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COURS 1


1
Variables aléatoires réelles




B
Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle


NOTATION

Pour alléger les écritures, on note P(X=xi)\mathrm { P } \left( \mathrm { X } = x _ { i } \right) à la place de P({X=xi}).\mathrm { P } \left( \left\{ \mathrm { X } = x _ { i } \right\} \right).

Définition

La probabilité de l’événement {X=xi}\left\{ \text{X} = x _ { i } \right\} est la somme des probabilités des issues de X\text{X} auxquelles on associe le réel xi.x _ { i }.

Définition

Soit X\text{X} une variable aléatoire définie sur Ω.\Omega. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X,\text{X}, c’est associer à chaque valeur xix_i prise par X\text{X} la probabilité de l’événement {X=xi}.\left\{ \text{X} = x _ {i} \right\}.
On présente souvent la loi de probabilité de X\text{X} sous la forme d’un tableau.

 xix_i x1x_1 x2x_2 ...... xnx_n
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = {x}_{i} \right) p1p_1 p2p_2 ...... pnp_n

Les probabilités obtenues sont telles que : p1+p2++pn=1.p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { n } = 1.

A
Notion de variable aléatoire réelle


Définition

Soit Ω\Omega l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire (Ω\Omega est l’univers). Une variable aléatoire sur Ω\Omega est une fonction définie sur Ω\Omega à valeurs dans R.\R .

Remarque

Autrement dit, on définit une variable aléatoire X\text{X} sur Ω\Omega quand on associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

NOTATION

Ces événements sont respectivement notés {X=x},\{ \mathrm { X } = x \}, {Xx}\{ \mathrm { X } \geqslant x \} et {Xx}.\{ \mathrm { X } \leqslant x \}.

Définitions

Soient X\text{X} une variable aléatoire définie sur Ω\Omega et xx un réel.
1. L’événement « X\mathbf { X } prend la valeur x\bm{x} » est l’ensemble des issues de Ω\Omega auxquelles on associe le réel x.x .
2. L’événement « X\mathbf { X } prend des valeurs supérieures ou égales à x\bm{x} » est l’ensemble des issues de Ω\Omega auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à x.x .
3. L’événement « X\mathbf { X } prend des valeurs inférieures ou égales à x\bm{x} » est l’ensemble des issues de Ω\Omega auxquelles on associe un réel inférieur ou égal à x.x .

Exemple

On lance un dé à six faces. Si on obtient un multiple de 3,3, on gagne 22 € ; sinon, on perd 11 €. X\text{X} est la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le gain obtenu (ce gain peut éventuellement être négatif).
{X=2}\{ \mathrm { X } = 2 \} est réalisé lorsque l’on obtient un multiple de 3.3.
{X0}\{ \mathrm { X } \leqslant 0 \} est réalisé lorsque le gain est négatif (lorsque l’on n’obtient pas un multiple de 33).

Application et méthode

Énoncé

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On gagne 55 € à chaque fois qu’on obtient pile et on perd 22 € à chaque fois qu’on obtient face.
Soit X\text{X} la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain, éventuellement négatif, obtenu à la fin.

1. Quelles sont les valeurs prises par X?\text{X} \:?

2. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}

3. En déduire P(X3)\mathrm { P } ( \mathrm { X } \leqslant 3 ) puis P(X>3).\mathrm { P } ( \mathrm { X } > 3 ).

SOLUTION

1. L’ensemble des issues de cette expérience aléatoire est Ω={(P;P);(P;F);(F;F);(F;P)}.\Omega = \{ ( \mathrm { P } ; \mathrm { P } ) ; ( \mathrm { P } \: ; \mathrm { F } ) \: ; ( \mathrm { F } \: ; \mathrm { F } ) \: ; ( \mathrm { F } \: ; \mathrm { P } ) \}.
  • Si on obtient deux fois pile, on gagne 1010 €.
  • Si on obtient une fois pile et une fois face, on gagne 33 €.
  • Si on obtient deux fois face, on perd 44 €.
Les valeurs prises par X\text{X} sont 1010 ; 33 et 4.-4.

2. On a P(X=10)=14,\mathrm { P } ( \mathrm { X } = 10 ) = \dfrac { 1 } { 4 } , P(X=3)=24=12\mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) = \dfrac { 2 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 2 } et P(X=4)=14. \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = \dfrac { 1 } { 4 }.
On donne la loi de probabilité de X\text{X} dans le tableau suivant.

 xix_i 10 3 -4
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = x_i \right) 14\dfrac { 1 } { 4 } 12\dfrac { 1 } { 2 } 14\dfrac { 1 } { 4 }

On a bien P(X=10)+P(X=3)+P(X=4)=1.\mathrm { P } ( \mathrm { X } = 10 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = 1.

3. D’après le tableau, P(X3)=P(X=3)+P(X=4)=12+14=34.\mathrm { P } ( \mathrm { X } \leqslant 3 ) = \mathrm { P } ( \mathrm { X } = 3 ) + \mathrm { P } ( \mathrm { X } = - 4 ) = \dfrac { 1 } { 2 } + \dfrac { 1 } { 4 } = \dfrac { 3 } { 4 }.
Les événements {X3}\{ \text{X} \leqslant 3 \} et {X>3}\{ \text{X} > 3 \} sont complémentaires : on a donc P(X>3)=134=14.\text{P} ( \text{X} > 3 ) = 1 - \dfrac { 3 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 4 }. On peut aussi remarquer que P(X>3)=P(X=10).\text{P} ( \text{X} > 3 ) = \text{P} ( \text{X} = 10 ).

Pour s'entraîner : exercices 23 à 26 p. 321

Méthode

1. On liste l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire.
Pour chacune des issues, on détermine la valeur prise par la variable aléatoire.
2. On détermine les probabilités de chacune des valeurs prises par X\text{X} et on présente le résultat sous la forme d’un tableau.
3. On repère uniquement les valeurs qui réalisent l’événement et on additionne les probabilités correspondantes.

Application et méthode


SOLUTION

1. L’univers de cette expérience aléatoire est l’ensemble Ω1\Omega _ { 1 } des personnes du restaurant. Chaque personne interrogée répond 1010 ; 1212 ou 18.18. On peut donc définir la variable X1\text{X} _ { 1 } sur Ω1\Omega _ { 1 } qui associe à chaque personne une valeur parmi 1010 ; 1212 ou 18.18.

2. L’univers de cette expérience aléatoire est l’ensemble Ω2={10;12;18}.\Omega _ { 2 } = \{ 10 \: ; 12 \: ; 18 \}. Pour chaque valeur, on compte le nombre de personnes ayant choisi le menu. La variable aléatoire X2\text{X} _ { 2 } est définie sur Ω2\Omega _ { 2 } et associe à chaque prix le nombre de personne correspondant.

Pour s'entraîner : exercices 20 à 22 p. 321

Énoncé

Un restaurant propose trois menus dont les prix respectifs sont 1010 €, 1212 € et 1818 €. Il y a actuellement 100100 clients dans le restaurant.

1. On choisit une personne au hasard dans ce restaurant et on lui demande le prix de son menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?

2. On choisit un menu au hasard et on s’intéresse au nombre de personnes dans le restaurant ayant choisi ce menu. Quelle variable aléatoire peut-on définir ici ?

Méthode

  • Il faut commencer par déterminer l’univers en fonction de l’expérience aléatoire.
  • La variable aléatoire associe une valeur à chaque issue de l’univers.
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