Pour chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur R, donner l’expression de la fonction dérivée.
53
[Calculer.]◉◉◉ f(x)=2cos(x)+x
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54
[Calculer.] g(x)=x2sin(x)
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55
[Calculer.] h(x)=xsin(−3x+4)
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Pour les exercices
56
à
59
Pour chacune des fonctions suivantes défi nies sur I⊂[−π;π], déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis déterminer l’expression de la fonction dérivée.
56
[Calculer.]◉◉◉ f(x)=sin(x)1
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57
[Calculer.] g(x)=cos(x)sin(x)
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58
[Calculer.]◉◉◉ h(x)=cos(−2x+4)sin(−2x+4)
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59
[Calculer.] k(x)=cos(3x−2)sin(−3x+2)
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60
[Calculer.]
Pour un devoir sur table, Valentine a oublié sa calculatrice et doit absolument savoir quel est le plus grand nombre entre cos(2) et cos(3). Comment peut-elle le savoir ?
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61
[Calculer.]
Julia, une camarade de Valentine, est dans le même cas qu’elle et a également oublié sa calculatrice pour le devoir sur table. Pour répondre à une question, elle doit savoir quel est le plus grand nombre entre sin(4) et sin(7). Comment peut-elle le savoir ?
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62
[Représenter.]◉◉◉
On considère l’inéquation sin(x)>31 pour x∈[−π;π]. 1.a. En utilisant une fenêtre graphique adaptée, tracer à la calculatrice la courbe du sinus et une droite permettant de résoudre graphiquement cette inéquation.
b. Faire un croquis à main levée du graphe obtenu.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
2. Résoudre graphiquement cette inéquation.
3. Dessiner l’ensemble solution sur le cercle trigonométrique.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
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63
[Calculer.]◉◉◉
On considère la fonction f:x↦sin(4x−1) définie sur R. 1. Calculer f′(x) pour tout x∈R.
2. La dérivée seconde de f est la dérivée de la dérivée de f. On la note f′′.
Démontrer que f′′ est définie sur R par f′′(x)=−16sin(4x−1).
3. Pour tout x∈R, calculer f′′(x)+16f(x).
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64
[Calculer.]◉◉◉
On considère les fonctions g:x↦3cos(3x+4) et h:x↦−25sin(5x−2) définies sur R. 1. Trouver une fonction G vérifiant pour tout x∈R,G′(x)=g(x).
2. Trouver une fonction H vérifiant pour tout x∈R,H′′(x)=h(x). On obtient H′′ en dérivant deux fois de suite la fonction H.
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65
[Calculer.]
On considère la fonction f:x↦4cos(x)+(cos(x))2 définie sur R. 1. Justifier que f est dérivable et montrer que, pour tout x∈R,f′(x)=−2sin(x)×(2+cos(x)).
2. En déduire les variations de f sur [0;2π].
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