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Entrainement 2


Étude des fonctions trigonométriques





57
 [Calculer.]
g(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)g(x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}

54
 [Calculer.]
g(x)=x2sin⁡(x)g(x)=x^{2} \sin (x)

DIFFÉRENCIATION
◉◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 45 ; 53 ; 56 et 62
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 58 ; 63 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 49 ; 64 et 75

65
 [Calculer.]
On considère la fonction f:x↦4cos⁡(x)+(cos⁡(x))2f : x \mapsto 4 \cos (x)+(\cos (x))^{2} définie sur R.\mathbb{R} .
1. Justifier que ff est dérivable et montrer que, pour tout x∈R,f′(x)=−2sin⁡(x)×(2+cos⁡(x)).x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-2 \sin (x) \times(2+\cos (x)).

2. En déduire les variations de ff sur [0 ;2π].[0\: ; 2 \pi].

60
 [Calculer.]
Pour un devoir sur table, Valentine a oublié sa calculatrice et doit absolument savoir quel est le plus grand nombre entre cos⁡(2)\cos(2) et cos⁡(3).\cos(3) . Comment peut-elle le savoir ?

62
 [Représenter.] ◉◉◉
On considère l’inéquation sin⁡(x)>13\sin (x)>\dfrac{1}{3} pour x∈[−π ;π].x \in[-\pi \: ; \pi].
1. a. En utilisant une fenêtre graphique adaptée, tracer à la calculatrice la courbe du sinus et une droite permettant de résoudre graphiquement cette inéquation.

b. Faire un croquis à main levée du graphe obtenu.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Résoudre graphiquement cette inéquation.

3. Dessiner l’ensemble solution sur le cercle trigonométrique.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

58
 [Calculer.] ◉◉◉
h(x)=cos⁡(−2x+4)sin⁡(−2x+4)h(x)=\cos (-2 x+4) \sin (-2 x+4)

56
 [Calculer.] ◉◉◉
f(x)=1sin⁡(x)f(x)=\dfrac{1}{\sin (x)}

55
 [Calculer.]
h(x)=xsin⁡(−3x+4)h(x)=x \sin (-3 x+4)

61
 [Calculer.]
Julia, une camarade de Valentine, est dans le même cas qu’elle et a également oublié sa calculatrice pour le devoir sur table. Pour répondre à une question, elle doit savoir quel est le plus grand nombre entre sin⁡(4)\sin(4) et sin⁡(7).\sin(7). Comment peut-elle le savoir ?

Pour les exercices
56
à
59


Pour chacune des fonctions suivantes défi nies sur I⊂[−π ;π],\text{I} \subset[-\pi \: ; \pi], déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis déterminer l’expression de la fonction dérivée.

59
 [Calculer.]
k(x)=cos⁡(3x−2)sin⁡(−3x+2)k(x)=\cos (3 x-2) \sin (-3 x+2)

63
 [Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction f:x↦sin⁡(4x−1)f : x \mapsto \sin (4 x-1) définie sur R.\mathbb{R}.
1. Calculer f′(x)f^{\prime}(x) pour tout x∈R.x \in \mathbb{R}.

2. La dérivée seconde de ff est la dérivée de la dérivée de f.f . On la note f′′.f '' .
Démontrer que f′′f'' est définie sur R\mathbb{R} par f′′(x)=−16sin⁡(4x−1).f^{\prime \prime}(x)=-16 \sin (4 x-1).
AIDE
On commencera par calculer f′(x)f '(x) puis il faudra dériver f′.f'.

Pour les exercices
53
à
55


Pour chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur R,\mathbb{R}, donner l’expression de la fonction dérivée.

64
 [Calculer.] ◉◉◉
On considère les fonctions g:x↦3cos⁡(3x+4)g : x \mapsto 3 \cos (3 x+4) et h:x↦−25sin⁡(5x−2)h : x_{\mapsto}-25 \sin (5 x-2) définies sur R.\mathbb{R}.
1. Trouver une fonction G\text{G} vérifiant pour tout x∈R,G′(x)=g(x).x \in \mathbb{R}, \mathrm{G}^{\prime}(x)=g(x).

2. Trouver une fonction H\text{H} vérifiant pour tout x∈R,H′′(x)=h(x).x \in \mathbb{R}, \text{H}''(x) = h(x) . On obtient H′′\text{H}'' en dérivant deux fois de suite la fonction H.\text{H.}

53
 [Calculer.] ◉◉◉
f(x)=2cos⁡(x)+xf(x)=2 \cos (x)+x
page 217
page 219-221
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