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Ch. 4
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Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
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Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 12
Cours 1
Variables aléatoires réelles
11 professeurs ont participé à cette page
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ANotion de variable aléatoire réelle
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Définition
Soit \Omega l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire (\Omega est l'univers). Une variable aléatoire sur \Omega est une fonction définie sur \Omega à valeurs dans \R .
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Autrement dit, on définit une variable aléatoire \text{X} sur \Omega quand on associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience aléatoire.
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Définition
Soient \text{X} une variable aléatoire définie sur \Omega et x un réel.
1. L'événement « \mathbf { X } prend la valeur \bm{x} » est l'ensemble des issues de \Omega auxquelles on associe le réel x .
2. L'événement « \mathbf { X } prend des valeurs supérieures ou égales à \bm{x} » est l'ensemble des issues de \Omega auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à x .
3. L'événement « \mathbf { X } prend des valeurs inférieures ou égales à \bm{x} » est l'ensemble des issues de \Omega auxquelles on associe un réel inférieur ou égal à x .
1. L'événement « \mathbf { X } prend la valeur \bm{x} » est l'ensemble des issues de \Omega auxquelles on associe le réel x .
2. L'événement « \mathbf { X } prend des valeurs supérieures ou égales à \bm{x} » est l'ensemble des issues de \Omega auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à x .
3. L'événement « \mathbf { X } prend des valeurs inférieures ou égales à \bm{x} » est l'ensemble des issues de \Omega auxquelles on associe un réel inférieur ou égal à x .
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Ces événements sont respectivement notés {\{ \mathrm { X } = x \}}, \{ \mathrm { X } \geqslant x \} et \{ \mathrm { X } \leqslant x \}.
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Exemple
On lance un dé à six faces. Si on obtient un multiple de 3, on gagne 2 € ; sinon, on perd 1 €. \text{X} est la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le gain obtenu (ce gain peut éventuellement être négatif).
\{ \mathrm { X } = 2 \} est réalisé lorsque l'on obtient un multiple de 3.
\{ \mathrm { X } \leqslant 0 \} est réalisé lorsque le gain est négatif (lorsque l'on n'obtient pas un multiple de 3).
\{ \mathrm { X } = 2 \} est réalisé lorsque l'on obtient un multiple de 3.
\{ \mathrm { X } \leqslant 0 \} est réalisé lorsque le gain est négatif (lorsque l'on n'obtient pas un multiple de 3).
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Application et méthode
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Énoncé
Un restaurant propose trois menus dont les prix respectifs sont 10 €, 12 € et 18 €. Il y a actuellement 100 clients dans le restaurant.
1. On choisit une personne au hasard dans ce restaurant et on lui demande le prix de son menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?
2. On choisit un menu au hasard et on s'intéresse au nombre de personnes dans le restaurant ayant choisi ce menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?
1. On choisit une personne au hasard dans ce restaurant et on lui demande le prix de son menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?
2. On choisit un menu au hasard et on s'intéresse au nombre de personnes dans le restaurant ayant choisi ce menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?
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- Il faut commencer par déterminer l'univers en fonction de l'expérience aléatoire.
- La variable aléatoire associe une valeur à chaque issue de l'univers.
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Solution
1. L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble \Omega _ { 1 } des personnes du restaurant. Chaque personne interrogée répond 10 ; 12 ou
18. On peut donc définir la variable \text{X} _ { 1 } sur \Omega _ { 1 } qui associe à chaque personne une valeur parmi 10 ; 12 ou 18.
2. L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble \Omega _ { 2 } = \{ 10 \: ; 12 \: ; 18 \}. Pour chaque valeur, on compte le nombre de personnes ayant choisi le menu. La variable aléatoire \text{X} _ { 2 } est définie sur \Omega _ { 2 } et associe à chaque prix le nombre de personne correspondant.
2. L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble \Omega _ { 2 } = \{ 10 \: ; 12 \: ; 18 \}. Pour chaque valeur, on compte le nombre de personnes ayant choisi le menu. La variable aléatoire \text{X} _ { 2 } est définie sur \Omega _ { 2 } et associe à chaque prix le nombre de personne correspondant.
Pour s'entraîner
exercices à p. 321
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BLoi de probabilité d'une variable aléatoire réelle
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Définition
La probabilité de l'événement \left\{ \text{X} = x _ { i } \right\} est la somme des probabilités des issues de \text{X} auxquelles on associe le réel x _ { i }.
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Définition
Soit \text{X} une variable aléatoire définie sur \Omega. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire \text{X}, c'est associer à chaque valeur x_i prise par \text{X} la probabilité de l'événement \left\{ \text{X} = x _ {i} \right\}.
On présente souvent la loi de probabilité de \text{X} sous la forme d'un tableau.
Les probabilités obtenues sont telles que : p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { n } = 1.
On présente souvent la loi de probabilité de \text{X} sous la forme d'un tableau.
| x_i | x_1 | x_2 | ... | x_n |
| \text {P} \left( \text {X} = {x}_{i} \right) | p_1 | p_2 | ... | p_n |
Les probabilités obtenues sont telles que : p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { n } = 1.
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Pour alléger les écritures, on note \mathrm { P } \left( \mathrm { X } = x _ { i } \right) à la place de \mathrm { P } \left( \left\{ \mathrm { X } = x _ { i } \right\} \right).
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Application et méthode
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Énoncé
Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie.
On gagne 5 € à chaque fois qu'on obtient pile et on perd 2 € à chaque fois qu'on obtient face.
Soit \text{X} la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain, éventuellement négatif, obtenu à la fin.
1. Quelles sont les valeurs prises par \text{X} \:?
2. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
3. En déduire \mathrm { P } ( \mathrm { X } \leqslant 3 ) puis \mathrm { P } ( \mathrm { X } > 3 ).
1. Quelles sont les valeurs prises par \text{X} \:?
2. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
3. En déduire \mathrm { P } ( \mathrm { X } \leqslant 3 ) puis \mathrm { P } ( \mathrm { X } > 3 ).
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1. On liste l'ensemble des issues
de cette expérience aléatoire.
Pour chacune des issues, on détermine la valeur prise par la variable aléatoire.
2. On détermine les probabilités de chacune des valeurs prises par \text{X} et on présente le résultat sous la forme d'un tableau.
3. On repère uniquement les valeurs qui réalisent l'événement et on additionne les probabilités correspondantes.
Pour chacune des issues, on détermine la valeur prise par la variable aléatoire.
2. On détermine les probabilités de chacune des valeurs prises par \text{X} et on présente le résultat sous la forme d'un tableau.
3. On repère uniquement les valeurs qui réalisent l'événement et on additionne les probabilités correspondantes.
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Solution
1. L'ensemble des issues de cette expérience aléatoire est \Omega = \{ ( \mathrm { P } ; \mathrm { P } ) ; ( \mathrm { P } \: ; \mathrm { F } ) \: ; ( \mathrm { F } \: ; \mathrm { F } ) \: ; ( \mathrm { F } \: ; \mathrm { P } ) \}.
2. On a \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 10 ) = \dfrac { 1 } { 4 } , \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) = \dfrac { 2 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 2 } et \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = \dfrac { 1 } { 4 }.
On donne la loi de probabilité de \text{X} dans le tableau suivant.
On a bien \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 10 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = 1.
3. D'après le tableau, \mathrm { P } ( \mathrm { X } \leqslant 3 ) = \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 4 } = \dfrac { 3 } { 4 }.
Les événements \{ \text{X} \leqslant 3 \} et \{ \text{X} > 3 \} sont complémentaires : on a donc \text{P} ( \text{X} > 3 ) = 1 - \dfrac { 3 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 4 }. On peut aussi remarquer que \text{P} ( \text{X} > 3 ) = \text{P} ( \text{X} = 10 ).
- Si on obtient deux fois pile, on gagne 10 €.
- Si on obtient une fois pile et une fois face, on gagne 3 €.
- Si on obtient deux fois face, on perd 4 €.
2. On a \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 10 ) = \dfrac { 1 } { 4 } , \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) = \dfrac { 2 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 2 } et \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = \dfrac { 1 } { 4 }.
On donne la loi de probabilité de \text{X} dans le tableau suivant.
| x_i | 10 | 3 | -4 |
| \text {P} \left( \text {X} = x_i \right) | \dfrac { 1 } { 4 } | \dfrac { 1 } { 2 } | \dfrac { 1 } { 4 } |
On a bien \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 10 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = 1.
3. D'après le tableau, \mathrm { P } ( \mathrm { X } \leqslant 3 ) = \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 4 } = \dfrac { 3 } { 4 }.
Les événements \{ \text{X} \leqslant 3 \} et \{ \text{X} > 3 \} sont complémentaires : on a donc \text{P} ( \text{X} > 3 ) = 1 - \dfrac { 3 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 4 }. On peut aussi remarquer que \text{P} ( \text{X} > 3 ) = \text{P} ( \text{X} = 10 ).
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j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah