Le jeu Shadow Hunters est un jeu dans lequel deux camps s'affrontent : les Shadows, créatures des ténèbres, et les Hunters, dont le but est de chasser les monstres. Cet affrontement a lieu au milieu des humains, personnages neutres. Chaque tour de jeu est divisé en deux phases : une phase de déplacement et une phase de combat.
Lors de la phase de déplacement, le joueur lance un dé tétraédrique non truqué à quatre faces comme sur l'image suivante et un dé cubique non truqué à six faces. Les points de déplacement obtenus sont la somme des valeurs des deux dés.

a) Quelles sont les valeurs possibles pour le dé tétraédrique ?

b) Quelles sont les valeurs possibles pour le dé cubique ?

c) En déduire les valeurs possibles pour le déplacement.

Construire un arbre des possibles qui traduit cette expérience aléatoire.

On peut définir une fonction \text{X} dont l'ensemble de définition est l'univers (l'ensemble des issues) de l'expérience aléatoire et qui, à chaque issue, associe le nombre de points de déplacement. \text{X} est appelée variable aléatoire.
L'événement \{\text{X} = x\} est l'événement « la variable aléatoire \text{X} prend la valeur x » et est constitué de toutes les issues qui permettent d'obtenir la valeur x .
Par exemple, l'événement \{ \text{X} = 2 \} est obtenu en réalisant le résultat 1 sur le dé tétraédrique et le résultat 1 sur le dé cubique. L'arbre des possibles nous donne \text{P} ( \text{X} = 2 ) = \dfrac { 1 } { 24 }.
L'événement \{\text{X} = 1\} est impossible car la somme des deux dés ne peut pas être égale à 1.

a) À l'aide de l'arbre des possibles, compléter le tableau suivant, appelé loi de probabilité.


b) Comment interpréter l'événement \{ \text{X} \geqslant 4 \} ?

c) À l'aide du tableau, calculer \text{P} ( \text{X} \geqslant 4 ).

d) Calculer de deux façons différentes \text{P} ( \text{X} \lt 4 ).

Lors de la phase d'attaque, le joueur lance également les deux dés mais ses points d'attaque sont égaux à la différence des deux résultats obtenus en retranchant le plus petit résultat au plus grand (la différence est donc toujours positive).

a) Déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.

b) On note \text{Y} la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'univers, associe les points d'attaque correspondants. Représenter, en complétant le tableau, la loi de probabilité de \text{Y} .

Dans une fête foraine, un jeu consiste à choisir au hasard quatre cases consécutives qui forment soit une ligne, soit une colonne, soit un carré dans le tableau suivant.
On obtient un gain égal à la somme des nombres inscrits sur les cases choisies.
On va chercher la meilleure stratégie à adopter pour maximiser le gain possible.

On suppose ici que l'on choisit une colonne au hasard.

a) Déterminer le gain potentiel pour chacune des 14 colonnes possibles.

b) Quel est le gain maximal que le joueur peut espérer gagner ?

c) Quel est le gain minimal que le joueur peut espérer gagner ?

d) En moyenne, quel est le gain que le joueur peut espérer gagner ?

On suppose ici que l'on choisit une ligne au hasard.

a) Déterminer le gain potentiel pour chacune des 20 lignes possibles.

b) Quel est le gain maximal que le joueur peut espérer gagner ?

c) Quel est le gain minimal que le joueur peut espérer gagner ?

d) En moyenne, quel est le gain que le joueur peut espérer gagner ?

On suppose ici que l'on choisit un carré de quatre cases au hasard.

a) Déterminer le gain potentiel pour chacun des 24 carrés possibles.

b) Quel est le gain maximal que le joueur peut espérer gagner ?

c) Quel est le gain minimal que le joueur peut espérer gagner ?

d) En moyenne, quel est le gain que le joueur peut espérer gagner ?