Mathématiques 1re Spécialité

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TP / TICE 4

Autour de la moyenne

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Énoncé
Dans une urne, il y a dix boules : deux boules bleues et huit boules blanches. Lorsqu'un joueur tire une boule bleue, il gagne 2 euros. S'il tire une boule blanche, il gagne 1 euro.
On note \text{X} le gain du joueur et \text{G} le gain moyen du joueur s'il joue dix parties.
On note également \mu l'espérance de \text{X} et \sigma son écart-type. On peut alors noter \sigma^2 la variance de \text{X.}
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Objectif
Calculer la fréquence avec laquelle, si l'on répète cette expérience 100 fois, le gain moyen du joueur est dans l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \,; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right], à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1
Tableur

1. Recopier la feuille de calcul ci-dessous dans un tableur.
  • Compléter les cellules B2 à K2 pour simuler une partie de dix lancers.
  • Compléter la cellule L2 pour calculer le gain moyen du joueur sur cette partie de dix lancers.
  • Copier cette ligne vers le bas pour simuler 100 fois une telle partie.

Placeholder pour Autour de la moyenneAutour de la moyenne
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2. Calculer l'espérance \mu et la variance \sigma ^ { 2 } de \text{X.}


3. À l'aide du tableur, calculer la fréquence avec laquelle le gain moyen \text{G} du joueur appartient à l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].
Aide
On pourra créer une colonne qui calcule | \text{G} - \mu | et utiliser la fonction =NB.SI.
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Méthode 2
Python

Le programme suivant simule 100 parties du jeu.

1. Compléter les pointillés dans ce programme.

from random import* 

def partie():
	gain = 0 
	for i in range(10):
  	if random() < 0.2: 
      ...
    else:
  		...
	return(gain/10)

proche = 0
for i in range(100):
	if ...: 
		proche = proche + 1

print(proche/100) 

2. Calculer l'espérance \mu et la variance \sigma ^ { 2 } de \text{X.}


3. À l'aide du programme complété, calculer la fréquence avec laquelle le gain du joueur appartient à l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].


4. Avec Python, il est possible de simuler des échantillons de taille beaucoup plus grande qu'avec le tableur.
Faire des tests en simulant 1\:000 parties puis 10\:000 parties.


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