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TP / TICE 3


Convergence de la moyenne vers l’espérance




MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

On cherche à simuler un échantillon de taille nn de la variable aléatoire X\text{X} à l’aide d’une feuille de calcul de ce type :

Convergence de la moyenne vers l’espérance

1. a. Que permet de faire l’instruction ALEA() sur le tableur ?

b. Dans la cellule B2, on a écrit =ALEA(). Expliquer pourquoi l’instruction suivante permet de simuler l’événement {X=300}\{ \mathrm { X } = 300 \} avec la bonne probabilité : =SI(B2 <= 0,527 ; 300 ; …).

c. Que faut-il indiquer comme instruction utilisant la fonction ET et la cellule B2 pour obtenir le résultat 600600 dans la cellule C2 ?

2. Comment expliquer la saisie finale effectuée dans la cellule C2 ?

Convergence de la moyenne vers l’espérance


3. a. En utilisant les formules ci-dessus, simuler un échantillon de taille n=10n = 10 : dix valeurs aléatoires entre 00 et 11 sont placées dans la colonne B et on leur associe la bonne valeur du sinistre dans la colonne C.

b. Calculer la moyenne des dix valeurs obtenues dans la colonne C.

c. Calculer la valeur absolue de la différence entre l’espérance théorique et la moyenne observée.

4. Reprendre la question 3. avec n=100,n = 100 , puis n=1000,n = 1\:000 , puis n=5000.n = 5\:000 . Que constate-t-on ?

Énoncé

Une société d’assurance a réparti les sinistres en différentes catégories en fonction des montants à rembourser et de la probabilité théorique que ce sinistre intervienne. Voici le résumé réalisé :

 Montant du sinistre en € 300 600 1 200 2 400 4 800
 Probabilité 52,7 % 16,4 % 21,8 % 5,5 % 3,6 %

Questions préliminaires :
1. Donner une interprétation de la colonne contenant 12001\: 200.

2. On définit la variable aléatoire réelle X\text{X} qui prend comme valeurs les montants des sinistres ci-dessus. Quel est le lien entre la variable aléatoire X\text{X} et le tableau réalisé par la société d’assurance ?

3. Calculer et interpréter E(X).\text{E(X).}

Objectif

Étudier la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille nn de la variable aléatoire X\text{X} et E(X)\text{E(X)} à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On cherche à simuler un échantillon de taille nn de la variable aléatoire X\text{X} à l’aide de Python.
1. Importer la bibliothèque random qui permet d’utiliser l’instruction random(). À quoi sert cette instruction ?

2. a. Pour chaque échantillon simulé, on veut compter le nombre de sinistres pour chacun des montants. Créer alors cinq compteurs x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, x4x_4 et x5x_5 initialisés à 0.0.
b. En quoi les instructions suivantes permettent de simuler l’événement {X=300}\{ \text{X} = 300 \} avec la bonne probabilité ?

Convergence de la moyenne vers l’espérance


c. Quelle inégalité faut-il écrire sur a pour simuler l’événement {X=600}\{ \text{X} = 600 \} ?

3. Écrire un programme complet qui permet de simuler les cinq montants possibles d’un sinistre.
4. a. Réaliser la simulation d’un échantillon de taille n=10n = 10 et calculer la moyenne des valeurs obtenues.

b. Calculer la valeur absolue de la différence entre l’espérance théorique et la moyenne observée.

5. Reprendre la question 4. avec n=100,n = 100 , n=1000n = 1\:000 et n=100000.n = 100\:000 . Que constate-t-on ?

Python



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