Étude des fonctions trigonométriques

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 45 ; 53 ; 56 et 62
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 58 ; 63 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 49 ; 64 et 75

Pour les exercices

53

à

55

Pour chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R},$ donner l’expression de la fonction dérivée.

53

[Calculer.] ◉◉◉
$f(x)=2\cos (x)+x$

54

[Calculer.]
$g(x)=x^2\sin (x)$

55

[Calculer.]
$h(x)=x\sin (-3x+4)$

Pour les exercices

56

à

59

Pour chacune des fonctions suivantes défi nies sur $\text{I}\subset [-\pi ;\pi ],$ déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis déterminer l’expression de la fonction dérivée.

56

[Calculer.] ◉◉◉
$f(x)=\frac{1}{\sin (x)}$

57

[Calculer.]
$g(x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

58

[Calculer.] ◉◉◉
$h(x)=\cos (-2x+4)\sin (-2x+4)$

59

[Calculer.]
$k(x)=\cos (3x-2)\sin (-3x+2)$

60

[Calculer.]
Pour un devoir sur table, Valentine a oublié sa calculatrice et doit absolument savoir quel est le plus grand nombre entre $\cos (2)$ et $\cos (3).$ Comment peut-elle le savoir ?

61

[Calculer.]
Julia, une camarade de Valentine, est dans le même cas qu’elle et a également oublié sa calculatrice pour le devoir sur table. Pour répondre à une question, elle doit savoir quel est le plus grand nombre entre $\sin (4)$ et $\sin (7).$ Comment peut-elle le savoir ?

62

[Représenter.] ◉◉◉
On considère l’inéquation $\sin (x)>\frac{1}{3}$ pour $x\in [-\pi ;\pi ].$
1. a. En utilisant une fenêtre graphique adaptée, tracer à la calculatrice la courbe du sinus et une droite permettant de résoudre graphiquement cette inéquation.

b. Faire un croquis à main levée du graphe obtenu.


2. Résoudre graphiquement cette inéquation.

3. Dessiner l’ensemble solution sur le cercle trigonométrique.

63

[Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction $f:x\mapsto \sin (4x-1)$ définie sur $\mathbb{R}.$
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}.$

2. La dérivée seconde de $f$ est la dérivée de la dérivée de $f.$ On la note $f^{\prime \prime }.$
Démontrer que $f^{\prime \prime }$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f^{\prime \prime }(x)=-16\sin (4x-1).$

3. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, calculer $f^{\prime \prime }(x)+16f(x)$.

64

[Calculer.] ◉◉◉
On considère les fonctions $g:x\mapsto 3\cos (3x+4)$ et $h:x_{\mapsto }-25\sin (5x-2)$ définies sur $\mathbb{R}.$
1. Trouver une fonction $\text{G}$ vérifiant pour tout $x\in \mathbb{R},{\mathrm{G}}^{\prime }(x)=g(x).$

2. Trouver une fonction $\text{H}$ vérifiant pour tout $x\in \mathbb{R},{\text{H}}^{\prime \prime }(x)=h(x).$ On obtient ${\text{H}}^{\prime \prime }$ en dérivant deux fois de suite la fonction $\text{H.}$

65

[Calculer.]
On considère la fonction $f:x\mapsto 4\cos (x)+(\cos (x){)}^2$ définie sur $\mathbb{R}.$
1. Justifier que $f$ est dérivable et montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=-2\sin (x)\times (2+\cos (x)).$

2. En déduire les variations de $f$ sur $[0;2\pi ].$