D'après Bac ES - France métropolitaine - 2005
Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton.
Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible. Lorsque la bille n'atteint pas la cible, elle revient à son point de départ.

On note :

\text{C} l'événement : « la cible est atteinte » ;
\text{B} l'événement : « la bille est avalée ».

Une étude préliminaire a démontré que :

la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à 0\text{,}3 \: ;
lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à 0\text{,}2.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

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2. On actionne le bouton.
a. Calculer la probabilité que la bille soit avalée.

b. Calculer la probabilité qu'elle reste sur la cible.

3. Pour jouer, on paie 0\text{,}60 € et on actionne le bouton qui lance la bille :

si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de g € ;
si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
si la bille rate la cible, on perd la mise.

Soit \text{G} la variable aléatoire qui donne le gain, éventuellement négatif, d'un joueur. Déterminer la loi de probabilité de \text{G.}

4. a. Montrer que \text{E(G)} = 0\text{,}06g - 0\text{,}456 .

b. On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?

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77
[Raisonner.]

Une société d'assurance fait le bilan de certains sinistres qu'elle a répartis en trois catégories : A, B et C.
Pour les sinistres de catégorie A, elle rembourse 100 €, pour ceux de la catégorie B, elle rembourse 500 € et pour ceux de la catégorie C, elle rembourse 1\:500 €.
Une étude statistique sur plusieurs années a permis d'établir la probabilité de chaque sinistre : \text{P(A)} = 0\text{,}5 , \text{\text{P(B) }= 0\text{,}35} et \text{\text{P(C)} = 0\text{,}15 .}
Les assurés paient tous la même cotisation annuelle.
On note \text{X} la variable aléatoire qui, à chaque catégorie de sinistre, associe la différence entre la cotisation et le remboursement.
Quel doit être le montant de la cotisation pour avoir \text{E(X)} = 0\:?

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78
[Raisonner.]
Dans une fête foraine, après avoir payé 5 €, le joueur lance un dé à six faces colorées dont le patron est donné ci-dessous.

Il lance ensuite la roue correspondant à la couleur de la face obtenue. Le secteur obtenu en lançant la roue correspond au montant d'argent qu'il reçoit. Ce jeu est-il équitable ?

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79
[Calculer.]

Afin de soutenir une association humanitaire, la Maison des lycéens décide d'organiser une tombola dont les lots sont les suivants :

1 téléviseur d'une valeur de 300\:€ \:;
2 appareils photo numériques d'une valeur unitaire de 130 € ;
5 enceintes Bluetooth d'une valeur unitaire de 25 € ;
10 montres d'une valeur unitaire de 15 € ;
20 gourdes d'une valeur unitaire de 5 € ;
50 porte-monnaies d'une valeur unitaire de 2 € ;
100 porte-clés d'une valeur unitaire de 1 €.

1. Sachant que le prix de vente d'un billet est de 2 €, combien de billets au minimum faudra-t-il vendre pour réaliser un bénéfice au profit l'association ?

2. Au total, 1\:300 billets ont été vendus. Soit \text{X} la variable aléatoire qui, au tirage au sort d'un billet, associe le gain du participant qui a acheté ce billet.
a. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}

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b. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.

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80
[Calculer.]
Une usine fabrique des objets destinés à être commercialisés. Sur 100 objets qui sortent de l'usine, en moyenne, quinze ont uniquement le défaut A, sept ont uniquement le défaut B et trois ont les deux défauts. Le coût de production d'un objet est de 150 €. Grâce à la garantie, les clients peuvent faire réparer leur objet aux frais du fabricant. La réparation du défaut A revient à 30 € et la réparation du défaut B revient à 40 €.
Soit \text{X} la variable aléatoire qui associe à un objet choisi au hasard dans la production de l'usine, son coût de revient (coût de production + coût des réparations éventuelles).

1. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}

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2. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.

3. On suppose que tous les objets produits sont vendus.
a. L'usine réalisera-t-elle des bénéfices si elle vend les objets 160 € pièce ?

b. Quel doit être le prix de vente d'un objet pour que l'usine réalise un bénéfice moyen de 50 € par objet ?

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81
[Modéliser.]

Dans un sac opaque, on met deux billets de 5 €, un billet de 10 € et deux billets de 20 €. Tous les billets sont indiscernables au toucher. Pour avoir le droit de jouer, il faut payer 20 €. On tire successivement et sans remise deux billets dans le sac. On note \text{G} la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

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2. Déterminer la loi de probabilité de \text{G.}

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3. Le jeu est-il intéressant pour le joueur ?

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82
[Modéliser.]

Photographie gros plan d'une roulette de casino. La bille blanche tourne sur une table de jeu. Hasard, chance, jeu.

La roulette est un jeu de hasard dans lequel chaque joueur mise sur un ou plusieurs numéros qu'il espère être tirés parmi les nombres de 1 à 36. Le tirage du numéro s'effectue à l'aide d'une bille jetée dans un récipient circulaire tournant et muni de 37 encoches numérotées de 0 à 36 de différentes couleurs.
Si le pari est perdu, le joueur perd sa mise et si le pari est gagné, le joueur récupère sa mise et obtient le gain correspondant au type de pari qu'il a fait.

Type de pari	Plein (un seul numéro)	12^\text{P} (les numéros de 1 à 12)	12^\text{M} (les numéros de 13 à 24)	12^\text{D} (les numéros de 25 à 36)
Gain	35 fois la mise	2 fois la mise

1. Un premier joueur parie 10 € et mise sur le numéro 7. On note \text{X} la variable aléatoire donnant son gain algébrique après avoir fait tourner la roue.
a. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}

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b. Calculer \text{E(X).}

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c. L'espérance de \text{X} s'appelle l'avantage de la maison dans le jargon du casino. Expliquer pourquoi.

2. Un deuxième joueur parie 10 € et mise sur les 12^\text{M}. On note \text{Y} la variable aléatoire donnant son gain après avoir fait tourner la roue.
a. Déterminer la loi de probabilité de \text{Y.}

b. Calculer \text{E(Y).}

c. Y a-t-il encore avantage de la maison dans ce cas ?

3. Quel pari est le plus favorable au joueur ?

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83
[Raisonner.]
Adélaïde et Balthazar ont chacun organisé une tombola, dont tous les billets sont indiscernables.
Adélaïde propose 100 billets, dont 30 sont gagnants, parmi lesquels figurent un lot de 250 \: €, quatre lots de 50 \: € et 25 lots de 2 \: €. Balthazar propose également 100 billets mais annonce 50 gagnants : cinq lots de 20 \: €, dix lots de 15 \: €, quinze lots de 10 \: € et vingt lots de 5\: €.
Dans chaque tombola, le prix du billet est de 5\: €. On note \text{A} et \text{B} les gains algébriques respectifs pour les tombolas d'Adélaïde et Balthazar.
Quelle tombola est la plus intéressante pour le joueur ?

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84
[Raisonner.]
Dans une fête foraine, une machine contient quatre boules noires (\text{N}_1, \text{N}_2, \text{N}_3 et \text{N}_4) et deux boules blanches (\text{B}_1 et \text{B}_2). Lorsque l'on introduit un jeton dans la machine, elle tire au hasard deux boules successivement et sans remise. Un joueur achète un jeton au prix de 5\: €. Si deux boules sont blanches, le joueur reçoit 40\: €. Si une seule boule est blanche, il reçoit 10\: €.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

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2. Soit \text{G} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
a. Déterminer la loi de probabilité de \text{G.}

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b. Calculer \text{E(G)} et en déduire le gain moyen du forain par partie sur un très grand nombre de parties.

3. Comme ce jeu n'est pas assez rentable, le forain envisage deux solutions : augmenter de 1\:€ le prix du jeton ou bien ajouter une boule noire dans la machine. Quelle est la solution la plus avantageuse pour le forain ?

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85
[Modéliser.]

Pour se rendre sur son lieu de travail \text{(T)} depuis chez lui \text{(M),} un employé a le choix entre plusieurs chemins, tous ayant la même probabilité d'être empruntés.
Le schéma ci-dessous donne les différents itinéraires possibles en y indiquant le nombre de feux de circulation sur chaque portion. Chaque feu peut être soit vert, soit rouge. On admet que l'employé ne passe pas deux fois par le même point lors de son trajet.

1. Donner deux parcours différents permettant d'aller de \text{M} à \text{T} et compter, pour chaque parcours donné, le nombre de feux rencontrés. On note \text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de feux de circulation rencontrés par cet employé sur les différents parcours.

2. Déterminer la loi de probabilité de \text{X.}

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3. Calculer \text{E(X)} et interpréter le résultat.

4. Le trajet sans aucun feu rouge dure 20 minutes et chaque feu rouge rallonge la durée du trajet de trois minutes.
a. Donner le temps de trajet maximal en fonction du nombre de feux présents sur le trajet.

b. L'employé a remarqué que, lors de ses trajets pour se rendre au travail, en moyenne un feu sur deux reste au vert quand il arrive. Quel est le temps de trajet moyen mis par cet employé pour se rendre sur son lieu de travail ?

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Python

[Modéliser.]
On considère une variable aléatoire \text{X} dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous.

x_i	-10	0	2	10	100
\text {P} \left( \text {X} = { x } _ { i } \right)	0,4	0,25	0,2	0,1	0,05

On souhaite rédiger un programme avec Python qui permette de calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de \text{X.}

X = [-10, 0, 2, 10, 100]
P = [0.4, 0.25, 0.2, 0.1, 0.05]
S = 0
for i in range(5):
	S = S + X[i] * P[i]
print(S)

1. Expliquer ce que calcule le programme ci-dessus. Quelle est la valeur finale de la variable S calculée ?

2. Compléter le programme pour qu'il calcule également la variance de \text{X} et son écart-type.

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87
Python
[Modéliser.]

La lettre de l'alphabet la plus fréquemment utilisée dans les textes français et anglais est le E. En fonction des sources, cette fréquence peut varier entre 12 % et 15 % avec un pourcentage plus élevé pour les textes français. On souhaite réaliser un programme permettant de compter la fréquence d'apparition du E : pour cela, il faut compter le nombre total de caractères du texte et le nombre de E qui apparaissent.
On considère le début de programme suivant :

Capture d'écran de code Python : fonction comptant les caractères d'une chaîne de texte après suppression de la ponctuation.

1. Quelle est la signification de la commande len(texte) ?

2. La méthode replace permet de remplacer la plupart des symboles de ponctuation par un caractère vide. Pourquoi utiliser cette méthode ?

3. Le programme se poursuit de la façon suivante. Compléter le code ci-dessous.

Capture d'écran de code Python: boucle 'for' comptant les occurrences d'une sous-chaîne.

4. On finit le programme avec le test suivant.

Capture d'écran de code Python affichant des lignes de code imprimant du texte en français et en anglais.

a. Quelle valeur sera affichée par l'algorithme pour chaque test ?

b. Ces tests sont-ils fiables pour valider les fréquences données au début de l'énoncé ? Valider.

c. Effectuer plusieurs tests avec différents textes et observer la fréquence de la lettre E à chaque fois.

def nombre(texte): 
  for i in [" ",",","?", ";", ".", ":", "!", "«","»","'"]:
    texte = texte.replace(i, "")
  T = len(texte)
  c = 0
  for i in range(T):
    if texte[i] == "...":
      c = ...
  return (...)
print(nombre("Un texte écrit en français."))
print(nombre("A text written in English."))

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Club de Maths

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88
Démo

Formule de König-Huygens

Le but de cet exercice est de démontrer la formule de König-Huygens pour calculer la variance d'une variable aléatoire :
\operatorname { Var } ( \text{X} ) = \mathrm { E } \left( \text{X} ^ { 2 } \right) - [ \mathrm { E } ( \text{X} ) ] ^ { 2 }.
On rappelle que \operatorname { Var } ( \mathrm {X} ) = \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} p _ { i } \times \left(x_ { i } - \mathrm {E} ( \mathrm {X} ) \right) ^ { 2 } et que \mathrm E(\text{X}) = \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} p _ { i }x _ { i } et \mathrm E(\text{X}^2) = \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} p _ { i }x^2 _ { i } .

1. Développer \left( x _ { i } - \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) \right) ^ { 2 }.

2. En déduire que \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) = \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} \left(p _ { i } x _ { i } ^ { 2 } - 2 p _ { i } x _ { i } \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + p _ { i } [ \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) ] ^ { 2 }\right).

3. Par linéarité de la somme, on obtient que
\mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} \left(p _ { i } x _ { i } ^ { 2 } - 2 p _ { i } x _ { i } \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) + p _ { i } [ \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) ] ^ { 2 }\right)= \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} p _ { i } x _ { i } ^ { 2 } + \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} - 2 p _ { i } x _ { i } \mathrm { E } ( \text{X} ) + \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} p _ { i } [ \mathrm { E } ( \mathrm { X } ) ] ^ { 2 }.
Factoriser, pour chaque terme, les éléments qui sont indépendants du signe somme.

4. Calculer \mathop{\sum}\limits_{i = 1}\limits^{n} p _ { i } et conclure.

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Histoire des maths

Portrait peint de Christiaan Huygens, scientifique du XVIIe siècle. Mathématiques, physique et astronomie.

Christiaan Huygens (1629-1695) était un mathématicien, astronome et physicien néerlandais. En 1656, il a publié De Ratiociniis in Ludo Alea, le premier livre sur le calcul des probabilités dans les jeux de hasard dans lequel il introduit la notion d'espérance.

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89
Défi

Une urne contient n + 4 boules indiscernables au toucher : quatre noires et n blanches. Un joueur tire sans remise deux boules dans l'urne et regarde leurs couleurs. Il gagne 15 € pour chaque boule noire tirée et perd 30 € pour chaque boule blanche tirée.
On note \text{G} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur sur un tirage.
Pour quelle(s) valeur(s) de n le jeu est-il équitable ?

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90
Approfondissement

Soit \text{X} une variable aléatoire définie dans un univers \Omega à valeurs dans \R . On note \text{E(X)} l'espérance de \text{X} et \text{Var(X)} sa variance.
On considère la fonction f définie sur \R par f ( x ) = \mathrm {E}\left[(\mathrm {X} - x ) ^ { 2 } \right].
1. Démontrer que la fonction f est une fonction trinôme de la forme ax^2 + bx + c où a = 1 , b = -2\text{E(X)} et c = \text{E}(\text{X}^2).

2. En déduire alors que \Delta = - 4 \operatorname { Var } ( \mathrm { X } ) où \Delta est le discriminant de f .

3. Déterminer le signe de \Delta et en déduire le signe de f . Le résultat est-il surprenant ?

4. Pour quelle valeur de x le minimum de f est-il atteint ? Justifier.

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92
Casse-tête

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Un joueur joue à pile ou face contre un joueur appelé « La banque » qui lui versera son gain \text{G.} Pour déterminer le gain d'un joueur, on utilise l'algorithme ci-dessous.

\boxed{ \begin{array} { l } { \text {G} \leftarrow \text { 1 } } \\ \text {A} \leftarrow \text { pile ou face de façon aléatoire } \\ \text{Tant que} \text {A} \neq \text {face :} \\ \quad \text {G} \leftarrow \text {G} \times 2 \\ \quad \text {A} \leftarrow \text {pile ou face de façon aléatoire} \\ \text { Fin Tant que } \\ \end{array} }

Quelle doit être la mise du joueur qui lance la pièce pour que le jeu soit équitable si on se limite à n lancers et si on ne fixe aucune limite pour la mise ?

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91
Défi

Un QCM comporte trois questions. Pour chacune de ces questions, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste.
Une bonne réponse rapporte n points et une mauvaise réponse enlève un point.

Quelle valeur faut-il donner à n si l'on veut que la note moyenne que l'on puisse espérer obtenir à ce QCM soit de 1\text{,}5 en répondant au hasard ?

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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