Variables aléatoires réelles

Le jeu Shadow Hunters est un jeu dans lequel deux camps s'affrontent : les Shadows, créatures des ténèbres, et les Hunters, dont le but est de chasser les monstres. Cet affrontement a lieu au milieu des humains, personnages neutres. Chaque tour de jeu est divisé en deux phases : une phase de déplacement et une phase de combat.
Lors de la phase de déplacement, le joueur lance un dé tétraédrique non truqué à quatre faces comme sur l'image suivante et un dé cubique non truqué à six faces. Les points de déplacement obtenus sont la somme des valeurs des deux dés.

a) Quelles sont les valeurs possibles pour le dé tétraédrique ?

b) Quelles sont les valeurs possibles pour le dé cubique ?

c) En déduire les valeurs possibles pour le déplacement.

Construire un arbre des possibles qui traduit cette expérience aléatoire.

On peut définir une fonction $\text{X}$ dont l'ensemble de définition est l'univers (l'ensemble des issues) de l'expérience aléatoire et qui, à chaque issue, associe le nombre de points de déplacement. $\text{X}$ est appelée variable aléatoire.
L'événement $\{\text{X}=x\}$ est l'événement « la variable aléatoire $\text{X}$ prend la valeur $x$ » et est constitué de toutes les issues qui permettent d'obtenir la valeur $x.$
Par exemple, l'événement $\{\text{X}=2\}$ est obtenu en réalisant le résultat $1$ sur le dé tétraédrique et le résultat $1$ sur le dé cubique. L'arbre des possibles nous donne $\text{P}(\text{X}=2)=\frac{1}{24}.$
L'événement $\{\text{X}=1\}$ est impossible car la somme des deux dés ne peut pas être égale à $1.$

a) À l'aide de l'arbre des possibles, compléter le tableau suivant, appelé loi de probabilité.


b) Comment interpréter l'événement $\{\text{X}⩾4\}$ ?

c) À l'aide du tableau, calculer $\text{P}(\text{X}⩾4).$

d) Calculer de deux façons différentes $\text{P}(\text{X}<4).$

Lors de la phase d'attaque, le joueur lance également les deux dés mais ses points d'attaque sont égaux à la différence des deux résultats obtenus en retranchant le plus petit résultat au plus grand (la différence est donc toujours positive).

a) Déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.

b) On note $\text{Y}$ la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'univers, associe les points d'attaque correspondants. Représenter, en complétant le tableau, la loi de probabilité de $\text{Y}.$

Dans une fête foraine, un jeu consiste à choisir au hasard quatre cases consécutives qui forment soit une ligne, soit une colonne, soit un carré dans le tableau suivant.
On obtient un gain égal à la somme des nombres inscrits sur les cases choisies.
On va chercher la meilleure stratégie à adopter pour maximiser le gain possible.

On suppose ici que l'on choisit une colonne au hasard.

a) Déterminer le gain potentiel pour chacune des $14$ colonnes possibles.

b) Quel est le gain maximal que le joueur peut espérer gagner ?

c) Quel est le gain minimal que le joueur peut espérer gagner ?

d) En moyenne, quel est le gain que le joueur peut espérer gagner ?

On suppose ici que l'on choisit une ligne au hasard.

a) Déterminer le gain potentiel pour chacune des $20$ lignes possibles.

b) Quel est le gain maximal que le joueur peut espérer gagner ?

c) Quel est le gain minimal que le joueur peut espérer gagner ?

d) En moyenne, quel est le gain que le joueur peut espérer gagner ?

On suppose ici que l'on choisit un carré de quatre cases au hasard.

a) Déterminer le gain potentiel pour chacun des $24$ carrés possibles.

b) Quel est le gain maximal que le joueur peut espérer gagner ?

c) Quel est le gain minimal que le joueur peut espérer gagner ?

d) En moyenne, quel est le gain que le joueur peut espérer gagner ?