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Entrainement 2


Étude des fonctions trigonométriques





57
[Calculer.]
g(x)=sin(x)cos(x)g(x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}

54
[Calculer.]
g(x)=x2sin(x)g(x)=x^{2} \sin (x)

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 45 ; 53 ; 56 et 62
◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 58 ; 63 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 49 ; 64 et 75

65
[Calculer.]
On considère la fonction f:x4cos(x)+(cos(x))2f : x \mapsto 4 \cos (x)+(\cos (x))^{2} définie sur R.\mathbb{R} .
1. Justifier que ff est dérivable et montrer que, pour tout xR,f(x)=2sin(x)×(2+cos(x)).x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-2 \sin (x) \times(2+\cos (x)).

2. En déduire les variations de ff sur [0;2π].[0\: ; 2 \pi].

60
[Calculer.]
Pour un devoir sur table, Valentine a oublié sa calculatrice et doit absolument savoir quel est le plus grand nombre entre cos(2)\cos(2) et cos(3).\cos(3) . Comment peut-elle le savoir ?

62
[Représenter.] ◉◉
On considère l’inéquation sin(x)>13\sin (x)>\dfrac{1}{3} pour x[π;π].x \in[-\pi \: ; \pi].
1. a. En utilisant une fenêtre graphique adaptée, tracer à la calculatrice la courbe du sinus et une droite permettant de résoudre graphiquement cette inéquation.

b. Faire un croquis à main levée du graphe obtenu.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Résoudre graphiquement cette inéquation.

3. Dessiner l’ensemble solution sur le cercle trigonométrique.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

58
[Calculer.] ◉◉
h(x)=cos(2x+4)sin(2x+4)h(x)=\cos (-2 x+4) \sin (-2 x+4)

56
[Calculer.] ◉◉
f(x)=1sin(x)f(x)=\dfrac{1}{\sin (x)}

55
[Calculer.]
h(x)=xsin(3x+4)h(x)=x \sin (-3 x+4)

61
[Calculer.]
Julia, une camarade de Valentine, est dans le même cas qu’elle et a également oublié sa calculatrice pour le devoir sur table. Pour répondre à une question, elle doit savoir quel est le plus grand nombre entre sin(4)\sin(4) et sin(7).\sin(7). Comment peut-elle le savoir ?

Pour les exercices
56
à
59


Pour chacune des fonctions suivantes défi nies sur I[π;π],\text{I} \subset[-\pi \: ; \pi], déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis déterminer l’expression de la fonction dérivée.

59
[Calculer.]
k(x)=cos(3x2)sin(3x+2)k(x)=\cos (3 x-2) \sin (-3 x+2)

63
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction f:xsin(4x1)f : x \mapsto \sin (4 x-1) définie sur R.\mathbb{R}.
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour tout xR.x \in \mathbb{R}.

2. La dérivée seconde de ff est la dérivée de la dérivée de f.f . On la note f.f '' .
Démontrer que ff'' est définie sur R\mathbb{R} par f(x)=16sin(4x1).f^{\prime \prime}(x)=-16 \sin (4 x-1).
AIDE

On commencera par calculer f(x)f '(x) puis il faudra dériver f.f'.

Pour les exercices
53
à
55


Pour chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur R,\mathbb{R}, donner l’expression de la fonction dérivée.

64
[Calculer.] ◉◉◉
On considère les fonctions g:x3cos(3x+4)g : x \mapsto 3 \cos (3 x+4) et h:x25sin(5x2)h : x_{\mapsto}-25 \sin (5 x-2) définies sur R.\mathbb{R}.
1. Trouver une fonction G\text{G} vérifiant pour tout xR,G(x)=g(x).x \in \mathbb{R}, \mathrm{G}^{\prime}(x)=g(x).

2. Trouver une fonction H\text{H} vérifiant pour tout xR,H(x)=h(x).x \in \mathbb{R}, \text{H}''(x) = h(x) . On obtient H\text{H}'' en dérivant deux fois de suite la fonction H.\text{H.}

53
[Calculer.] ◉◉
f(x)=2cos(x)+xf(x)=2 \cos (x)+x
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