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TP / TICE 2


Approcher le cosinus d’un nombre





Objectif

Approcher le cosinus d’un nombre proche de 0 simplement à l’aide des quatre opérations élémentaires en utilisant une des deux méthodes.

Énoncé

On admet la formule suivante pour tout réel xx proche de 00 :
cos(x)=1x22×1+x44×3×2×1x66×5×4×3×2×1+\cos (x)=1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\dfrac{x^{6}}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}+\ldots

Remarque
Cette formule s’appelle le développement limité en 00 du cosinus.

Questions préliminaires :

Soit nn un entier naturel. On appelle factorielle de nn le nombre, noté n!,n!, défini par n!=n×(n1)×(n2)××1.n !=n \times(n-1) \times(n-2) \times \ldots \times 1. Par convention, 0!=1.0! = 1 .

1. Calculer 1!,3!1! , 3! et 7!.7! .


2. Écrire la formule de cos(x)\cos(x) donnée dans l’énoncé à l’aide de la notation factorielle.


3. Déterminer les deux termes suivants dans la formule, c’est-à-dire celui avec x8x^8 et celui avec x10.x^{10}.


4. Justifier que, pour tout entier naturel n0,n!=n×(n1)!.n \neq 0 , n !=n \times(n-1) !.


5. On a réalisé un programme avec Python qui permet de calculer n!.n!. Pour cela, on a créé une fonction Factorielle\bf{Factorielle}. Expliquer le programme.
def Factorielle(n):
  if n == 0:
    return(1)
  else:
    return(n * Factorielle(n - 1))

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. Ouvrir GeoGebra en mode graphique et tracer la courbe représentative de f:xcos(x).f : x \mapsto \cos (x).

Lancer le module Geogebra
2. a. Tracer la courbe représentative de f1:x1x22×1.f_{1} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}.

b. Tracer la courbe représentative de f2:x1x22×1+x44×3×2×1.f_{2} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}.

c. Tracer la courbe représentative de f3:x1x22×1+x44×3×2×1x66×5×4×3×2×1.f_{3} : x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\dfrac{x^{6}}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}.

d. Que remarque-t-on ?


3. Créer un curseur nn variant de 11 à 1010 avec un pas de 1.1.

4. Le but à présent est de tracer la fonction x1x22×1+x44×3×2×1+(1)nx2n(2n)!x \mapsto 1-\dfrac{x^{2}}{2 \times 1}+\dfrac{x^{4}}{4 \times 3 \times 2 \times 1}-\ldots+(-1)^{n} \dfrac{x^{2 n}}{(2 n) !} pour différentes valeurs de n.n . Pour cela, rentrer dans la zone de saisie :
Approcher le cosinus d’un nombre
puis compléter cette commande de manière adéquate.

5. Faire varier n.n . Que remarque-t-on ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

Le but est d’effectuer un programme permettant de calculer la valeur approchée du cosinus d'un réel xx en utilisant la formule de l'énoncé. Pour cela, on fournit un algorithme à compléter.

1Fonction : cos_approx (x, n)2res13denom14sign15Pour k allant de 1 aˋ n + 1 :6denomfactorielle(2×k)7signsign×(1)8res...9Fin Pour10Retourner res \boxed{ \begin{array} { l } {1 \:\:\: \text {Fonction : cos}\_ \text {approx (x, n)} } \\ 2 \quad\:\: \text {res} \leftarrow 1 \\ 3\quad \:\:\text {denom} \leftarrow 1 \\ 4\quad \:\:\text {sign} \leftarrow 1 \\ 5\quad \:\:\text {Pour k allant de 1 à n + 1 :} \\ 6\quad \:\:\quad \text {denom} \leftarrow \text{factorielle(2} \times \text{k}) \\ 7\quad \:\:\quad \text {sign} \leftarrow \text {sign} \times (-1) \\ 8\quad \:\:\quad \text {res} \leftarrow \text {...} \\ 9\quad \:\:\text {Fin Pour} \\ 10\quad \text {Retourner res} \\ \end{array} }

1. Expliquer le rôle des variables denom\bf{denom} et sign\bf{sign} ainsi que le rôle des lignes 6 et 7.


2. Recopier et compléter la ligne 8.


3. Programmer cet algorithme sur Python.



4. Le tester pour différentes valeurs de xx et de n.n .

5. Lorsque xx est choisi proche de 00 et que nn devient de plus en plus grand, de quelle valeur s’approche le résultat calculé par le programme ? Est-ce surprenant ?
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