Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Synthèse - objectif BAC
P.328-331

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Synthèse - Objectif BAC





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 53 ; 59 ; 79 et 81
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 48 ; 56 ; 65 ; 70 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 47 ; 52 ; 58 ; 68 ; 75 et 82

76
[Modéliser.] ◉◉
D’après Bac ES - France métropolitaine - 2005
Parmi les stands de jeux d’une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d’acier lorsque le joueur actionne un bouton.
Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible. Lorsque la bille n’atteint pas la cible, elle revient à son point de départ.

On note :
  • l’événement : « la cible est atteinte » ;
  • l’événement : « la bille est avalée ».

Une étude préliminaire a démontré que :
  • la probabilité d’atteindre la cible lors d’un lancer est égale à
  • lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à

Variables aléatoires réelles

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

Dessinez ici


2. On actionne le bouton.
a. Calculer la probabilité que la bille soit avalée.

b. Calculer la probabilité qu’elle reste sur la cible.


3. Pour jouer, on paie € et on actionne le bouton qui lance la bille :
  • si la bille est avalée, on gagne un lot d’une valeur de € ;
  • si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
  • si la bille rate la cible, on perd la mise.

Soit la variable aléatoire qui donne le gain, éventuellement négatif, d’un joueur. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici


4. a. Montrer que

b. On prévoit qu’un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles valeurs de les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?
Voir les réponses

77
[Raisonner.]
Une société d’assurance fait le bilan de certains sinistres qu’elle a répartis en trois catégories : A, B et C.
Pour les sinistres de catégorie A, elle rembourse €, pour ceux de la catégorie B, elle rembourse € et pour ceux de la catégorie C, elle rembourse €.
Une étude statistique sur plusieurs années a permis d’établir la probabilité de chaque sinistre : et
Les assurés paient tous la même cotisation annuelle.
On note la variable aléatoire qui, à chaque catégorie de sinistre, associe la différence entre la cotisation et le remboursement.
Quel doit être le montant de la cotisation pour avoir


Voir les réponses

78
[Raisonner.]
Dans une fête foraine, après avoir payé €, le joueur lance un dé à six faces colorées dont le patron est donné ci-dessous.

Variables aléatoires réelles

Il lance ensuite la roue correspondant à la couleur de la face obtenue. Le secteur obtenu en lançant la roue correspond au montant d’argent qu’il reçoit. Ce jeu est-il équitable ?
Voir les réponses

79
[Calculer.] ◉◉
Afin de soutenir une association humanitaire, la Maison des lycéens décide d’organiser une tombola dont les lots sont les suivants :
  • téléviseur d’une valeur de
  • appareils photo numériques d’une valeur unitaire de € ;
  • enceintes Bluetooth d’une valeur unitaire de € ;
  • montres d’une valeur unitaire de € ;
  • gourdes d’une valeur unitaire de € ;
  • porte-monnaies d’une valeur unitaire de € ;
  • porte-clés d’une valeur unitaire de €.

1. Sachant que le prix de vente d’un billet est de €, combien de billets au minimum faudra-t-il vendre pour réaliser un bénéfice au profit l’association ?

2. Au total, billets ont été vendus. Soit la variable aléatoire qui, au tirage au sort d’un billet, associe le gain du participant qui a acheté ce billet.
a. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici



b. Calculer et interpréter le résultat.
Voir les réponses

80
[Calculer.]
Une usine fabrique des objets destinés à être commercialisés. Sur objets qui sortent de l’usine, en moyenne, quinze ont uniquement le défaut A, sept ont uniquement le défaut B et trois ont les deux défauts. Le coût de production d’un objet est de €. Grâce à la garantie, les clients peuvent faire réparer leur objet aux frais du fabricant. La réparation du défaut A revient à € et la réparation du défaut B revient à €.
Soit la variable aléatoire qui associe à un objet choisi au hasard dans la production de l’usine, son coût de revient (coût de production + coût des réparations éventuelles).

1. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici


2. Calculer et interpréter le résultat.

3. On suppose que tous les objets produits sont vendus.
a. L’usine réalisera-t-elle des bénéfices si elle vend les objets € pièce ?

b. Quel doit être le prix de vente d’un objet pour que l’usine réalise un bénéfice moyen de € par objet ?
Voir les réponses

81
[Modéliser.] ◉◉
Dans un sac opaque, on met deux billets de €, un billet de € et deux billets de €. Tous les billets sont indiscernables au toucher. Pour avoir le droit de jouer, il faut payer €. On tire successivement et sans remise deux billets dans le sac. On note la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

Dessinez ici


2. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici


3. Le jeu est-il intéressant pour le joueur ?
Voir les réponses

82
[Modéliser.]
La roulette, jeu de hasard

La roulette est un jeu de hasard dans lequel chaque joueur mise sur un ou plusieurs numéros qu’il espère être tirés parmi les nombres de à Le tirage du numéro s’effectue à l’aide d’une bille jetée dans un récipient circulaire tournant et muni de encoches numérotées de à de différentes couleurs.
Si le pari est perdu, le joueur perd sa mise et si le pari est gagné, le joueur récupère sa mise et obtient le gain correspondant au type de pari qu’il a fait.

 Type de pari Plein (un seul numéro) (les numéros de 1 à 12) (les numéros de 13 à 24) (les numéros de 25 à 36)
 Gain 35 fois la mise 2 fois la mise

1. Un premier joueur parie € et mise sur le numéro On note la variable aléatoire donnant son gain algébrique après avoir fait tourner la roue.
a. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici


b. Calculer


Dessinez ici


c. L’espérance de s’appelle l’avantage de la maison dans le jargon du casino. Expliquer pourquoi.

2. Un deuxième joueur parie € et mise sur les On note la variable aléatoire donnant son gain après avoir fait tourner la roue.
a. Déterminer la loi de probabilité de

b. Calculer

c. Y a-t-il encore avantage de la maison dans ce cas ?

3. Quel pari est le plus favorable au joueur ?
Voir les réponses

83
[Raisonner.]
Adélaïde et Balthazar ont chacun organisé une tombola, dont tous les billets sont indiscernables.
Adélaïde propose billets, dont sont gagnants, parmi lesquels figurent un lot de quatre lots de et lots de Balthazar propose également billets mais annonce gagnants : cinq lots de dix lots de quinze lots de et vingt lots de
Dans chaque tombola, le prix du billet est de On note et les gains algébriques respectifs pour les tombolas d’Adélaïde et Balthazar.
Quelle tombola est la plus intéressante pour le joueur ?
Voir les réponses

84
[Raisonner.]
Dans une fête foraine, une machine contient quatre boules noires et et deux boules blanches et Lorsque l’on introduit un jeton dans la machine, elle tire au hasard deux boules successivement et sans remise. Un joueur achète un jeton au prix de Si deux boules sont blanches, le joueur reçoit Si une seule boule est blanche, il reçoit

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

Dessinez ici


2. Soit la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
a. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici


b. Calculer et en déduire le gain moyen du forain par partie sur un très grand nombre de parties.

3. Comme ce jeu n’est pas assez rentable, le forain envisage deux solutions : augmenter de le prix du jeton ou bien ajouter une boule noire dans la machine. Quelle est la solution la plus avantageuse pour le forain ?
Voir les réponses

85
[Modéliser.]
Pour se rendre sur son lieu de travail depuis chez lui un employé a le choix entre plusieurs chemins, tous ayant la même probabilité d’être empruntés.
Le schéma ci-dessous donne les différents itinéraires possibles en y indiquant le nombre de feux de circulation sur chaque portion. Chaque feu peut être soit vert, soit rouge. On admet que l’employé ne passe pas deux fois par le même point lors de son trajet.

Variables aléatoires réelles

1. Donner deux parcours différents permettant d’aller de à et compter, pour chaque parcours donné, le nombre de feux rencontrés. On note la variable aléatoire qui donne le nombre de feux de circulation rencontrés par cet employé sur les différents parcours.

2. Déterminer la loi de probabilité de


Dessinez ici


3. Calculer et interpréter le résultat.

4. Le trajet sans aucun feu rouge dure minutes et chaque feu rouge rallonge la durée du trajet de trois minutes.
a. Donner le temps de trajet maximal en fonction du nombre de feux présents sur le trajet.

b. L’employé a remarqué que, lors de ses trajets pour se rendre au travail, en moyenne un feu sur deux reste au vert quand il arrive. Quel est le temps de trajet moyen mis par cet employé pour se rendre sur son lieu de travail ?
Voir les réponses

86
PYTHON
[Modéliser.]
On considère une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous.

  -10 0 2 10 100
  0,4 0,25 0,2 0,1 0,05

On souhaite rédiger un programme avec Python qui permette de calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de

X = [-10, 0, 2, 10, 100]
P = [0.4, 0.25, 0.2, 0.1, 0.05]
S = 0
for i in range(5):
	S = S + X[i] * P[i]
print(S) 

1. Expliquer ce que calcule le programme ci-dessus. Quelle est la valeur finale de la variable S calculée ?

2. Compléter le programme pour qu’il calcule également la variance de et son écart-type.
Voir les réponses

87
PYTHON
[Modéliser.]
La lettre de l’alphabet la plus fréquemment utilisée dans les textes français et anglais est le E. En fonction des sources, cette fréquence peut varier entre % et % avec un pourcentage plus élevé pour les textes français. On souhaite réaliser un programme permettant de compter la fréquence d’apparition du E : pour cela, il faut compter le nombre total de caractères du texte et le nombre de E qui apparaissent.
On considère le début de programme suivant :

Variables aléatoires réelles

1. Quelle est la signification de la commande len(texte) ?

2. La méthode replace permet de remplacer la plupart des symboles de ponctuation par un caractère vide. Pourquoi utiliser cette méthode ?

3. Le programme se poursuit de la façon suivante. Compléter le code ci-dessous.

Variables aléatoires réelles


4. On finit le programme avec le test suivant.

Variables aléatoires réelles

a. Quelle valeur sera affichée par l’algorithme pour chaque test ?

b. Ces tests sont-ils fiables pour valider les fréquences données au début de l’énoncé ? Valider.

c. Effectuer plusieurs tests avec différents textes et observer la fréquence de la lettre E à chaque fois.


def nombre(texte): 
  for i in [" ",",","?", ";", ".", ":", "!", "«","»","'"]:
    texte = texte.replace(i, "")
  T = len(texte)
  c = 0
  for i in range(T):
    if texte[i] == "...":
      c = ...
  return (...)
print(nombre("Un texte écrit en français."))
print(nombre("A text written in English."))
Voir les réponses

Club de Maths


88
DÉMO
FORMULE DE KÖNIG-HUYGENS

Le but de cet exercice est de démontrer la formule de König-Huygens pour calculer la variance d’une variable aléatoire :

On rappelle que et que et

1. Développer

2. En déduire que

3. Par linéarité de la somme, on obtient que

Factoriser, pour chaque terme, les éléments qui sont indépendants du signe somme.

4. Calculer et conclure.
Voir les réponses

Histoire des maths

Histoire des maths - Christiaan Huygens

Christiaan Huygens (1629-1695) était un mathématicien, astronome et physicien néerlandais. En 1656, il a publié De Ratiociniis in Ludo Alea, le premier livre sur le calcul des probabilités dans les jeux de hasard dans lequel il introduit la notion d’espérance.

89
DÉFI

Une urne contient boules indiscernables au toucher : quatre noires et blanches. Un joueur tire sans remise deux boules dans l’urne et regarde leurs couleurs. Il gagne 15 € pour chaque boule noire tirée et perd 30 € pour chaque boule blanche tirée.
On note la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur sur un tirage.
Pour quelle(s) valeur(s) de le jeu est-il équitable ?
Voir les réponses

90
APPROFONDISSEMENT

Soit une variable aléatoire définie dans un univers à valeurs dans On note l’espérance de et sa variance.
On considère la fonction définie sur par
1. Démontrer que la fonction est une fonction trinôme de la forme et

2. En déduire alors que est le discriminant de

3. Déterminer le signe de et en déduire le signe de Le résultat est-il surprenant ?

4. Pour quelle valeur de le minimum de est-il atteint ? Justifier.
Voir les réponses

91
DÉFI

Un QCM comporte trois questions. Pour chacune de ces questions, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste.
Une bonne réponse rapporte points et une mauvaise réponse enlève un point.

Quelle valeur faut-il donner à si l’on veut que la note moyenne que l’on puisse espérer obtenir à ce QCM soit de en répondant au hasard ?
Voir les réponses

92
CASSE-TÊTE

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Un joueur joue à pile ou face contre un joueur appelé « La banque » qui lui versera son gain Pour déterminer le gain d’un joueur, on utilise l’algorithme ci-dessous.


Quelle doit être la mise du joueur qui lance la pièce pour que le jeu soit équitable si on se limite à lancers et si on ne fixe aucune limite pour la mise ?
Voir les réponses

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

Exercices transversaux
; ; ; et