Entrainement 1


Variables aléatoires réelles





44
[Modéliser.]
Voici la composition d’un jeu de domino.
jeu de domino noir

On tire au hasard un domino.
Soit S\text{S} la variable aléatoire qui donne la somme des points inscrits sur le domino.
Déterminer la loi de probabilité de S.\text{S.}

42
[Modéliser.]
X\text{X} est la variable aléatoire qui associe à chaque lancer (1)n(-1)^nnn est le nombre obtenu.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 53 ; 59 ; 79 et 81
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 48 ; 56 ; 65 ; 70 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 47 ; 52 ; 58 ; 68 ; 75 et 82

55
[Chercher.]
La planche de Galton. Un joueur lâche une bille sur une planche inclinée sur laquelle sont plantés des clous comme sur la figure ci-dessous.

Variables aléatoires réelles

À chaque clou rencontré, la bille passe indifféremment à droite ou à gauche. En fin de parcours, elle tombe dans l’une des cases numérotées de 00 à 4.4. Le numéro de la case est donc le nombre de fois où la bille est descendue à droite lors de son parcours.

1. Traduire cette situation par un arbre de probabilité.

Couleurs
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2. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui au lancer d’une bille associe le numéro de la case dans laquelle elle termine son parcours. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
Formes
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45
[Modéliser.]
Une urne contient les jetons, indiscernables au toucher, représentés ci-dessous.

Variables aléatoires réelles

1. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui associe, au tirage d’un jeton dans l’urne, la valeur du nombre inscrit sur celui-ci. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}

2. On suppose maintenant que les jetons verts comptent double, les jetons rouges comptent pour moitié et les jetons bleus sont sans effet.
Soit Y\text{Y} la variable aléatoire qui associe, au tirage d’un jeton dans l’urne, la valeur du nombre inscrit sur celui-ci en tenant compte des modifications. Déterminer la loi de probabilité de Y.\text{Y.}

51
[Modéliser.]
Dans un club d’aviron, les adhérents peuvent choisir une formule d’entraînements uniquement le week-end, ou bien une formule d’entraînements le week-end et la semaine.
De plus, ils peuvent adhérer au club uniquement pour accéder à toutes les installations intérieures (rameurs, salle de musculation, etc.) sans profiter des entraînements sur l’eau.
Enfin, ils ont la possibilité de s’inscrire à des séances de fitness complémentaires.
La répartition des différents adhérents est donnée dans le tableau ci-après.

 Week-end
uniquement
 Week-end
et semaine
 En salle  Total
 Fitness 20 70
 Pas fitness 190 350
 Total 150 450

1. Compléter le tableau à double entrée.
2. Le prix à l’année pour la formule week-end uniquement est de 450,450 \:€, 505505\:€ pour la formule week-end et semaine, et 400400\:€ pour la formule en salle. De plus, l’inscription aux séances de fitness coûte 3030\:€ par an.
On note X\text{X} le montant des frais d’inscription payés par un adhérent choisi au hasard dans ce club d’aviron. Donner la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
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46
[Modéliser.] ◉◉
On lance simultanément deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 11 à 6.6.
1. Soit S\text{S} la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des deux dés. Déterminer la loi de probabilité de S.\text{S.}

2. Soit D\text{D} la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la valeur absolue de la différence des deux dés. Déterminer la loi de probabilité de D.\text{D.}

Pour les exercices
40
à
42

On lance un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont numérotées de 11 à 4.4. Dans chaque cas, déterminer :
1. les valeurs prises par la variable aléatoire X\text{X} ;
2. la loi de probabilité de X\text{X}.

53
[Modéliser.] ◉◉
On étudie le comportement d’une souris dans le labyrinthe ci-dessous.

Variables aléatoires réelles

À chaque intersection, la souris choisit au hasard et de manière équiprobable une direction. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de fromages que la souris a mangés en traversant le labyrinthe. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
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39
[Communiquer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer la valeur de pp pour que le tableau soit celui d’une loi de probabilité.
1.
 xix _ { i } -2 1 3
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = x_{i} \right) 13\dfrac { 1 } { 3 } 12\dfrac { 1 } { 2 } pp


2.
 xix _ { i } -3 1 2
 P(Y=xi)\text {P} \left( \text {Y} = x_{i} \right) 0,25 pp 0,55


3.
 xix _ { i } -5 -2 0 1 4
 P(Z=xi)\text {P} \left( \text {Z} = x_{i} \right) pp 14\dfrac { 1 } { 4 } 16\dfrac { 1 } { 6 } 16\dfrac { 1 } { 6 } 13\dfrac { 1 } { 3 }


4.
 xix _ { i } -1 4 5
 P(W=xi)\text {P} \left( \text {W} = x_{i} \right) 2p+0,25-2p+0\text{,}25 p+0,25p+0\text{,}25 p+0,5p+0\text{,}5



Aide
Quelle équation doit vérifier pp ?

47
[Modéliser.] ◉◉◉
Un jeu de tarot comporte 7878 cartes :
  • 5656 cartes « classiques » (1414 de chaque couleur : roi - dame - cavalier - valet - 1010 - 99 - 88 - 77 - 66 - 55 - 44 - 33 - 22 - as) ;
  • 2121 atouts (numérotés de 11 à 2121) ;
  • un joker appelé « excuse ».

Lors du comptage des points à la fin d’une partie, les cartes n’ont pas la même valeur :
  • un roi, l’atout 11, l’atout 2121 et l’excuse rapportent 4,54\text{,}5 points ;
  • une dame rapporte 3,53\text{,}5 points ;
  • un cavalier rapporte 2,52\text{,}5 points ;
  • un valet rapporte 1,51\text{,}5 point ;
  • toutes les autres cartes rapportent 0,50\text{,}5 point.

Soit X\text{X} la variable aléatoire qui au tirage d’une carte d’un jeu de tarot associe sa valeur en points. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
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54
[Modéliser.]
Un restaurant universitaire propose tous les jours de la viande ou du poisson avec comme accompagnement possible des frites ou du riz. On suppose que chaque étudiant choisit aléatoirement le contenu de son assiette.

Les prix affichés sont les suivants :
  • viande : 4,504\text{,}50 € ;
  • poisson : 3,503\text{,}50 € ;
  • frites : 22 € ;
  • riz : 33 €.

On note T\text{T} la variable aléatoire donnant le prix payé pour un plat au restaurant universitaire. Déterminer la loi de probabilité de T.\text{T.}


Couleurs
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41
[Modéliser.]
X\text{X} est la variable aléatoire qui associe à chaque lancer l’inverse du nombre obtenu.

57
[Modéliser.]
On choisit au hasard un nombre entier compris entre 11 et 2020. Si c’est un nombre premier, on gagne 5,5\:€, si c’est un multiple de 4,4, on gagne 2,2\:€, sinon on perd 3.3\:€. Soit X\text{X} la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
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50
[Modéliser.]
Le jeu de Uno est composé de 108108 cartes réparties de la façon suivante :
  • 7676 cartes numérotées de 00 à 99 (19 (19 de chacune des quatre couleurs, neuf paires de même valeur et un seul 0);0)\:;
  • 3232 cartes spéciales (huit cartes « inversion », huit cartes « passe ton tour », huit cartes « +2+2 », quatre cartes « +4+4 » et quatre cartes « joker »).
Dans le comptage des points, les cartes numérotées rapportent autant de points que le nombre qu’elles représentent, les cartes « inversion », « passe ton tour » et « +2+2 » rapportent 2020 points et les cartes « +4+4 » et « joker » rapportent 5050 points.

Jeu de carte Uno

Soit Y\text{Y} la variable aléatoire qui au tirage d’une carte du jeu de Uno associe sa valeur en points. Déterminer la loi de probabilité de Y.\text{Y.}


Couleurs
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40
[Modéliser.]
X\text{X} est la variable aléatoire qui associe à chaque lancer le double du nombre obtenu.

43
[Modéliser.]
Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher numérotées de 11 à 5.5. On en tire trois simultanément. Soit M\text{M} la variable aléatoire qui associe au tirage de trois boules le plus petit nombre inscrit sur celles-ci.
1. Quelles sont les valeurs prises par M ?\text{M ?}

2. Déterminer la loi de probabilité de M.\text{M.}

48
[Modéliser.] ◉◉
Lors d’une kermesse, dans un stand, sont disposées trois roues. Chaque roue est divisée en douze secteurs de même aire. Une roue étant lancée, elle s’arrête aléatoirement face à la flèche sur un seul secteur. On admettra que tous les secteurs ont la même probabilité d’être « tirés ».
Pour participer, un joueur choisit l’une des trois roues, acquitte la mise correspondant à la roue choisie, puis lance cette roue. Si le secteur « tiré » est jaune, le joueur reçoit le gain correspondant à la roue choisie.

Variables aléatoires réelles

Soit X\text{X} (respectivement Y\text{Y} et Z\text{Z} ) la variable aléatoire donnant le gain du joueur qui lance la roue R1\text{R1} (respectivement R2\text{R2} et R3\text{R3} ). Déterminer la loi de probabilité de X,\text{X,} Y\text{Y} et Z.\text{Z.}


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49
[Modéliser.]
Le jeu de Scrabble est composé de 102102 jetons : 22 jokers qui rapportent 00 point et les 2626 lettres de l’alphabet sont réparties de la façon suivante.

Jeu de Scrabble

Par exemple, 99 jetons portent la lettre A et rapportent 11 point, 22 jetons portent la lettre B et rapportent 33 points, 22 jetons portent la lettre C et rapportent 33 points, etc.
Soit X\text{X} la variable aléatoire qui associe au tirage d’un jeton le nombre de points que celui-ci rapporte.
Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
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56
[Modéliser.] ◉◉
Dans un zoo, on a regroupé dans le même enclos trois dromadaires (D1,(\text{D}_1, D2\text{D}_2 et D3),\text{D}_3), deux chameaux (C1\text{C}_1 et C2\text{C}_2) et un lama (L)\text{L)}. Un visiteur prend en photo deux animaux qui ont tous la même probabilité d’être photographiés. Soit X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de bosses photographiées.
Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
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58
[Chercher.] ◉◉◉
On lance un dé icosaédrique, dont les faces sont numérotées de 11 à 20,20, que l’on suppose bien équilibré.

dé icosaédrique, dé de 20 faces

On marque :
  • 22 points si le nombre obtenu est pair ;
  • 33 points si le nombre obtenu est premier ;
  • 55 points si le nombre obtenu est un multiple de 55 ;
  • 77 points si le nombre obtenu est un carré parfait.

Les points sont cumulables.
Soit X\text{X} la variable aléatoire qui associe au lancer du dé le nombre de points marqués par le joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}



Couleurs
Formes
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2. En déduire P(X5),\text{P}( \text{X} \leqslant 5 ), P(3X7)\text{P}( 3 \leqslant \text{X} \leqslant 7 ) et P(X>7).\mathrm { P } ( \mathrm { X } > 7 ).

52
ALGO
[Modéliser.] ◉◉◉
Une biscuiterie fabrique des cookies qu’elle conditionne en sachets. Les cookies peuvent être aux pépites de chocolat au lait, de chocolat noir ou de chocolat blanc et peuvent contenir ou non des éclats de noisettes.
Pour déterminer le prix P\text{P} d’un sachet de cookies, la biscuiterie utilise l’algorithme suivant.

P2,5Si les cookies sont aux peˊpites de chocolat noir :PP + 1Sinon:Si les cookies sont aux peˊpites de chocolat blanc : P  P + 0,5 Fin Si Fin Si Si les cookies ont des eˊclats de noisettes :PP + 0,5Fin Si  \boxed{ \begin{array} { l } { \text {P} \leftarrow \text {2,5} } \\ \text {Si les cookies sont aux pépites de chocolat noir :} \\ \quad \text{P} \leftarrow \text {P + 1} \\ \text {Sinon} : \\ \quad \text {Si les cookies sont aux pépites de chocolat blanc :} \\ \quad \quad \text{ P } \leftarrow \text { P + 0,5 } \\ \quad \text {Fin Si } \\ \text {Fin Si } \\ \text {Si les cookies ont des éclats de noisettes :} \\ \quad \text{P} \leftarrow \text {P + 0,5} \\ \text {Fin Si } \\ \end{array} }

1. Déterminer le prix à payer pour un sachet de différentes variétés de cookies.

2. Les six types de cookies ont exactement la même probabilité d’être produits. On appelle X\text{X} la variable aléatoire qui associe à un sachet de cookies son prix de vente. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


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