1

La fonction cosinus est la fonction qui, pour tout x \in \mathbb{R} , associe le réel \cos(x). La fonction cosinus est :

✔ paire : pour tout x \in \mathbb{R}, \cos (-x)=\cos (x). Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela permet de restreindre l'intervalle d'étude.
✔ périodique de période 2\pi : pour tout x \in \mathbb{R}, \cos (x+2 \pi)=\cos (x). Dans un repère orthogonal (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}), sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2\pi \vec{i} . Cela permet de restreindre l'étude à un intervalle de longueur 2\pi (en général, on choisira l'intervalle [-\pi \:; \pi]).
✔ positive sur l'intervalle \left[\dfrac{-\pi}{2} \:; \dfrac{\pi}{2}\right] et négative sur les intervalles \left[-\pi \:; \dfrac{-\pi}{2}\right] et \left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right].
✔ dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est x \mapsto-\sin (x). Par ailleurs, la dérivée de x \mapsto \cos (a x+b) est x \mapsto-a \sin (a x+b) où a et b sont des réels.
✔ croissante sur l'intervalle [-\pi \:; 0] et décroissante sur l'intervalle [0\: ; \pi].

2

La fonction sinus est la fonction qui, pour tout x \in \mathbb{R} , associe le réel \sin(x). La fonction sinus est :

✔ impaire : pour tout x \in \mathbb{R}, \sin (-x)=-\sin (x). Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Cela permet de restreindre l'intervalle d'étude.
✔ périodique de période 2\pi : pour tout x \in \mathbb{R}, \sin (x+2 \pi)=\sin (x). Dans un repère orthogonal (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}), sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2\pi \vec{i} . Cela permet de restreindre l'étude à un intervalle de longueur 2\pi (en général, on choisira l'intervalle [-\pi \:; \pi]).
✔ négative sur l'intervalle [-\pi \: ; 0] et positive sur l'intervalle [0\: ; \pi].
✔ dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est x \mapsto \cos (x). Par ailleurs, la dérivée de x \mapsto \sin (a x+b) est x \mapsto a \cos (a x+b) où a et b sont des réels.
✔ décroissante sur l'intervalle \left[-\pi \: ; \dfrac{-\pi}{2}\right], croissante sur l'intervalle \left[\dfrac{-\pi}{2} \: ; \dfrac{\pi}{2}\right] puis à nouveau décroissante sur l'intervalle \left[\dfrac{\pi}{2}\: ; \pi\right].

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Les fonctions cosinus et sinus permettent d'étudier notamment des phénomènes physiques tels que les oscillations et les circuits électriques.