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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1

Suites numériques

Ch. 2

Fonctions de référence

Ch. 3

Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4

Dérivation

Ch. 5

Applications de la dérivation

Ch. 6

Fonction exponentielle

Ch. 7

Trigonométrie

Ch. 8

Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9

Produit scalaire

Ch. 10

Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11

Probabilités conditionnelles

Ch. 12

Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 12

Cours 1

Variables aléatoires réelles

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A
Notion de variable aléatoire réelle

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Définition

Soit

Ω

l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire (

Ω

est l'univers). Une variable aléatoire sur

Ω

est une fonction définie sur

Ω

à valeurs dans

R .

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Remarque

Autrement dit, on définit une variable aléatoire

X

sur

Ω

quand on associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience aléatoire.

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Définition

Soient

X

une variable aléatoire définie sur

Ω

x

un réel.
1. L'événement « $X$ prend la valeur $x$ » est l'ensemble des issues de

Ω

auxquelles on associe le réel

x .

2. L'événement « $X$ prend des valeurs supérieures ou égales à $x$ » est l'ensemble des issues de

Ω

auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à

x .

3. L'événement « $X$ prend des valeurs inférieures ou égales à $x$ » est l'ensemble des issues de

Ω

auxquelles on associe un réel inférieur ou égal à

x .

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Notation

Ces événements sont respectivement notés

{X = x},

{X ⩾ x}

{X ⩽ x} .

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Exemple

On lance un dé à six faces. Si on obtient un multiple de

3,

on gagne

2

€ ; sinon, on perd

1

€.

X

est la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le gain obtenu (ce gain peut éventuellement être négatif).

{X = 2}

est réalisé lorsque l'on obtient un multiple de

3.

{X ⩽ 0}

est réalisé lorsque le gain est négatif (lorsque l'on n'obtient pas un multiple de

3

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Application et méthode

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Énoncé

Un restaurant propose trois menus dont les prix respectifs sont

10

€,

12

€ et

18

€. Il y a actuellement

100

clients dans le restaurant.
1. On choisit une personne au hasard dans ce restaurant et on lui demande le prix de son menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?

2. On choisit un menu au hasard et on s'intéresse au nombre de personnes dans le restaurant ayant choisi ce menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?

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Méthode

Il faut commencer par déterminer l'univers en fonction de l'expérience aléatoire.
La variable aléatoire associe une valeur à chaque issue de l'univers.

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Solution

1. L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble

Ω_{1}

des personnes du restaurant. Chaque personne interrogée répond

10

;

12

18.

On peut donc définir la variable

X_{1}

sur

Ω_{1}

qui associe à chaque personne une valeur parmi

10

;

12

18.

2. L'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble

Ω_{2} = {10; 12; 18} .

Pour chaque valeur, on compte le nombre de personnes ayant choisi le menu. La variable aléatoire

X_{2}

est définie sur

Ω_{2}

et associe à chaque prix le nombre de personne correspondant.

Pour s'entraîner

exercices 20
à 22
p. 321

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B
Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle

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Définition

La probabilité de l'événement

{X = x_{i}}

est la somme des probabilités des issues de

X

auxquelles on associe le réel

x_{i} .

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Définition

Soit

X

une variable aléatoire définie sur

Ω.

Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire

X,

c'est associer à chaque valeur

x_{i}

prise par

X

la probabilité de l'événement

{X = x_{i}} .

On présente souvent la loi de probabilité de

X

sous la forme d'un tableau.

$x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$...$	$x_{n}$
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$...$	$p_{n}$

Les probabilités obtenues sont telles que :

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1.

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Notation

Pour alléger les écritures, on note

P (X = x_{i})

à la place de

P ({X = x_{i}}) .

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Application et méthode

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Énoncé

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On gagne

5

€ à chaque fois qu'on obtient pile et on perd

2

€ à chaque fois qu'on obtient face. Soit

X

la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain, éventuellement négatif, obtenu à la fin.

1. Quelles sont les valeurs prises par

X ?

2. Déterminer la loi de probabilité de

X.

3. En déduire

P (X ⩽ 3)

puis

P (X > 3) .

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Méthode

1. On liste l'ensemble des issues de cette expérience aléatoire.
Pour chacune des issues, on détermine la valeur prise par la variable aléatoire.
2. On détermine les probabilités de chacune des valeurs prises par

X

et on présente le résultat sous la forme d'un tableau.
3. On repère uniquement les valeurs qui réalisent l'événement et on additionne les probabilités correspondantes.

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Solution

1. L'ensemble des issues de cette expérience aléatoire est

Ω = {(P; P); (P; F); (F; F); (F; P)} .

Si on obtient deux fois pile, on gagne $10$ €.
Si on obtient une fois pile et une fois face, on gagne $3$ €.
Si on obtient deux fois face, on perd $4$ €.

Les valeurs prises par

X

sont

10

;

3

- 4.

2. On a

P (X = 10) = \frac{1}{4},

P (X = 3) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

P (X = - 4) = \frac{1}{4} .

On donne la loi de probabilité de

X

dans le tableau suivant.

$x_{i}$	10	3	-4
$P (X = x_{i})$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

On a bien

P (X = 10) + P (X = 3) + P (X = - 4) = 1.

3. D'après le tableau,

P (X ⩽ 3) = P (X = 3) + P (X = - 4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

Les événements

{X ⩽ 3}

{X > 3}

sont complémentaires : on a donc

P (X > 3) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} .

On peut aussi remarquer que

P (X > 3) = P (X = 10) .

Pour s'entraîner

exercices 23
à 26
p. 321

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Variables aléatoires réelles

ANotion de variable aléatoire réelle

Remarque

Notation

Méthode

BLoi de probabilité d'une variable aléatoire réelle

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