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Chapitre 8
Entrainement 2
Étude des fonctions trigonométriques
18 professeurs ont participé à cette page
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Pour chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur \mathbb{R}, donner l'expression de la fonction dérivée.
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[Calculer.] f(x)=2 \cos (x)+x
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[Calculer.]
g(x)=x^{2} \sin (x)
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[Calculer.]
h(x)=x \sin (-3 x+4)
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Pour chacune des fonctions suivantes défi nies sur \text{I} \subset[-\pi \: ; \pi], déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis déterminer l'expression de la fonction dérivée.
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[Calculer.]f(x)=\dfrac{1}{\sin (x)}
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[Calculer.]
g(x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}
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[Calculer.] h(x)=\cos (-2 x+4) \sin (-2 x+4)
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[Calculer.]
k(x)=\cos (3 x-2) \sin (-3 x+2)
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[Calculer.]
Pour un devoir sur table, Valentine a oublié sa calculatrice et doit absolument savoir quel est le plus grand nombre entre \cos(2) et \cos(3) . Comment peut-elle le savoir ?
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[Calculer.]
Julia, une camarade de Valentine, est dans le même cas qu'elle et a également oublié sa calculatrice pour le devoir sur table. Pour répondre à une question, elle doit savoir quel est le plus grand nombre entre \sin(4) et \sin(7). Comment peut-elle le savoir ?
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[Représenter.] On considère l'inéquation \sin (x)>\dfrac{1}{3} pour x \in[-\pi \: ; \pi].
1. a. En utilisant une fenêtre graphique adaptée, tracer à la calculatrice la courbe du sinus et une droite permettant de résoudre graphiquement cette inéquation.
b. Faire un croquis à main levée du graphe obtenu.
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2. Résoudre graphiquement cette inéquation.
3. Dessiner l'ensemble solution sur le cercle trigonométrique.
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[Calculer.] On considère la fonction f : x \mapsto \sin (4 x-1) définie sur \mathbb{R}. 1. Calculer f^{\prime}(x) pour tout x \in \mathbb{R}.
2. La dérivée seconde de f est la dérivée de la dérivée de f . On la note f '' .
Démontrer que f'' est définie sur \mathbb{R} par f^{\prime \prime}(x)=-16 \sin (4 x-1).
Aide
On commencera par calculer f '(x) puis il faudra dériver f'.
3. Pour tout x \in \R, calculer f^{\prime\prime}(x) + 16f(x).
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[Calculer.] On considère les fonctions g : x \mapsto 3 \cos (3 x+4) et h : x\mapsto-25 \sin (5 x-2) définies sur \mathbb{R}. 1. Trouver une fonction \text{G} vérifiant pour tout x \in \mathbb{R}, \mathrm{G}^{\prime}(x)=g(x).
2. Trouver une fonction \text{H} vérifiant pour tout x \in \mathbb{R}, \text{H}''(x) = h(x) . On obtient \text{H}'' en dérivant deux fois de suite la fonction \text{H.}
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[Calculer.]
On considère la fonction f : x \mapsto 4 \cos (x)+(\cos (x))^{2} définie sur \mathbb{R} . 1. Justifier que f est dérivable et montrer que, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-2 \sin (x) \times(2+\cos (x)).
2. En déduire les variations de f sur [0\: ; 2 \pi].
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