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COURS 2


2
Espérance, variance et écart-type




Application et méthode


Méthode

1. On applique la formule du cours en remplaçant les xix_i par les valeurs prises par la variable aléatoire X\text{X} et les pip_i par les probabilités correspondantes.
2. On interprète le résultat à l’aide d’une moyenne en se rappelant que cela est valable uniquement pour un très grand nombre d’expériences identiques réalisées.

Énoncé

Soit X\text{X} une variable aléatoire dont on donne la loi de probabilité dans le tableau suivant. Calculer et interpréter E(X).\text{E(X)}.

 xix_i -2 1 4
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = x _ { i } \right) 0,2 0,5 0,3


SOLUTION

E(X)=2×0,2+1×0,5+4×0,3=1,3\mathrm { E } ( \mathrm { X } ) = - 2 \times 0\text{,}2 + 1 \times 0\text{,}5 + 4 \times 0\text{,}3 = 1\text{,}3
Sur un très grand nombre de répétitions de cette expérience aléatoire, la valeur moyenne de X\text{X} est 1,3.1\text{,}3.

Pour s'entraîner : exercices 27 à 29 p. 321

Application et méthode


Méthode

1. On applique la formule du cours en remplaçant les xix_i par les valeurs prises par la variable aléatoire X\text{X} et les pip_i par les probabilités correspondantes.
2. L’écart-type s’obtient simplement en calculant la racine carrée de la variance.

SOLUTION

On a vu précédemment que E(X)=1,3.\text{E(X)} = 1\text{,}3. On a alors :
Var(X)=0,2×(21,3)2+0,5×(11,3)2+0,3×(41,3)2=0,2×(3,3)2+0,5×0,32+0,3×2,72=0,2×10,89+0,5×0,09+0,3×7,29=2,178+0,045+2,187=4,41\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = 0\text{,}2 \times ( - 2 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0\text{,}5 \times ( 1 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0\text{,}3 \times ( 4 - 1\text{,}3 ) ^ { 2 } \\ & = 0\text{,}2 \times ( - 3\text{,}3 ) ^ { 2 } + 0,5 \times 0,3 ^ { 2 } + 0\text{,}3 \times 2\text{,}7 ^ { 2 } \\ & = 0\text{,}2 \times 10\text{,}89 + 0\text{,}5 \times 0\text{,}09 + 0\text{,}3 \times 7\text{,}29 \\ & = 2\text{,}178 + 0\text{,}045 + 2\text{,}187 = 4\text{,}41 \end{aligned}
D’où σ(X)=Var(X)=4,41=2,1.\sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) } = \sqrt { 4\text{,}41 } = 2\text{,}1.

Pour s'entraîner : exercices 30 à 32 p. 321

Énoncé

Soit X\text{X} une variable aléatoire dont on donne la loi de probabilité dans le tableau suivant. Calculer la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X.\text{X.}

 xix_i -2 1 4
 P(X=xi)\text{P} \left( \text{X} = x_ {i} \right) 0,2 0,5 0,3

B
Variance et écart-type d’une variable aléatoire


Exemple

On reprend la variable aléatoire X\text{X} du premier exemple de la partie A. On a
Var(X)=16×(232)2+12×(132)2+13×(432)2=16×(72)2+12×(12)2+13×(52)2=16×494+12×14+13×254=174\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \left( - 2 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( 1 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \left( 4 - \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \\ & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \left( - \dfrac { 7 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( - \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \left( \dfrac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 }\\ & = \dfrac { 1 } { 6 } \times \dfrac { 49 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \times \dfrac { 1 } { 4 } + \dfrac { 1 } { 3 } \times \dfrac { 25 } { 4 } \\ &= \dfrac { 17 } { 4 } \end{aligned}
et σ(X)=Var(X)=174=172\sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) } = \sqrt { \dfrac { 17 } { 4 } } = \dfrac { \sqrt { 17 } } { 2 }.

Remarque

L’écart-type de X\text{X} est la moyenne quadratique des écarts des valeurs avec l’espérance.

Remarque

On a toujours Var(X)0\operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) \geqslant 0 donc σ(X)\sigma ( \mathrm { X } ) est toujours défini.

Propriété

Soient X\text{X} une variable aléatoire et aa et bb deux réels : Var(aX+b)=a2×Var(X)\operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) = a ^ { 2 } \times \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ).

Remarque

On démontre alors que : σ(aX+b)=aσ(X).\sigma ( a \text {X} + b )= | a | \sigma ( \mathrm {X} ).

DÉMONSTRATION

Soient aa et bb deux réels. On sait que Var(X)=i=1rpi×(xiE(X))2\operatorname { Var } ( \mathrm { X } )= \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } donc
Var(aX+b)=i=1rpi×(axi+bE(aX+b))2.\operatorname { Var } ( a \text{X} + b ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - \mathrm { E } ( a \text{X} + b ) \right) ^ { 2 }.
Or, E(aX+b)=aE(X)+b\mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b donc :
Var(aX+b)=i=1rpi×(axi+b(aE(X)+b))2=i=1rpi×(axi+baE(X)b)2=i=1rpi×[a(xiE(X))]2=i=1rpi×a2×(xiE(X))2.\begin{aligned} \operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - ( a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b ) \right) ^ { 2 } \\ &= \sum _ { i = 1 } ^ { r } p _ { i } \times \left( a x _ { i } + b - a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) - b \right) ^ { 2 } \\ & = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left[ a \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) \right] ^ { 2 } \\ &= \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times a ^ { 2 } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 }. \end{aligned}
Puisque a2a^2 est indépendant de i,i , on a :
Var(aX+b)=a2×i=1rpi×(xiE(X))2=a2×Var(X).\operatorname { Var } ( a \mathrm { X } + b ) = a ^ { 2 } \times\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \times \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \times \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ).

Définitions

  • La variance de X\text{X} est le réel positif, noté Var(X),\text{Var(X),} défini par
  • Var(X)=i=1rpi(xiE(X))2=p1(x1E(X))2+p2(x2E(X))2++pr(xrE(X))2.\begin{aligned} \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) & = \sum _ { i = 1 } ^ { r } p _ { i } \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } \\ & = p _ { 1 } \left( x _ { 1 } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } + p _ { 2 } \left( x _ { 2 } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 } + \ldots + p _ { r } \left( x _ { r } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 }. \end{aligned}
  • L’écart-type de X\text{X} est le nombre positif, noté σ(X),\sigma(\text{X}) , défini par σ(X)=Var(X).\sigma ( \mathrm { X } ) = \sqrt { \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) }.

Dans cette partie, X\text{X} est une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω\Omega prenant les valeurs x1,x_1 , x2,x_2 , ...,... \:, xrx_r avec les probabilités respectives p1,p_1 , p2,p_2 , ...,...\:, pr.p_r .

A
Espérance d’une variable aléatoire réelle

Remarque

E(X)\text{E}(\text{X}) peut s’interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X\text{X} lorsque l’expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois.

Exemple

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X\text{X} est donnée ci-dessous :

 xix_i -2 1 4
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = x _ { i } \right) 16\dfrac { 1 } { 6 } 12\dfrac { 1 } { 2 } 13\dfrac { 1 } { 3 }

On a E(X)=2×16+1×12+4×13=32.\mathrm { E } ( \mathrm { X } ) = - 2 \times \dfrac { 1 } { 6 } + 1 \times \dfrac { 1 } { 2 } + 4 \times \dfrac { 1 } { 3 } = \dfrac { 3 } { 2 }.
Sur un très grand nombre d’expériences, en moyenne, la valeur de X\text{X} est 32.\dfrac { 3 } { 2 }.

DÉMONSTRATION

E(aX+b)=i=1rpi(axi+b)=p1(ax1+b)+p2(ax2+b)++pr(axr+b)\mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ { i } \left( a x _ { i } + b \right) = p _ { 1 } \left( a x _ { 1 } + b \right) + p _ { 2 } \left( a x _ { 2 } + b \right) + \ldots + p _ { r } \left( a x _ { r } + b \right)

=ap1x1+p1b+ap2x2+p2b++aprxr+prb= a p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 1 } b + a p _ { 2 } x _ { 2 } + p _ { 2 } b + \ldots + a p _ { r } x _ { r } + p _ { r } b

=a(p1x1+p2x2++prxr)+b(p1+p2++pr)= a \left( p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } + \ldots + p _ { r } x _ { r } \right) + b \left( p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { r } \right)

=aE(X)+b.= a \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b.

Propriété

Soit X\text{X} une variable aléatoire et soient aa et bb des réels. Alors : E(aX+b)=a×E(X)+b.\mathrm { E } ( a \mathrm { X } + b ) = a \times \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + b.

Définition

L’espérance de X\text{X} est le nombre réel, noté E(X),\text{E}(\text{X}), défini par
E(X)=i=1rpixi=p1x1+p2x2++prxr.\text{E} ( \text{X} ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \ldots + p_r x_r.

Remarque

Pour la dernière étape, on utilise l’égalité p1+p2++pr=1.p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { r } = 1.

Remarque

Dans un jeu de hasard, l’espérance sera liée au gain potentiel du joueur (ou de l’organisateur). Un jeu est équitable si l’espérance du gain est nulle.
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