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Entrainement 2


Espérance, variance et écart-type





66
[Modéliser.]
Deux amis décident d’aller au cinéma un jeudi soir. Au guichet, ils ont le choix entre trois formules différentes.
  • Formule A : 12,1012\text{,}10\:€ la place.
  • Formule B : une carte nominative de cinq places non utilisable le week-end à 32.32\:€.
  • Formule C : une carte nominative de cinq places valable tous les jours à 41,50.41\text{,}50\:€.

Ils choisissent chacun une formule de façon équiprobable et on note X\text{X} la variable aléatoire qui associe au choix d’une formule la somme totale payée par les deux amis.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Calculer l’espérance de X\text{X} et interpréter le résultat obtenu.

64
[Modéliser.]
Après avoir misé une certaine somme d’argent, un joueur lance un dé à six faces. Il gagne 33 € s’il obtient un diviseur de 6.6. Quel doit être le montant de la mise pour que le jeu soit équitable (c’est-à-dire pour que l’espérance de gain soit nulle) ?

63
[Calculer.]
 xix _ { i } 1 2 3 4 5 6
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) 121\dfrac { 1 } { 21 } 221\dfrac { 2 } { 21 } 17\dfrac { 1 } { 7 } 421\dfrac { 4 } { 21 } 521\dfrac { 5 } { 21 } 621\dfrac { 6 } { 21 }


62
[Calculer.]
 xix _ { i } 3 5 8 10 11 13 15 18 20
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) 235\dfrac { 2 } { 35 } 135\dfrac { 1 } { 35 } 335\dfrac { 3 } { 35 } 17\dfrac { 1 } { 7 } 27\dfrac { 2 } { 7 } 835\dfrac { 8 } { 35 } 235\dfrac { 2 } { 35 } 335\dfrac { 3 } { 35 } 135\dfrac { 1 } { 35 }


DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 53 ; 59 ; 79 et 81
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 48 ; 56 ; 65 ; 70 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 47 ; 52 ; 58 ; 68 ; 75 et 82

68
[Modéliser.] ◉◉◉
Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous.

Espérance, variance et écart-type
  • La zone rouge est un cercle de rayon 1010 cm.
  • La zone orange est une couronne dont le grand rayon est 3030 cm.
  • La zone jaune est une couronne dont le grand rayon est 5050 cm.
  • La zone bleue est une couronne dont le grand rayon est 7070 cm.

La probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à sa surface.
On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. Calculer la surface totale de la cible puis les probabilités d’atteindre les différentes zones ?

2. On note X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
Formes
Dessinez ici


b. Calculer E(X)\text{E(X)} et interpréter le résultat.

73
[Modéliser.]
Reprendre le contexte de l’exercice .
1. Calculer E(X)\text{E(X)} et interpréter le résultat.

2. L’année suivante, le club d’aviron décide de diminuer les tarifs de 55 % pour attirer plus de personnes. Soit Y\text{Y} la variable aléatoire qui donne le montant payé par un adhérent de ce club l’année suivante. Déterminer E(Y).\text{E(Y).}

60
[Calculer.]
 xix _ { i } -5 -2 0 1 4
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) 112\dfrac { 1 } { 12 } 14\dfrac { 1 } { 4 } 16\dfrac { 1 } { 6 } 16\dfrac { 1 } { 6 } 13\dfrac { 1 } { 3 }


Pour les exercices
59
à
63


Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X\text{X} dont on donne la loi de probabilité. Arrondir les résultats à 10210^{-2} près si nécessaire.

61
[Calculer.]
 xix _ { i } 0 7 13 16 22 28 33 39 42
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) 0,05 0,15 0,05 0,1 0,25 0,1 0,05 0,1 0,15


71
[Modéliser.]
Un magasin propose un service de courses en ligne. Les achats des clients sont rangés dans des sacs réutilisables dont le nombre dépend du volume que représentent les différents articles.
On note X\text{X} le nombre de sacs nécessaires pour ranger les courses d’un client. Une étude statistique a permis d’établir la loi de probabilité de X.\text{X.}

 xix_i 2 3 4 5 6
 P(X=xi)\text{P} \left( \text{X} = { x } _ { i } \right) 0,15 0,2 0,45 0,1 0,1

1. Calculer E(X)\text{E(X)}.

2. En moyenne, les clients paient 7070 € pour leurs articles et chaque sac est facturé 0,300\text{,}30 €. Soit T\text{T} la variable aléatoire qui donne le prix total que paie un client.
a. Quelle relation lie X\text{X} et T\text{T} ?

b. En déduire E(T)\text{E(T)} et interpréter le résultat.

c. En général, il y a 8080 clients par jour en semaine et 120120 clients par jour le samedi (le magasin est fermé le dimanche). Quelle est la recette hebdomadaire que peut espérer réaliser ce magasin ?

74
[Modéliser.]
Un jeu consiste à faire tourner la roue suivante après avoir payé une mise. Les nombres inscrits dans les différents secteurs correspondent au gain (en euro) remporté par le joueur avant déduction de la mise payée.

Espérance, variance et écart-type

Quelle doit être la mise payée par le joueur pour que le jeu soit équitable ?

70
[Modéliser.] ◉◉
Pour se rendre au travail, Camille prend le bus. Le trajet comporte quatre arrêts.
On note S\text{S} le nombre de fois où le bus s’est effectivement arrêté lors du trajet. Une étude statistique a permis d’établir la loi de probabilité de S.\text{S.}

 xix_i 0 1 2 3 4
 P(S=xi)\text{P} \left( \text{S} = { x } _ { i } \right) 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15

1. Calculer E(S)\text{E(S)} et interpréter le résultat.

2. Le trajet direct dure vingt minutes et chaque arrêt rallonge de trois minutes la durée du voyage. Soit T\text{T} la variable aléatoire qui donne la durée du trajet.
a. Quelle relation lie S\text{S} et T\text{T} ?

b. En déduire, sur un très grand nombre de jours, le temps de trajet moyen mis par Camille pour se rendre au travail.

59
[Calculer.] ◉◉
 xix _ { i } -4 1 3 7 12
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right) 0,15 0,4 0,3 0,05 0,1


65
[Calculer.] ◉◉
On donne dans le tableau ci-dessous la loi de probabilité d’une variable aléatoire X.\text{X.}

 xix _ { i } -2 aa 3
 P(X=xi)\text {P} \left( \text {X} = {x} _ { i } \right) 27\dfrac { 2 } { 7 } 49\dfrac { 4 } { 9 } pp

1. Déterminer la valeur de p.p.

2. Quelle valeur faut-il donner à aa pour que E(X)=2?\text{E(X)} = 2\:?

69
[Modéliser.]
Un Rubik’s cube est constitué de 27 petits cubes sur lesquels sont collées des étiquettes de couleur. On détache les petits cubes, indiscernables au toucher, et on les place dans une urne. On en tire un au hasard.
Soit X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de faces colorées sur le petit cube.
 rubiks cube

1. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Calculer E(X)\text{E(X)} et interpréter le résultat.

67
[Modéliser.]
Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous. La probabilité d’atteindre une zone de couleur est proportionnelle à sa surface. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

Espérance, variance et écart-type

1. Quelles sont les probabilités d’atteindre chacune des cinq zones colorées ?

2. On note X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
Formes
Dessinez ici


b. Calculer E(X)\text{E(X)} et interpréter le résultat.

75
[Modéliser.] ◉◉◉
Une coccinelle se déplace en partant du point A\text{A} sur la figure ci-contre.
À chaque intersection, la coccinelle choisit au hasard une direction (elle peut revenir sur ses pas). On s’intéresse aux trajets composés de trois déplacements.

Espérance, variance et écart-type

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

Couleurs
Formes
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2. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points différents visités par la coccinelle (y compris le point A\text{A}).
a. Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}


Couleurs
Formes
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b. Calculer E(X)\text{E(X)} et interpréter le résultat.

3. Simuler la variable aléatoire X\text{X} à l’aide d’un programme Python.





72
[Modéliser.]
Reprendre le contexte de l’exercice .
Variables aléatoires réelles


Laquelle des trois roues est la moins désavantageuse pour le joueur ?
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