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Chapitre 8


Fonctions trigonométriques





Synthétiseur, Fonctions Chapitre trigonométriques


Un synthétiseur est un instrument permettant de moduler le son afin de créer des sonorités uniques. Le signal de base, créé grâce aux fonctions trigonométriques, est modifié numériquement grâce à des algorithmes internes à l’instrument.

Capacités attendues - chapitre 8

1. Connaître la définition des fonctions cosinus et sinus.
2. Étudier la parité et la périodicité d’une fonction.
3. Étudier les fonctions cosinus et sinus (signes, dérivés, variations).

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître et savoir utiliser les radians et le cercle trigonométrique.
2. Connaître la définition du cosinus et du sinus d’un réel.
3. Savoir dresser les tableaux de signes et de variations de fonctions.
4. Savoir mener une étude de fonction à travers le calcul et l’étude du signe de sa dérivée.
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1
Repérer des réels sur le cercle trigonométrique

Construire le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé et placer les points A,\text{A}, B,\text{B} , C\text{C} et D\text{D} respectivement repérés par les réels π4,-\dfrac{\pi}{4}, 2π3,3π2-\dfrac{2 \pi}{3}, \dfrac{3 \pi}{2} et 9π4.\dfrac{9 \pi}{4}.
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2
Lire des réels sur le cercle trigonométrique

Soit xx un réel et M\text{M} son point image par enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique. Dans chacune des figures suivantes, dire à quel intervalle peut appartenir le réel xx pour que M\text{M} appartienne à l’arc de cercle coloré. Proposer deux intervalles différents pour chaque arc de cercle.

Fonctions trigonométriques
Fonctions trigonométriques

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3
Calculer des dérivées

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l’ensemble de dérivabilité puis déterminer la dérivée.
1. f:x(3x1)2f : x \mapsto(3 x-1)^{2}


2. g:x1x22+x424g : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}


3. h:x2x3h : x \mapsto \dfrac{2}{x-3}


4. i:x(x1)2xi : x \mapsto(x-1)^{2} \sqrt{x}
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4
Résoudre des équations trigonométriques

Pour x]π;π],x \in ]-\pi\: ; \pi ], résoudre les équations suivantes.
1. cos(x)=12\cos (x)=\dfrac{1}{2}


2. sin(x)32\sin (x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}


3. sin(x)cos(x)=0\sin (x) \cos (x)=0


4. sin(x)+cos(x)=0\sin (x)+\cos (x)=0
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5
Dresser des tableaux

À l’aide des courbes fournies, donner le tableau de signes de la fonction ff et le tableau de variations de la fonction gg sur l’intervalle [0;3].[0\: ; 3].

Fonctions trigonométriques

Couleurs
Formes
Dessinez ici
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6
Problème

John jette une balle de baseball en l’air et remarque que la hauteur en mètre est donnée par la fonction h:tt22+3th : t \mapsto-\dfrac{t^{2}}{2}+3 tt0t \geqslant 0 représente le temps en seconde. On considère qu’il jette la balle à t=0t = 0 s.
1. On ne s’intéresse qu’aux temps tth(t)0.h(t) \geqslant 0. Déterminer l’intervalle d’étude.


2. Calculer la dérivée de hh puis en déduire ses variations.


3. Quelle hauteur maximale la balle peut-elle atteindre ? À quel temps est-elle atteinte ?

Anecdote

sin(1234567890)=1.\sin \left(1\,234\,567\,890^{\circ}\right)=1.
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