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4. Autour de la moyenne
P.319
TP / TICE 4


Autour de la moyenne




Énoncé

Dans une urne, il y a dix boules : deux boules bleues et huit boules blanches.
Lorsqu’un joueur tire une boule bleue, il gagne 22 euros. S’il tire une boule blanche, il gagne 11 euro.
On note X\text{X} le gain du joueur et G\text{G} le gain moyen du joueur s’il joue dix parties.
On note également μ\mu l’espérance de X\text{X} et σ\sigma son écart-type. On peut alors noter σ2\sigma^2 la variance de X.\text{X.}

Objectif

Calculer la fréquence avec laquelle, si l’on répète cette expérience 100100 fois, le gain moyen du joueur est dans l’intervalle [μ2σ10;μ+2σ10],\left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \,; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right], à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Recopier la feuille de calcul ci-dessous.
  • Compléter les cellules B2 à K2 pour simuler une partie de dix lancers.
  • Compléter la cellule L2 pour calculer le gain moyen du joueur sur cette partie de dix lancers.
  • Copier cette ligne vers le bas pour simuler 100100 fois une telle partie.

Autour de la moyenne

2. Calculer l’espérance μ\mu et la variance σ2\sigma ^ { 2 } de X.\text{X.}


3. À l’aide du tableur, calculer la fréquence avec laquelle le gain moyen G\text{G} du joueur appartient à l’intervalle [μ2σ10;μ+2σ10].\left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].

AIDE

3. On pourra créer une colonne qui calcule Gμ| \text{G} - \mu | et utiliser la fonction =NB.SI.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

Le programme suivant simule 100 parties du jeu.

1. Compléter les pointillés dans ce programme.

2. Calculer l’espérance μ\mu et la variance σ2\sigma ^ { 2 } de X.\text{X.}


3. À l’aide du programme complété, calculer la fréquence avec laquelle le gain du joueur appartient à l’intervalle [μ2σ10;μ+2σ10].\left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].


4. Avec Python, il est possible de simuler des échantillons de taille beaucoup plus grande qu’avec le tableur.
Faire des tests en simulant 10001\:000 parties puis 1000010\:000 parties.


Python

from random import* 

def partie():
	gain = 0 
	for i in range(10):
  	if random() < 0.2: 
      ...
    else:
  		...
	return(gain/10)

proche = 0
for i in range(100):
	if ...: 
		proche = proche + 1

print(proche/100) 
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