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Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 12
Entraînement 2
Espérance, variance et écart-type
10 professeurs ont participé à cette page
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Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire \text{X} dont on donne la loi de probabilité.
Arrondir les résultats à 10^{-2} près si nécessaire.
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59
[Calculer.] | x _ { i } | -4 | 1 | 3 | 7 | 12 |
| \text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) | 0,15 | 0,4 | 0,3 | 0,05 | 0,1 |
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[Calculer.]
| x _ { i } | -5 | -2 | 0 | 1 | 4 |
| \text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) | \dfrac { 1 } { 12 } | \dfrac { 1 } { 4 } | \dfrac { 1 } { 6 } | \dfrac { 1 } { 6 } | \dfrac { 1 } { 3 } |
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[Calculer.]
| x _ { i } | 0 | 7 | 13 | 16 | 22 | 28 | 33 | 39 | 42 |
| \text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) | 0,05 | 0,15 | 0,05 | 0,1 | 0,25 | 0,1 | 0,05 | 0,1 | 0,15 |
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62
[Calculer.]
| x _ { i } | 3 | 5 | 8 | 10 | 11 | 13 | 15 | 18 | 20 |
| \text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) | \dfrac { 2 } { 35 } | \dfrac { 1 } { 35 } | \dfrac { 3 } { 35 } | \dfrac { 1 } { 7 } | \dfrac { 2 } { 7 } | \dfrac { 8 } { 35 } | \dfrac { 2 } { 35 } | \dfrac { 3 } { 35 } | \dfrac { 1 } { 35 } |
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[Calculer.]
| x _ { i } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) | \dfrac { 1 } { 21 } | \dfrac { 2 } { 21 } | \dfrac { 1 } { 7 } | \dfrac { 4 } { 21 } | \dfrac { 5 } { 21 } | \dfrac { 6 } { 21 } |
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[Modéliser.]
Après avoir misé une certaine somme d'argent, un joueur lance un dé à six faces.
Il gagne 3 € s'il obtient un diviseur de 6.
Quel doit être le montant de la mise pour que le jeu
soit équitable (c'est-à-dire pour que l'espérance de gain soit nulle) ?
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[Calculer.]
On donne dans le tableau ci-dessous la loi de probabilité d'une variable aléatoire \text{X.}
| x _ { i } | -2 | a | 3 |
| \text {P} \left( \text {X} = {x} _ { i } \right) | \dfrac { 2 } { 7 } | \dfrac { 4 } { 9 } | p |
1. Déterminer la valeur de p.
2. Quelle valeur faut-il donner à a pour que \text{E(X)} = 2\:?
2. Quelle valeur faut-il donner à a pour que \text{E(X)} = 2\:?
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[Modéliser.]
Deux amis décident d'aller au cinéma un jeudi soir. Au
guichet, ils ont le choix entre trois formules différentes.
- Formule A : 12\text{,}10\:€ la place.
- Formule B : une carte nominative de cinq places non utilisable le week-end à 32\:€.
- Formule C : une carte nominative de cinq places valable tous les jours à 41\text{,}50\:€.
Ils choisissent chacun une formule de façon équiprobable et on note \text{X} la variable aléatoire qui associe au choix d'une formule la somme totale payée par les deux amis.
1. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
2. Calculer l'espérance de \text{X} et interpréter le résultat obtenu.
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[Modéliser.]
Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous. La probabilité d'atteindre une zone de couleur est proportionnelle à sa surface. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Quelles sont les probabilités d'atteindre chacune des cinq zones colorées ?
2. On note \text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de \text{X.}
b. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
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68
[Modéliser.]
Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
- La zone rouge est un cercle de rayon 10 cm.
- La zone orange est une couronne dont le grand rayon est 30 cm.
- La zone jaune est une couronne dont le grand rayon est 50 cm.
- La zone bleue est une couronne dont le grand rayon est 70 cm.
La probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à sa surface.
On suppose que le participant ne rate jamais la cible.
1. Calculer la surface totale de la cible puis les probabilités d'atteindre les différentes zones ?
2. On note \text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de \text{X.}
b. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
2. On note \text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de \text{X.}
b. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
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[Modéliser.]
Un Rubik's cube est constitué de 27 petits cubes sur lesquels sont collées des étiquettes de couleur. On détache les petits cubes, indiscernables au toucher, et on les place dans une urne. On en tire un au hasard.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Soit \text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de faces colorées sur le petit cube.
1. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
2. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
1. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
2. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
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70
[Modéliser.]
Pour se rendre au travail, Camille prend le bus. Le trajet comporte quatre arrêts.
On note \text{S} le nombre de fois où le bus s'est effectivement arrêté lors du trajet. Une étude statistique a permis d'établir la loi de probabilité de \text{S.}
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \text{P} \left( \text{S} = { x } _ { i } \right) | 0,05 | 0,15 | 0,3 | 0,35 | 0,15 |
1. Calculer \text{E(S)} et interpréter le résultat.
2. Le trajet direct dure vingt minutes et chaque arrêt rallonge de trois minutes la durée du voyage. Soit \text{T} la variable aléatoire qui donne la durée du trajet.
a. Quelle relation lie \text{S} et \text{T} ?
b. En déduire, sur un très grand nombre de jours, le temps de trajet moyen mis par Camille pour se rendre au travail.
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[Modéliser.]
Un magasin propose un service de courses en ligne. Les achats des clients sont rangés dans des sacs réutilisables dont le nombre dépend du volume que représentent les différents articles.
On note \text{X} le nombre de sacs nécessaires pour ranger les courses d'un client. Une étude statistique a permis d'établir la loi de probabilité de \text{X.}
On note \text{X} le nombre de sacs nécessaires pour ranger les courses d'un client. Une étude statistique a permis d'établir la loi de probabilité de \text{X.}
| x_i | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \text{P} \left( \text{X} = { x } _ { i } \right) | 0,15 | 0,2 | 0,45 | 0,1 | 0,1 |
1. Calculer \text{E(X)}.
2. En moyenne, les clients paient 70 € pour leurs articles et chaque sac est facturé 0\text{,}30 €. Soit \text{T} la variable aléatoire qui donne le prix total que paie un client.
a. Quelle relation lie \text{X} et \text{T} ?
b. En déduire \text{E(T)} et interpréter le résultat.
c. En général, il y a 80 clients par jour en semaine et 120 clients par jour le samedi (le magasin est fermé le dimanche). Quelle est la recette hebdomadaire que peut espérer réaliser ce magasin ?
2. En moyenne, les clients paient 70 € pour leurs articles et chaque sac est facturé 0\text{,}30 €. Soit \text{T} la variable aléatoire qui donne le prix total que paie un client.
a. Quelle relation lie \text{X} et \text{T} ?
b. En déduire \text{E(T)} et interpréter le résultat.
c. En général, il y a 80 clients par jour en semaine et 120 clients par jour le samedi (le magasin est fermé le dimanche). Quelle est la recette hebdomadaire que peut espérer réaliser ce magasin ?
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Laquelle des trois
roues est la moins désavantageuse pour le joueur ?
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[Modéliser.]
Reprendre le contexte de l'exercice .
1. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
2. L'année suivante, le club d'aviron décide de diminuer les tarifs de 5 % pour attirer plus de personnes. Soit \text{Y} la variable aléatoire qui donne le montant payé par un adhérent de ce club l'année suivante. Déterminer \text{E(Y).}
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74
[Modéliser.]
Un jeu consiste à faire tourner la roue suivante après avoir payé une mise. Les nombres inscrits
dans les différents secteurs correspondent au gain (en euro) remporté par le joueur avant déduction de la mise payée.
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Quelle doit être la mise payée par le joueur pour que le jeu soit équitable ?
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75
[Modéliser.]
Une coccinelle se déplace en partant du point \text{A} sur la figure ci-après.
À chaque intersection, la coccinelle choisit au hasard une direction (elle peut revenir sur ses
pas). On s'intéresse aux trajets composés de trois déplacements.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. Soit \text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points différents visités par la coccinelle (y compris le point \text{A}).
a. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
b. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
a. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}
b. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.
3. Simuler la variable aléatoire \text{X} à l'aide d'un programme Python.
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