Activités




A
Découverte des fonctions cosinus et sinus

À travers les définitions données et étudiées au chapitre précédent, nous allons aborder un point de vue fonctionnel de la trigonométrie.


Grande roue


MAT1_CH8_p204


Objectif
Découvrir les fonctions cosinus et sinus, leur courbe représentative ainsi que leurs propriétés respectives.

Voir les réponses


Bilan
Quelle propriété les fonctions cosinus et sinus ont-elles en commun ? Quelle propriété les sépare ?


Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit xx un réel quelconque, on considère son point image M\text{M} par enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique.
Les fonctions cosinus et sinus sont définies simplement en associant à chaque réel xx le cosinus et le sinus de l’angle au centre associé.

1
Rappeler comment exprimer les coordonnées de M\text{M} en fonction de x.x. À quel intervalle appartient l’abscisse de M\text{M} ? Et l’ordonnée de M\text{M} ?


2
Quelles sont les coordonnées du point M,\text{M}', point image du réel x-x ? On proposera deux écritures différentes.


3
En partant du point M\text{M} associé à x,x , on effectue un tour complet du cercle trigonométrique dans le sens direct.
a) Sur quel point du cercle arrive-t-on ?

b) Justifier que le nombre x+2πx + 2 \pi est associé à ce point.

c) Comparer alors cos(x)\cos (x) et cos(x+2π)\cos (x + 2 \pi) ainsi que sin(x)\sin (x) et sin(x+2π).\sin (x+2\pi).

4
Dans un repère orthogonal, on souhaite tracer les courbes C1\mathcal{C}_1 et C2\mathcal{C}_2 représentant respectivement les fonctions cosinus et sinus.
a) Justifier que C1\mathcal{C}_1 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

b) Quelle propriété graphique sur la courbe C2\mathcal{C}_2 est justifiée par la question
2
?


5
Comment traduire graphiquement les réponses données à la question
3
?


6
En visite à Londres, Charly monte dans une cabine de la grande roue située au bas de celle-ci. On assimile la grande roue au cercle trigonométrique en prenant comme unité le rayon de celle-ci et comme origine son centre.
Charly effectue alors trois tours complets à vitesse constante. On s’intéresse à son altitude hh en mètre en fonction du temps tt en seconde. À t=0,t = 0 , on a donc h=1h = -1 dans le repère choisi.
a) Quelle sera l’altitude de Charly lorsqu’il aura effectué un quart de tour ? un demi-tour ? un tour complet ?

b) Quelle fonction trigonométrique peut modéliser la situation ? Justifier.

c) Comment peut-on interpréter les résultats de la question
3
dans ce contexte là ?

Remarque

4
Une fonction vérifiant f(x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout xx de son ensemble de définition est paire. De même, une fonction vérifiant f(x)=f(x)f(-x)=-f(x) pour tout xx de son ensemble de définition est impaire.

Remarque

5
Une fonction ff définie sur Df\mathcal{D}_{f} est périodique de période T\text{T} si pour tout xDfx \in \mathcal{D}_{f} on a x+TDfx+\mathrm{T} \in \mathcal{D}_{f} et f(x)=f(x+T). f(x)=f(x+\mathrm{T}).

AIDE

4
On pourra essayer de placer dans un repère des points particuliers, par exemple pour x=π3x=\dfrac{\pi}{3} et x=π3x=-\dfrac{\pi}{3} ou alors x=π6x=\dfrac{\pi}{6} et x=π6.x=-\dfrac{\pi}{6}.

B
Signe et variations des fonctions cosinus et sinus

AIDE

4
Se rappeler du lien entre les variations d’une fonction et le signe de sa dérivée.

À l’aide des courbes, on va relier le signe et les variations des fonctions cosinus et sinus entre elles.

1
Donner un intervalle sur lequel la fonction sinus est croissante. Quel est le signe de la fonction cosinus sur cet intervalle ? Est-ce toujours le cas ?


2
Quel semble être le signe de la fonction cosinus lorsque la fonction sinus décroît ?


3
De même, relier le signe de la fonction sinus et les variations de la fonction cosinus.


4
On admet que, pour tout xR,f(x)=sin(x)x \in \mathbb{R}, f'(x)=-\sin (x) et g(x)=cos(x). g'(x)=\cos (x). Cela est-il en accord avec les considérations des trois premières questions ?


Objectif
Étudier le signe et les variations des fonctions cosinus et sinus et découvrir leur dérivée respective.


Fonctions trigoométriques

On fournit les courbes représentatives des fonctions cosinus (en rouge) et sinus (en vert).
On notera dans toute l’activité f:xcos(x)f : x \rightarrow \cos (x) et g:xsin(x)g : x \mapsto \sin (x) pour xR.x \in \mathbb{R}.

Fonctions trigoométriques
Voir les réponses


Bilan
Proposer un tableau de signes et de variations des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [π;π].[-\pi\: ; \pi].

Couleurs
Formes
Dessinez ici

C
Maths de mer



Objectif
Utiliser les fonctions trigonométriques dans un contexte physique.


En pleine mer, on peut observer le phénomène de houle. Une fois formée, la houle continue de se déplacer et peut être assimilée à une onde courte à surface périodique.
Les fonctions trigonométriques se prêtent bien à la modélisation de ce système. On donne les caractéristiques d’une houle ci-dessous.

Fonctions trigonométriques
Voir les réponses


Bilan
Quelles situations peuvent être modélisées par des fonctions trigonométriques ?


Voir les réponses
On admet que la hauteur de cette houle en un instant donné est exprimée en mètre en fonction de la position xx par la fonction hh définie pour tout x>x > 0 par h(x)=acos(kx)h(x) = a\cos(kx) où a est l’amplitude en mètre et xx est la position en mètre.

1
Quel lien peut-on faire entre la longueur d’onde et la fonction cosinus ?


2
On note λ\lambda la période de la fonction h.h . Vérifier que k=2πλ.k=\dfrac{2 \pi}{\lambda}.


3
On suppose ici que λ=160\lambda = 160 m et a=2a = 2 m. Déterminer l’expression de h.h .


4
On a mesuré que la vitesse vv de la houle est v=16v = 16 m·s-1.
Combien de temps faut-il à une crête pour parcourir une longueur d’onde ?
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