Fonctions trigonométriques

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La fonction cosinus est la fonction qui, pour tout $x\in \mathbb{R},$ associe le réel $\cos (x).$ La fonction cosinus est :

✔ paire : pour tout $x\in \mathbb{R},\cos (-x)=\cos (x).$ Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela permet de restreindre l'intervalle d'étude.
✔ périodique de période $2\pi :$ pour tout $x\in \mathbb{R},\cos (x+2\pi )=\cos (x).$ Dans un repère orthogonal $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$ sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur $2\pi \overrightarrow{i}.$ Cela permet de restreindre l'étude à un intervalle de longueur $2\pi$ (en général, on choisira l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$).
✔ positive sur l'intervalle $\left[\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ et négative sur les intervalles $\left[-\pi ;\frac{-\pi }{2}\right]$ et $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right].$
✔ dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x\mapsto -\sin (x).$ Par ailleurs, la dérivée de $x\mapsto \cos (ax+b)$ est $x\mapsto -a\sin (ax+b)$ où $a$ et $b$ sont des réels.
✔ croissante sur l'intervalle $[-\pi ;0]$ et décroissante sur l'intervalle $[0;\pi ].$

2

La fonction sinus est la fonction qui, pour tout $x\in \mathbb{R},$ associe le réel $\sin (x).$ La fonction sinus est :

✔ impaire : pour tout $x\in \mathbb{R},\sin (-x)=-\sin (x).$ Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Cela permet de restreindre l'intervalle d'étude.
✔ périodique de période $2\pi :$ pour tout $x\in \mathbb{R},\sin (x+2\pi )=\sin (x).$ Dans un repère orthogonal $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$ sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur $2\pi \overrightarrow{i}.$ Cela permet de restreindre l'étude à un intervalle de longueur $2\pi$ (en général, on choisira l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$).
✔ négative sur l'intervalle $[-\pi ;0]$ et positive sur l'intervalle $[0;\pi ].$
✔ dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x\mapsto \cos (x).$ Par ailleurs, la dérivée de $x\mapsto \sin (ax+b)$ est $x\mapsto a\cos (ax+b)$ où $a$ et $b$ sont des réels.
✔ décroissante sur l'intervalle $\left[-\pi ;\frac{-\pi }{2}\right],$ croissante sur l'intervalle $\left[\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ puis à nouveau décroissante sur l'intervalle $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right].$

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Les fonctions cosinus et sinus permettent d'étudier notamment des phénomènes physiques tels que les oscillations et les circuits électriques.