Étude des fonctions trigonométriques

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 45 ; 53 ; 56 et 62
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 58 ; 63 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 49 ; 64 et 75

Pour les exercices

53

à

55

Pour chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R},$ donner l’expression de la fonction dérivée.

53

[Calculer.] ◉◉◉
$f(x)=2 \cos (x)+x$

54

[Calculer.]
$g(x)=x^{2} \sin (x)$

55

[Calculer.]
$h(x)=x \sin (-3 x+4)$

Pour les exercices

56

à

59

Pour chacune des fonctions suivantes défi nies sur $\text{I} \subset[-\pi \: ; \pi],$ déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis déterminer l’expression de la fonction dérivée.

56

[Calculer.] ◉◉◉
$f(x)=\dfrac{1}{\sin (x)}$

57

[Calculer.]
$g(x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}$

58

[Calculer.] ◉◉◉
$h(x)=\cos (-2 x+4) \sin (-2 x+4)$

59

[Calculer.]
$k(x)=\cos (3 x-2) \sin (-3 x+2)$

60

[Calculer.]
Pour un devoir sur table, Valentine a oublié sa calculatrice et doit absolument savoir quel est le plus grand nombre entre $\cos(2)$ et $\cos(3) .$ Comment peut-elle le savoir ?

61

[Calculer.]
Julia, une camarade de Valentine, est dans le même cas qu’elle et a également oublié sa calculatrice pour le devoir sur table. Pour répondre à une question, elle doit savoir quel est le plus grand nombre entre $\sin(4)$ et $\sin(7).$ Comment peut-elle le savoir ?

62

[Représenter.] ◉◉◉
On considère l’inéquation $\sin (x)>\dfrac{1}{3}$ pour $x \in[-\pi \: ; \pi].$
1. a. En utilisant une fenêtre graphique adaptée, tracer à la calculatrice la courbe du sinus et une droite permettant de résoudre graphiquement cette inéquation.

b. Faire un croquis à main levée du graphe obtenu.


2. Résoudre graphiquement cette inéquation.

3. Dessiner l’ensemble solution sur le cercle trigonométrique.

63

[Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction $f : x \mapsto \sin (4 x-1)$ définie sur $\mathbb{R}.$
1. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}.$

2. La dérivée seconde de $f$ est la dérivée de la dérivée de $f .$ On la note $f '' .$
Démontrer que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f^{\prime \prime}(x)=-16 \sin (4 x-1).$

64

[Calculer.] ◉◉◉
On considère les fonctions $g : x \mapsto 3 \cos (3 x+4)$ et $h : x_{\mapsto}-25 \sin (5 x-2)$ définies sur $\mathbb{R}.$
1. Trouver une fonction $\text{G}$ vérifiant pour tout $x \in \mathbb{R}, \mathrm{G}^{\prime}(x)=g(x).$

2. Trouver une fonction $\text{H}$ vérifiant pour tout $x \in \mathbb{R}, \text{H}''(x) = h(x) .$ On obtient $\text{H}''$ en dérivant deux fois de suite la fonction $\text{H.}$

65

[Calculer.]
On considère la fonction $f : x \mapsto 4 \cos (x)+(\cos (x))^{2}$ définie sur $\mathbb{R} .$
1. Justifier que $f$ est dérivable et montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-2 \sin (x) \times(2+\cos (x)).$

2. En déduire les variations de $f$ sur $[0\: ; 2 \pi].$