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Chapitre 12


Variables aléatoires réelles






Le peintre Jackson Pollock (1912-1956) a beaucoup employé la technique du dripping (to drip = égoutter). On pourrait penser à des peintures aléatoires mais, d’après Pollock, chaque geste était réfléchi. Comme il l’a dit un jour : « No chaos, damn it! ».

Peinture Jackson Pollock

Capacités attendues - chapitre 12

1. Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
2. Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
3. Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire.
4. Interpréter l’espérance d’une variable aléatoire.
5. Simuler une variable aléatoire avec Python.

Avant de commencer

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1
Déterminer un univers

On tire au hasard une carte dans un jeu qui en contient 32.32. Un jeu de 3232 cartes contient 88 cartes (7,7, 8,8, 9,9, 10,10, valet, dame, roi et as) de chaque couleur (coeur, pique, trèfle et carreau). Dans chaque cas, déterminer l’univers associé à l’expérience aléatoire décrite.
1. On tire une carte au hasard et on s’intéresse à sa couleur.

2. On tire une carte au hasard et on s’intéresse à sa valeur.
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3
Calculer des probabilités

On tire une boule au hasard dans une urne dont le contenu est illustré ci-dessous. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

Variables aléatoires réelles

1. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir un 2?2 \: ?

3. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte numérotée 1?1 \: ?
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5
Problème

Lors d’une foire, dans un stand, sont disposées les trois roues ci-dessous.

Variables aléatoires réelles

Tous les secteurs angulaires d’une même roue ont la même mesure. Le joueur doit choisir une des trois roues et la faire tourner. Il remporte un lot s’il tombe sur un secteur coloré. Quelle roue le joueur doit-il choisir ?

Prérequis

1. Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire dans un univers donné.
2. Calculer la probabilité d’un événement.
3. Calculer une moyenne pondérée.

Anecdote

Si on lance deux dés, la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 1111 (22 chances sur 3636) est plus grande que la probabilité qu’elle soit égale à 1212 (11 chance sur 3636).
Pourtant, Leibniz pensait que ces deux probabilités étaient égales : « Par exemple, avec deux dés, il est aussi faisable de jetter douze points, que d’en jetter onze ; car l’un et l’autre ne peut se faire que d’une seule manière. »
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4
Calculer une moyenne statistique

Dans chaque cas, calculer la moyenne de la série statistique.

1.
 Valeur du caractère 5 8 9 10 11 12 14
 Effectif 1 1 3 3 5 9 3



2.
 Valeur du caractère 3 5 7 9 10 11 12 14 15 16 18
 Effectif 1 3 2 4 3 6 3 1 2 2 1



3.
 Valeur du caractère 0 1 2 3 4 5
 Effectif 417\dfrac { 4 } { 17 } 317\dfrac { 3 } { 17 } 417\dfrac { 4 } { 17 } 317\dfrac { 3 } { 17 } 117\dfrac { 1 } { 17 } 217\dfrac { 2 } { 17 }

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2
Compléter une loi de probabilité

Variables aléatoires réelles

On fait tourner la roue ci-dessus dont tous les secteurs angulaires sont de même mesure.
Compléter le tableau ci-dessous.

 Couleur Bleu Rouge Vert Jaune
 Probabilité
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