Fonctions trigonométriques

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $x$ un réel quelconque, on considère son point image $\text{M}$ par enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique.
Les fonctions cosinus et sinus sont définies simplement en associant à chaque réel $x$ le cosinus et le sinus de l'angle au centre associé.

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Rappeler comment exprimer les coordonnées de $\text{M}$ en fonction de $x.$ À quel intervalle appartient l'abscisse de $\text{M}$ ? Et l'ordonnée de $\text{M}$ ?

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Quelles sont les coordonnées du point ${\text{M}}^{\prime },$ point image du réel $-x$ ? On proposera deux écritures différentes.

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En partant du point $\text{M}$ associé à $x,$ on effectue un tour complet du cercle trigonométrique dans le sens direct.
a) Sur quel point du cercle arrive-t-on ?

b) Justifier que le nombre $x+2\pi$ est associé à ce point.

c) Comparer alors $\cos (x)$ et $\cos (x+2\pi )$ ainsi que $\sin (x)$ et $\sin (x+2\pi ).$

Dans un repère orthogonal, on souhaite tracer les courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$ représentant respectivement les fonctions cosinus et sinus.
a) Justifier que ${\mathcal{C}}_1$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b) Quelle propriété graphique sur la courbe ${\mathcal{C}}_2$ est justifiée par la question

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?

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Comment traduire graphiquement les réponses données à la question

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?

En visite à Londres, Charly monte dans une cabine de la grande roue située au bas de celle-ci. On assimile la grande roue au cercle trigonométrique en prenant comme unité le rayon de celle-ci et comme origine son centre.
Charly effectue alors trois tours complets à vitesse constante. On s'intéresse à son altitude $h$ en mètre en fonction du temps $t$ en seconde. À $t=0,$ on a donc $h=-1$ dans le repère choisi.
a) Quelle sera l'altitude de Charly lorsqu'il aura effectué un quart de tour ? un demi-tour ? un tour complet ?

b) Quelle fonction trigonométrique peut modéliser la situation ? Justifier.

c) Comment peut-on interpréter les résultats de la question

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dans ce contexte là ?

On fournit les courbes représentatives des fonctions cosinus (en rouge) et sinus (en vert).
On notera dans toute l'activité $f:x\to \cos (x)$ et $g:x\mapsto \sin (x)$ pour $x\in \mathbb{R}.$

À l'aide des courbes, on va relier le signe et les variations des fonctions cosinus et sinus entre elles.

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Donner un intervalle sur lequel la fonction sinus est croissante. Quel est le signe de la fonction cosinus sur cet intervalle ? Est-ce toujours le cas ?

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Quel semble être le signe de la fonction cosinus lorsque la fonction sinus décroît ?

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De même, relier le signe de la fonction sinus et les variations de la fonction cosinus.

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On admet que, pour tout $x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=-\sin (x)$ et $g^{\prime }(x)=\cos (x).$ Cela est-il en accord avec les considérations des trois premières questions ?

En pleine mer, on peut observer le phénomène de houle. Une fois formée, la houle continue de se déplacer et peut être assimilée à une onde courte à surface périodique.
Les fonctions trigonométriques se prêtent bien à la modélisation de ce système. On donne les caractéristiques d'une houle ci-dessous.

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Quel lien peut-on faire entre la longueur d'onde et la fonction cosinus ?

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On note $\lambda$ la période de la fonction $h.$ Vérifier que $k=\frac{2\pi }{\lambda }.$

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On suppose ici que $\lambda =160$ m et $a=2$ m. Déterminer l'expression de $h.$

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On a mesuré que la vitesse $v$ de la houle est $v=16$ m·s^-1.
Combien de temps faut-il à une crête pour parcourir une longueur d'onde ?