Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus





Synthèse - Objectif BAC




Club de Maths


82
DÉFI

Soit nN.n \in \mathbb{N} . Lorsqu’une fonction ff est définie et dérivable nn fois sur Df,\mathcal{D}_f, on note ff' sa dérivée et ff'' sa dérivée seconde qui est la dérivée de la dérivée. On note f(3)f^{(3)} la dérivée troisième de ff et f(3)=(f).f^{(3)}=(f'')'. On peut continuer comme ça en notant f(n)f^{(n)} la dérivée de f(n1),f^{(n-1)}, et ainsi de suite.
On peut alors établir que, pour tout xDfx \in \mathcal{D}_f et pour aDfa \in \mathcal{D}_f fixé :

f(x)f(a)+(xa)f(a)+(xa)22!f(a)+(xa)33!f(3)(a)++(xa)nn!f(n)(a)f(x) \approx f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\dfrac{(x-a)^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\dfrac{(x-a)^{3}}{3 !} f^{(3)}(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^{n}}{n !} f^{(n)}(a)

Que donne cette formule avec les fonctions cosinus et sinus lorsque a=0a = 0 et n=4n = 4 ?

79
ALGO

Nous allons étudier le périmètre des polygones réguliers inscrits dans le cercle trigonométrique. On note Pn\text{P}_n le périmètre du polygone à nn côtés pour n3n \geqslant 3 et αn\alpha_n la mesure de l'angle AOB^,\widehat{\mathrm{AOB}},O\text{O} est le centre du cercle et A\text{A} et B\text{B} sont deux sommets consécutifs de ce polygone.

Fonctions trigonométriques

1. Calculer P3\text{P}_3 et P4.\text{P}_4.

2. À présent, on considère que n5.n \geqslant 5.
a. Quelle est la valeur de αn\alpha_n ?

b. Calculer alors la longueur AB\text{AB} en fonction de n.n .

c. En déduire une expression de Pn.\text{P}_n.

d. Cette formule fonctionne-t-elle quand n=4n = 4 ? n=3n = 3 ?

e. La formule fonctionne-t-elle pour le cas limite n=2n = 2 ?

3. On cherche à présent à faire les calculs à l’aide d’un tableur. Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule B4 ?

Fonctions trigonométriques


4. Compléter le tableau à l’aide des questions précédentes. Que remarque-t-on quand on augmente fortement le nombre de côtés ? Comment l’expliquer ?


Remarque
On pourra aussi consulter le TP/TICE p. 212 pour voir d'autres méthodes.

78
ÉNIGME

Pourquoi peut-on dire que, pour les fonctions sinus et cosinus, enlever π2\dfrac{\pi}{2} revient à dériver ?

80
DÉFI

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1. Si une fonction dérivable en tout point de son ensemble de définition est paire, alors sa fonction dérivée est impaire.

2. Si une fonction dérivable en tout point de son ensemble de définition est impaire, alors sa fonction dérivée est paire.

Histoire des maths


Ce type de méthode a été utilisé par Archimède afin de proposer un encadrement de π.\pi. À l’aide de deux polygones réguliers de même nombre de côtés, l’un inscrit et l’autre circonscrit au cercle trigonométrique, il a obtenu l’encadrement 22371π227\dfrac{223}{71} \leqslant \pi \leqslant \dfrac{22}{7} Pour cela, il n’a bien entendu pas utilisé les sinus et cosinus, juste des figures précises et des calculs utilisant les fractions. L’inégalité a été obtenue à l’aide d’un polygone régulier à 96 côtés !

81
CASSE-TÊTE

Trouver le maximum et le minimum de la fonction h:x4sin(x)sin2(x)h : x \mapsto 4 \sin (x)-\sin ^{2}(x) sur R.\mathbb{R} .

77
[Chercher.]
On considère une sphère S\mathcal{S} de rayon 11 centrée en O\text{O} dans un repère de l’espace (O;I,J,K).(\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{K}). On considère un point A\text{A} de la sphère appartenant au plan (OIK)\text{(OIK)} et on note θ=IOA^.\theta=\widehat{\mathrm{IOA}}. On note C\mathcal{C} le cylindre inscrit dans la sphère, passant par A\text{A} et orienté par (OK).\text{(OK).}

Fonctions trigonométriques

1. Expliquer pourquoi on peut considérer que θ[0;π2].\theta \in\left[0 \: ; \dfrac{\pi}{2}\right].

2. Exprimer le volume VC(θ)\mathrm{V}_{\mathrm{C}}(\theta) du cylindre C\mathcal{C} en fonction de θ\theta (on commencera par exprimer la hauteur et le rayon de ce cylindre).

3. On note VS\text{V}_\text{S} le volume de la sphère S.\mathcal{S}. Montrer que, pour tout θ[0;π2],\theta \in\left[0 \: ; \dfrac{\pi}{2}\right], on a VS>VC(θ).\mathrm{V}_{\mathrm{S}}>\mathrm{V}_{\mathrm{C}}(\theta). Pouvait-on prévoir cette inégalité ?
AIDE
cos(a)×sin(a)=12sin(2a)\cos (a) \times \sin (a)=\dfrac{1}{2} \sin (2 a)

4. On souhaite savoir quelles sont les dimensions que le cylindre doit avoir pour que son volume soit égal à la moitié du volume de la sphère.
a. Proposer une méthode afin de connaître une valeur de θ\theta à 0,10{,}1 près, vérifiant la condition voulue. Donner alors les dimensions du cylindre.

b. Est-il possible d’obtenir des dimensions du cylindre permettant que sa surface latérale soit la moitié de la surface de la sphère (on pourra trouver une valeur exacte de θ\theta) ?

69
[Chercher.]
Pour chacune des fonctions définies sur R\mathbb{R} par les expressions suivantes, conjecturer la période à l’aide de la calculatrice puis démontrer cette conjecture.
1. f:xsin2(2x)f : x \mapsto \sin ^{2}(2 x)

2. g:x4sin(x)×sin(x3)g : x \mapsto 4 \sin (x) \times \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)

66
[Communiquer.]
Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation (2cos(x)2)(sin2(x)1)=0.(2 \cos (x)-\sqrt{2})\left(\sin ^{2}(x)-1\right)=0.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 45 ; 53 ; 56 et 62
◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 58 ; 63 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 49 ; 64 et 75

72
[Calculer.]
Le but de ce problème est d’étudier la fonction f:xcos2(x)f : x \mapsto \cos ^{2}(x) définie sur R.\mathbb{R}.
1. La fonction ff est-elle paire ? Impaire ? Ni l’un ni l’autre ?

2. Montrer que ff est π\pi-périodique.

3. Justifier que ff est dérivable sur R\mathbb{R} puis calculer f(x).f'(x).

4. Déterminer les variations de ff sur [π2;π2].\left[-\dfrac{\pi}{2} \: ; \dfrac{\pi}{2}\right].

5. Cela suffit-il à connaître les variations de ff sur tout R\mathbb{R} ?

73
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
En physique, les oscillations harmoniques (pendules, ressorts, ondes, etc.) sont décrites par des fonctions de la forme cos(ωt+ϕ)\cos (\omega t+\phi) ou sin(ωt+ϕ)\sin (\omega t+\phi)ω\omega est appelé pulsation et ϕ\phi est la phase.

Fonctions trigonométriques

1. La courbe ci-dessus représente l’oscillation f:tcos(4t).f : t \mapsto \cos (4 t). Déterminer par lecture graphique la période T\text{T} de ce signal. Vérifier ce résultat par le calcul.

2. Conjecturer une formule reliant la pulsation ω\omega et la période T.\text{T.}

3. Tester cette conjecture sur les oscillations suivantes.
a. g(t)=cos(6t+2)g(t)=\cos (6 t+2)

b. h(t)=cos(t2)h(t)=\cos \left(\dfrac{t}{2}\right)

4. Démontrer la conjecture.


Fonctions trigonomériques - pendule

71
[Communiquer.]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin(xa)+cos(xb)f(x)=\sin \left(\dfrac{x}{a}\right)+\cos \left(\dfrac{x}{b}\right)aa et bb sont deux nombres réels quelconques.
On note kk le plus petit multiple commun à aa et b.b .
1. Démontrer que 2kπ2k\pi est une période de f.f.

2. En déduire alors une période de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=sin(x2)+cos(x3).g(x)=\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)+\cos \left(\dfrac{x}{3}\right).

70
PYTHON
[Modéliser.]
Soit yy un nombre réel donné. L’algorithme suivant permet de résoudre numériquement l’équation sin(x)=y\sin(x) = y avec x[π2;π2].x \in\left[-\dfrac{\pi}{2} \: ; \dfrac{\pi}{2}\right].

from math import* 

def dichotomie_sin(y, p):
  if(y > ...) or (y < ...):
    return(False)
  else:
    a = —pi/2
    b = pi/2
    while b — a >= p:
      res = (a + b)/2
      if sin(res) > y:
        ... = ...
      else:
        ... = ...
    return(res)

On utilise une méthode de dichotomie qui permet de trouver une solution approchée avec une précision donnée (notée pp dans le programme).

1. Comment compléter la ligne 4 ?

2. On va chercher à compléter le programme fourni.
a. À quoi correspondent les variables a\bf{a} et b\bf{b} ?

b. Que teste-t-on ligne 9 ?

c. Compléter alors le programme fourni.

74
[Communiquer.] ◉◉
Le but de ce problème est l’étude de la fonction f:xsin(x)+cos(x)f : x \mapsto \sin (x)+\cos (x) définie sur R.\mathbb{R}.
1. Pourquoi peut-on restreindre l’étude de cette fonction à l’intervalle [π;π][-\pi \: ; \pi] ?

2. Calculer la dérivée de f.f.

3. Résoudre l’inéquation cos(x)>sin(x)\cos(x) > \sin(x) sur [π;π].[-\pi \: ; \pi].

4. En déduire le tableau de variations de f.f .
Couleurs
Formes
Dessinez ici


5. Déterminer la valeur maximale que peut prendre f.f .

68
[Communiquer.]
On considère la fonction h:xx2+sin(x)h : x \mapsto \dfrac{x}{2}+\sin (x) définie sur R.\mathbb{R} .
1. Calculer h(x)h'(x) pour tout xR.x \in \mathbb{R}.

2. Donner le tableau de variations de hh sur l’intervalle [π;π].[-\pi \: ; \pi].

3. Pourquoi peut-on connaître les variations de hh sur R\mathbb{R} tout entier ?

76
EN PHYSIQUE
[Chercher.] ◉◉
En physique, lors de l’étude des oscillateurs harmoniques d’ordre 2, on cherche des fonctions ff qui vérifient (E):f(t)+ω2f(t)=0(\mathrm{E}) : f^{\prime \prime}(t)+\omega^{2} f(t)=0 pour tout t0t \geqslant 0 avec ωR\omega \in \mathbb{R} (la fonction ff'' est obtenue en dérivant deux fois la fonction ff).
Fonctions trigonométriques - circuit éléctrique
Fonctions trigonométriques - circuit éléctrique

Exemple d’oscillateur harmonique d’ordre 2 : oscillations libres dans un circuit LC en électricité.

1. Soit a1a_1 un réel.
a. Montrer que f1:tcos(ωt+a1)f_{1} : t \mapsto \cos \left(\omega t+a_{1}\right) vérifie (E).\text{(E).}

b. Déterminer une valeur possible de a1a_1 telle que f1(0)=0.f_{1}(0)=0.

2. Soit a2a_2 un réel.
a. Montrer que f2:tsin(ωt+a2)f_{2} : t \mapsto \sin \left(\omega t+a_{2}\right) vérifie (E).\text{(E).}

b. Déterminer une valeur possible de a2a_2 telle que f2(0)=12.f_{2}(0)=\dfrac{1}{2}.

75
EN PHYSIQUE
[Modéliser.] ◉◉◉
On suspend une masse mm à un ressort. On note yy la hauteur relative de la masse. La valeur y=0y = 0 correspond à l’équilibre lorsque la masse est immobile. On amène la masse à 10 cm de hauteur puis on la lâche. On suppose qu'il n'y a pas d'amortissement des oscillations. Les oscillations pour t0t \geqslant 0 (tt en seconde) sont données par y(t)=10cos(3t).y( t ) = 10\cos(3t) . On remarque qu’au temps t0=0,t_0 = 0, on a y(t0)=10.y(t_0) = 10.

Fonctions trigonométriques
Fonctions trigonométriques

1. Pour quel temps t1t_1 la masse va passer pour la première fois par sa position d’équilibre y=0y = 0 ?

2. Pour quel temps t2t_2 la masse va repasser pour la deuxième fois par sa position d’équilibre ?

3. Quelle est la période des oscillations de la masse ?

4. Quelle sera la hauteur maximale de la masse ? Et la hauteur minimale ?

67
[Communiquer.]
Résoudre dans ]π;π]]-\pi \: ; \pi ] l’inéquation (2sin(x)2)(12cos(x))0.(2 \sin (x)-\sqrt{2})(1-2 \cos (x)) \geqslant 0.

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

Exercices transversaux
; ; ; et
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?