Mathématiques 1re Spécialité

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Chapitre 8
Activité

Fonctions trigonométriques

18 professeurs ont participé à cette page
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A
Découverte des fonctions cosinus et sinus

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1
Rappeler comment exprimer les coordonnées de \text{M} en fonction de x. À quel intervalle appartient l'abscisse de \text{M} ? Et l'ordonnée de \text{M} ?


2
Quelles sont les coordonnées du point \text{M}', point image du réel -x ? On proposera deux écritures différentes.


3
En partant du point \text{M} associé à x , on effectue un tour complet du cercle trigonométrique dans le sens direct.
a) Sur quel point du cercle arrive-t-on ?

b) Justifier que le nombre x + 2 \pi est associé à ce point.

c) Comparer alors \cos (x) et \cos (x + 2 \pi) ainsi que \sin (x) et \sin (x+2\pi).


4
Dans un repère orthogonal, on souhaite tracer les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentant respectivement les fonctions cosinus et sinus.
a) Justifier que \mathcal{C}_1 est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b) Quelle propriété graphique sur la courbe \mathcal{C}_2 est justifiée par la question
2
?


Aide
On pourra essayer de placer dans un repère des points particuliers, par exemple pour x=\dfrac{\pi}{3} et x=-\dfrac{\pi}{3} ou alors x=\dfrac{\pi}{6} et x=-\dfrac{\pi}{6}.

Remarque

Une fonction vérifiant f(-x)=f(x) pour tout x de son ensemble de définition est paire. De même, une fonction vérifiant f(-x)=-f(x) pour tout x de son ensemble de définition est impaire.

5
Comment traduire graphiquement les réponses données à la question
3
?

Remarque

Une fonction f définie sur \mathcal{D}_{f} est périodique de période \text{T} si pour tout x \in \mathcal{D}_{f} on a x+\mathrm{T} \in \mathcal{D}_{f} et f(x)=f(x+\mathrm{T}).

6
En visite à Londres, Charly monte dans une cabine de la grande roue située au bas de celle-ci. On assimile la grande roue au cercle trigonométrique en prenant comme unité le rayon de celle-ci et comme origine son centre.
Charly effectue alors trois tours complets à vitesse constante. On s'intéresse à son altitude h en mètre en fonction du temps t en seconde. À t = 0 , on a donc h = -1 dans le repère choisi.
a) Quelle sera l'altitude de Charly lorsqu'il aura effectué un quart de tour ? un demi-tour ? un tour complet ?

b) Quelle fonction trigonométrique peut modéliser la situation ? Justifier.

c) Comment peut-on interpréter les résultats de la question
3
dans ce contexte là ?
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Bilan
Quelle propriété les fonctions cosinus et sinus ont-elles en commun ? Quelle propriété les sépare ?

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B
Signe et variations des fonctions cosinus et sinus

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On fournit les courbes représentatives des fonctions cosinus (en rouge) et sinus (en vert).
On notera dans toute l'activité f : x \rightarrow \cos (x) et g : x \mapsto \sin (x) pour x \in \mathbb{R}.

Signe et variations des fonctions cosinus et sinus
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À l'aide des courbes, on va relier le signe et les variations des fonctions cosinus et sinus entre elles.

1
Donner un intervalle sur lequel la fonction sinus est croissante. Quel est le signe de la fonction cosinus sur cet intervalle ? Est-ce toujours le cas ?


2
Quel semble être le signe de la fonction cosinus lorsque la fonction sinus décroît ?


3
De même, relier le signe de la fonction sinus et les variations de la fonction cosinus.


4
On admet que, pour tout x \in \mathbb{R}, f'(x)=-\sin (x) et g'(x)=\cos (x). Cela est-il en accord avec les considérations des trois premières questions ?
Aide
Se rappeler du lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée.


Signe et variations des fonctions cosinus et sinus
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Bilan
Proposer un tableau de signes et de variations des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle [-\pi\: ; \pi].

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C
Maths de mer

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En pleine mer, on peut observer le phénomène de houle. Une fois formée, la houle continue de se déplacer et peut être assimilée à une onde courte à surface périodique.
Les fonctions trigonométriques se prêtent bien à la modélisation de ce système. On donne les caractéristiques d'une houle ci-dessous.

Maths de mer
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On admet que la hauteur de cette houle en un instant donné est exprimée en mètre en fonction de la position x par la fonction h définie pour tout x > 0 par h(x) = a\cos(kx) où a est l'amplitude en mètre et x est la position en mètre.

1
Quel lien peut-on faire entre la longueur d'onde et la fonction cosinus ?


2
On note \lambda la période de la fonction h . Vérifier que k=\dfrac{2 \pi}{\lambda}.


3
On suppose ici que \lambda = 160 m et a = 2 m. Déterminer l'expression de h .


4
On a mesuré que la vitesse v de la houle est v = 16 m·s-1.
Combien de temps faut-il à une crête pour parcourir une longueur d'onde ?
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Bilan
Quelles situations peuvent être modélisées par des fonctions trigonométriques ?

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Objectif : Découvrir les fonctions cosinus et sinus, leur courbe représentative ainsi que leurs propriétés respectives.

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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit x un réel quelconque, on considère son point image \text{M} par enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique.
Les fonctions cosinus et sinus sont définies simplement en associant à chaque réel x le cosinus et le sinus de l'angle au centre associé.

Découverte des fonctions cosinus et sinus
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Objectif : Étudier le signe et les variations des fonctions cosinus et sinus et découvrir leur dérivée respective.

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Objectif : Utiliser les fonctions trigonométriques dans un contexte physique.

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À travers les définitions données et étudiées au chapitre précédent, nous allons aborder un point de vue fonctionnel de la trigonométrie.

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