Approcher le cosinus d'un nombre

On admet la formule suivante pour tout réel $x$ proche de $0$ :

$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2\times 1}+\frac{x^4}{4\times 3\times 2\times 1}-\frac{x^6}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}+\dots$

Questions préliminaires :

Soit $n$ un entier naturel. On appelle factorielle de $n$ le nombre, noté $n!,$ défini par $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times 1.$ Par convention, $0!=1.$

1. Calculer $1!,3!$ et $7!.$

2. Écrire la formule de $\cos (x)$ donnée dans l'énoncé à l'aide de la notation factorielle.

3. Déterminer les deux termes suivants dans la formule, c'est-à-dire celui avec $x^8$ et celui avec $x^{10}.$

4. Justifier que, pour tout entier naturel $n\ne 0,n!=n\times (n-1)!.$

5. On a réalisé un programme avec Python qui permet de calculer $n!.$ Pour cela, on a créé une fonction $\mathbf{Factorielle}$. Expliquer le programme.

def Factorielle(n):
  if n == 0:
    return(1)
  else:
    return(n * Factorielle(n - 1))

1. Ouvrir GeoGebra en mode graphique et tracer la courbe représentative de $f:x\mapsto \cos (x).$

2. a. Tracer la courbe représentative de $f_1:x\mapsto 1-\frac{x^2}{2\times 1}.$

b. Tracer la courbe représentative de $f_2:x\mapsto 1-\frac{x^2}{2\times 1}+\frac{x^4}{4\times 3\times 2\times 1}.$

c. Tracer la courbe représentative de $f_3:x\mapsto 1-\frac{x^2}{2\times 1}+\frac{x^4}{4\times 3\times 2\times 1}-\frac{x^6}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}.$

d. Que remarque-t-on ?

3. Créer un curseur $n$ variant de $1$ à $10$ avec un pas de $1.$

4. Le but à présent est de tracer la fonction $x\mapsto 1-\frac{x^2}{2\times 1}+\frac{x^4}{4\times 3\times 2\times 1}-\dots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ pour différentes valeurs de $n.$ Pour cela, rentrer dans la zone de saisie :
puis compléter cette commande de manière adéquate.

5. Faire varier $n.$ Que remarque-t-on ?