ { r } p _ { i } \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } \\ {= p _ { 1 } \left( x _ { 1 } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } + p _ { 2 } \left( x _ { 2 } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } + \ldots} +{ p _ { r } \left( x _ { r } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 }}.
- L'écart-type de \text{X} est le nombre positif, noté \sigma(\text{X}) , défini par \sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) }.
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L'écart-type de \text{X} est la moyenne quadratique des écarts des valeurs avec l'espérance.
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Exemple
On reprend la variable aléatoire \text{X} du premier exemple de la partie A. On a
\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \left( - 2 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( 1 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \left( 4 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \\ & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \left( - \dfrac { 7 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( - \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \left( \dfrac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 }\\ & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \dfrac { 49 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \times \dfrac { 1 } { 4 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \dfrac { 25 } { 4 } \\ &= \dfrac { 17 } { 4 } \end{aligned}
et \sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) } = \sqrt { \dfrac { 17 } { 4 } } = \dfrac { \sqrt { 17 } } { 2 }.
\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \left( - 2 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( 1 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \left( 4 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \\ & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \left( - \dfrac { 7 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( - \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \left( \dfrac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 }\\ & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \dfrac { 49 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \times \dfrac { 1 } { 4 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \dfrac { 25 } { 4 } \\ &= \dfrac { 17 } { 4 } \end{aligned}
et \sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) } = \sqrt { \dfrac { 17 } { 4 } } = \dfrac { \sqrt { 17 } } { 2 }.
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On a toujours \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) \geqslant 0 donc \sigma ( \mathrm { X } ) est toujours défini.
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Propriété
Soient \text{X} une variable aléatoire et a et b deux réels :
\operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) = a ^ { 2 } \times \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ).
\operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) = a ^ { 2 } \times \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ).
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Démonstration
Soient a et b deux réels. On sait que \operatorname { Var } ( \mathrm { X } )= \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } donc
\operatorname { Var } ( a \text{X} + b ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - \mathrm { E } ( a \text{X} + b ) \right) ^ { 2 }.
Or, \mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b donc :
\begin{aligned} \operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - ( a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b ) \right) ^ { 2 } \\ &= \sum _ { i = 1 } ^ { r } p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) - b \right) ^ { 2 } \\ & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left[ a \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) \right] ^ { 2 } \\ &= \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times a ^ { 2 } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 }. \end{aligned}
Puisque a^2 est indépendant de i , on a :
\operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) = a ^ { 2 } \times\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \times \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ).
\operatorname { Var } ( a \text{X} + b ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - \mathrm { E } ( a \text{X} + b ) \right) ^ { 2 }.
Or, \mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b donc :
\begin{aligned} \operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - ( a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b ) \right) ^ { 2 } \\ &= \sum _ { i = 1 } ^ { r } p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) - b \right) ^ { 2 } \\ & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left[ a \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) \right] ^ { 2 } \\ &= \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times a ^ { 2 } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 }. \end{aligned}
Puisque a^2 est indépendant de i , on a :
\operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) = a ^ { 2 } \times\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \times \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ).
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On démontre alors que : \sigma ( a \text {X} + b )= | a | \sigma ( \mathrm {X} ).
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Application et méthode
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1. On applique la formule du cours en remplaçant les x_i par les valeurs prises par la variable aléatoire \text{X} et les p_i par les probabilités correspondantes.
2. L'écart-type s'obtient simplement en calculant la racine carrée de la variance.
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Énoncé
Soit \text{X} une variable aléatoire dont on donne la loi de probabilité dans le
tableau suivant. Calculer la variance et l'écart-type de la variable aléatoire \text{X.}
| x_i | -2 | 1 | 4 |
| \text{P} \left( \text{X} = x_ {i} \right) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
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Solution
On a vu précédemment que \text{E(X)} = 1\text{,}3. On a alors :
\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = 0\text{,}2 \times ( - 2 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0\text{,}5 \times ( 1 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0\text{,}3 \times ( 4 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } \\ & = 0\text{,}2 \times ( - 3\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0,5 \times 0,3 ^ { 2 } + 0\text{,}3 \times 2\text{,}7 ^ { 2 } \\ & = 0\text{,}2 \times 10\text{,}89 + 0\text{,}5 \times 0\text{,}09 + 0\text{,}3 \times 7\text{,}29 \\ & = 2\text{,}178 + 0\text{,}045 + 2\text{,}187 = 4\text{,}41 \end{aligned}
D'où \sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) } = \sqrt { 4\text{,}41 } = 2\text{,}1.
\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = 0\text{,}2 \times ( - 2 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0\text{,}5 \times ( 1 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0\text{,}3 \times ( 4 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } \\ & = 0\text{,}2 \times ( - 3\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0,5 \times 0,3 ^ { 2 } + 0\text{,}3 \times 2\text{,}7 ^ { 2 } \\ & = 0\text{,}2 \times 10\text{,}89 + 0\text{,}5 \times 0\text{,}09 + 0\text{,}3 \times 7\text{,}29 \\ & = 2\text{,}178 + 0\text{,}045 + 2\text{,}187 = 4\text{,}41 \end{aligned}
D'où \sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) } = \sqrt { 4\text{,}41 } = 2\text{,}1.
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exercices à p. 321
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