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Préparer le BAC - Analyse





8
[D’après Bac S - Liban - 2015.]
On considère la courbe C\mathcal{C} d’équation y=ex,y = e^x , tracée ci-dessous. On note D\mathcal{D} la droite d’équation y=e×x.y = e \times x .
Démontrer que la droite D\mathcal{D} est tangente à la courbe D\mathcal{D} en son point d’abscisse 1.1.


Fonctions trigonométriques - bac

3
[D’après Bac S - Asie - 2013.]
On considère les fonctions ff et gg définies pour tout réel xx par f(x)=exf(x)=e^{x} et g(x)=1ex.g(x)=1-e^{-x}. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan sont notées respectivement Cf\mathcal{C}_f et Cg.\mathcal{C}_g.

Partie A : À l’aide de la calculatrice, conjecturer les abscisses des points respectifs de Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g où les deux courbes semblent admettre deux tangentes communes.


Partie B : Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes. On note D\mathcal{D} l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point A\text{A} d’abscisse aa et tangente à la courbe Cg\mathcal{C}_g au point B\text{B} d’abscisse b.b .

1. a. Exprimer en fonction de aa le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point A .\text{A .}


b. Exprimer en fonction de bb le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg\mathcal{C}_g au point B .\text{B .}


c. En déduire que b=a.b = -a .


2. Démontrer que le réel aa est solution de l’équation 2(x1)ex+1=0.2(x-1) e^{x}+1=0.


Partie C : On considère la fonction φ\varphi définie sur R\mathbb{R} par φ(x)=2(x1)ex+1.\varphi(x)=2(x-1) e^{x}+1.

1. a. Calculer la dérivée de la fonction φ,\varphi, puis étudier son signe.


b. Étudier les variations de la fonction φ\varphi sur R.\mathbb{R}. Préciser la valeur de φ(0).\varphi(0).


2. a. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de l’équation φ(x)=0\varphi(x)=0 dans R.\mathbb{R}.


b. On note α\alpha la solution négative de l’équation φ(x)=0\varphi(x)=0 et β\beta la solution positive de cette équation. À l’aide de la calculatrice, donner ces valeurs arrondies au centième.


Partie D : Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.
On note E\text{E} le point de la courbe Cf\mathcal{C}_f d’abscisse α\alpha et F\text{F} le point de la courbe Cg\mathcal{C}_g d’abscisse α-\alpha (α\alpha est le nombre réel défini dans la partie C).

1. Démontrer que la droite (EF)(\text{EF}) est tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point E.\text{E.}

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2. Démontrer que (EF)(\text{EF}) est tangente à Cg\mathcal{C}_g au point F.\text{F.}

6
[D’après Bac S - Antilles-Guyane - 2018.]
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt.

Fonctions trigonométriques - bac

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par f(x)=ex(cosx+sinx+1)f(x)=e^{-x}(-\cos x+\sin x+1) et g(x)=excosx.g(x)=-e^{-x} \cos x. On admet que les fonctions ff et gg sont dérivables sur R.\mathbb{R}.

Partie A : Étude de la fonction ff
1. Justifier que, pour tout xR:exf(x)3ex.x \in \mathbb{R} :-e^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3 e^{-x}.


2. Démontrer que, pour tout xR,f(x)=ex(2cosx1)x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}(2 \cos x-1)ff' est la fonction dérivée de la fonction f.f .


3. Dans cette question, on étudie la fonction ff sur l’intervalle [π;π].[-\pi \: ; \pi].
a. Déterminer le signe de f(x)f'(x) pour xx appartenant à l’intervalle [π;π].[-\pi \: ; \pi].


b. En déduire les variations de ff sur [π;π].[-\pi \: ; \pi].

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Partie B : Aire du logo
On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g les représentations graphiques des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}). L’unité graphique est de 2 centimètres. L’unité d’aire est alors égale à 4 cm2 (1 u.a. = 4 cm2). Ces deux courbes sont tracées ci-dessous.

Fonctions trigonométriques - bac

1. Étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f par rapport à la courbe Cg\mathcal{C}_g sur R.\mathbb{R} .


2. Soit H\text{H} la fonction définie sur R\mathbb{R} par H(x)=(cosx2sinx21)ex.\mathrm{H}(x)=\left(-\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{\sin x}{2}-1\right) \mathrm{e}^{-x}.
Démontrer que, pour tout réel x,x, la fonction dérivée de H\text{H} est la fonction x(sinx+1)ex.x \mapsto(\sin x+1) \mathrm{e}^{-x}.


3. On note D\mathcal{D} le domaine délimité par la courbe Cf,\mathcal{C}_f, la courbe Cg\mathcal{C}_g et les droites d’équation x=π2x=-\dfrac{\pi}{2} et x=3π2.x=\dfrac{3\pi}{2}. On admet que l’aire du domaine D\mathcal{D} correspond à H(3π2)H(π2).\mathrm{H}\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)-\mathrm{H}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right).
Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D,\mathcal{D}, puis en donner une valeur approchée à 10-2 près en cm2.

2
[D’après Bac S - Polynésie - 2016.]
Partie A :
Voici deux courbes C1\mathcal{C}_1 et C2\mathcal{C}_2 qui donnent pour deux personnes P1\text{P}_1 et P2\text{P}_2 de corpulences différentes la concentration C\text{C} d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps tt après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant t=0t = 0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool. C\text{C} est exprimée en gramme par litre et tt en heure.
Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.

Fonctions trigonométriques - bac

1. La fonction C\text{C} est définie sur l’intervalle [0;+[[0\: ; +\infty[ et on note C\text{C}' sa fonction dérivée. À un instant tt positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par C(t).\text{C}'(t). À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?


2. On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.


3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C\text{C} d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction ff définie sur [0;+[[0\: ; +\infty[ par f(t)=Atet,f(t) = \text{A}t e^{-t} ,A\text{A} est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.

a. On note ff' la fonction dérivée de la fonction f.f . Déterminer f(0)f '(0) en fonction de A.\text{A}.


b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
« À quantité d’alcool absorbée égale, plus A\text{A} est grand, plus la personne est corpulente. »


Partie B : Un cas particulier
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C\text{C} d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t,t , exprimé en heure, par la fonction ff définie sur [0;+[[0\: ;+\infty[ par f(t)=2tet.f(t)=2 t \mathrm{e}^{-t}.

1. Étudier les variations de ff sur l’intervalle [0;+[.[0\: ;+\infty[.

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2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10-2 près.


3. À l’aide d’une calculatrice, qu’observe-t-on lorsque le temps tt devient de plus en plus grand ? Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.


4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0,2 g·L–1 pour un jeune conducteur.
On admet qu’il existe deux nombres réels t1t_1 et t2t_2 tels que f(t1)=f(t2)=0,2.f(t_{1})=f(t_{2})=0{,}2. À l’aide d’une calculatrice, quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ? Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

Exercice guidé

1
[D’après Bac S - Nouvelle-Calédonie - 2019.]
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x+2)ex42.g(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x-4}-2.

1. Donner la valeur exacte de g(3)g(-3) puis une valeur approchée au centième près.


Aide
On doit calculer une image. Il suffit de remplacer xx par 3.-3 .

2. a. Justifier que gg est dérivable et calculer g(x)g'(x) pour tout xR.x \in \mathbb{R} .


Aide
Le raisonnement repose sur la décomposition de l’expression de gg en différentes opérations de fonctions de référence. On démontre ainsi la dérivabilité et on a des pistes sur la méthode de calcul.

b. En déduire le tableau de variations de gg sur R. \mathbb{R} .

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Aide
Il suffit d’utiliser le lien entre la fonction gg et sa fonction dérivée g.g'. Il faut résoudre une inéquation et une équation.

3. On donne le tableau de signes de g(x)g(x) sur R.\mathbb{R}. On admet que gg est continue sur son ensemble de définition.

Fonctions trigonométriques - bac

a. En utilisant les fonctionnalités de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α\alpha à 10-2 près.


Aide
On peut représenter la fonction gg à la calculatrice et dresser un tableau de valeurs. On détermine un premier encadrement de α\alpha à l’unité puis, à l’aide d’un algorithme par balayage, on peaufine l’encadrement.

b. Donner une expression de eα4\mathrm{e}^{\alpha-4} sous forme fractionnaire en fonction de α.\alpha.


Aide
Il faut chercher les informations que l’on connaît à propos de α.\alpha. On peut notamment utiliser le lien existant entre α\alpha et g.g .

4. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2x2ex4.f(x)=x^{2}-x^{2} e^{x-4}.
a. Démontrer que, pour tout xR,f(x)=xg(x).x \in \mathbb{R} , f'(x)=-x g(x).


Aide
Un calcul est ici nécessaire pour déterminer l’expression de la fonction f.f'. Puis, en transformant cette écriture, il faut faire apparaître gg pour trouver le résultat.

b. En déduire les variations de ff sur R. \mathbb{R}.

Couleurs
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Aide
Une fois encore, on fait le lien entre les variations de ff et sa fonction dérivée. On peut alors représenter les variations de ff dans un tableau par exemple.
c. Démontrer que le maximum de ff sur [0;+[[0\: ;+\infty[ est α3α+2.\dfrac{\alpha^{3}}{\alpha+2}.


Aide
Il faut chercher le lien qu’il peut exister entre α\alpha et f.f . De plus, la fraction de l’énoncé devrait rappeler une fraction déjà rencontrée dans l’exercice.

7
[D’après Bac S - Polynésie - 2013.]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+2)ex.f(x)=(x+2) e^{-x}. On note C\mathcal{C} la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthogonal.

1. Étude de la fonction ff
a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C\mathcal{C} avec les axes du repère.


b. Étudier les variations de ff sur R.\mathbb{R}.

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2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe
On note D\mathcal{D} le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C\mathcal{C} et les droites d’équation x=0x = 0 et x=1.x = 1 . On approche l’aire du domaine D\mathcal{D} en calculant une somme d’aires de rectangles.
a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0;1][0\: ; 1] en quatre intervalles de même longueur :
  • sur l’intervalle [0;14],\left[0 \:; \dfrac{1}{4}\right], on construit un rectangle de hauteur f(0)f(0) ;
  • sur l’intervalle [14;12],\left[\dfrac{1}{4} \:; \dfrac{1}{2}\right], on construit un rectangle de hauteur f(14)f\left(\dfrac{1}{4}\right) ;
  • sur l’intervalle [12;34],\left[\dfrac{1}{2}\: ; \dfrac{3}{4}\right], on construit un rectangle de hauteur f(12)f\left(\dfrac{1}{2}\right) ;
  • sur l’intervalle [34;1],\left[\dfrac{3}{4}\: ; 1\right], on construit un rectangle de hauteur f(34).f\left(\dfrac{3}{4}\right).

Cette construction est illustrée ci-dessous.

Fonctions trigonométriques - bac

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée S\text{S} de l’aire du domaine D\mathcal{D} en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents.

S0Pour k variant de 0 aˋ 3 :SS+14f(k4)Fin pour \boxed{ \begin{array} { l } \text {S} \leftarrow 0 \\ \text{Pour k variant de 0 à 3 :} \\ \quad \text{S} \leftarrow \text{S}+\dfrac{1}{4} f\left(\dfrac{\text{k}}{4}\right)\\ \text {Fin pour} \end{array} }

Donner une valeur approchée à 10-3 près du résultat affiché par cet algorithme.


b. Dans cette question, N\text{N} est un nombre entier strictement supérieur à 1.1. On découpe l’intervalle [0;1][0 \:; 1] en N\text{N} intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2. a. Modifier l’algorithme précédent afin qu’il calcule en sortie la somme des aires des N\text{N} rectangles ainsi construits.


3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe
Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x3)ex.g(x)=(-x-3) e^{-x}.
a. Démontrer que ff est la fonction dérivée de gg sur R.\mathbb{R}.


b. On admet que la valeur exacte de l’aire A\mathcal{A} du domaine D,\mathcal{D}, exprimée en unités d’aire, est égale à g(1)g(0).g(1) - g(0) . Calculer cette aire.


c. Donner une valeur approchée à 10-3 près de l’erreur commise en remplaçant A\mathcal{A} par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a., c’est-à-dire l’écart entre ces deux valeurs.

9
[D’après Bac S - France métropolitaine - 2012.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
On considère une fonction ff dérivable sur l’intervalle [3;2].[-3\: ; 2]. On dispose des informations suivantes :
  • f(0)=1f(0)=-1 ;
  • la dérivée ff' de la fonction ff admet la courbe représentative C\mathcal{C}' ci-dessous.

Fonctions trigonomériques - bac

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Pour tout réel xx de l’intervalle [3;1]:f(x)0.[-3\:;-1] : f^{\prime}(x) \leqslant 0.


2. La fonction ff est croissante sur l’intervalle [1;2].[-1\:;2].


3. Pour tout réel xx de l’intervalle [3;2],f(x)1.[-3\:;2], f(x) \geqslant -1.


4. Soit C\mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f.f .
La tangente à la courbe C\mathcal{C} au point d’abscisse 00 passe par le point de coordonnées (1;0).(1\: ; 0).

5
[D’après Bac S - France métropolitaine - 2013.]
Soit ff une fonction définie et dérivable sur R.\mathbb{R}.
On note C\text{C} sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C\mathcal{C} et trois autres courbes C1,\mathcal{C}_1, C2\mathcal{C}_2 et C3\mathcal{C}_3 ainsi que la tangente en leur point d’abscisse 0.0.

Fonctions trigonométriques - bac
Fonctions trigonométriques - bac
Fonctions trigonométriques - bac
Fonctions trigonométriques - bac

1. Donner, par lecture graphique, le signe de f(x)f(x) selon les valeurs de x.x .


2. On désigne par F\text{F} la fonction définie sur R\mathbb{R} telle que F=f\text{F}' = f sur R.\mathbb{R}.
a. À l’aide de la courbe C,\mathcal{C}, déterminer F(0)\text{F}'(0) et F(2).\text{F}'(-2).


b. L’une des courbes C1,\mathcal{C}_1, C2,\mathcal{C}_2, C3\mathcal{C}_3 est la courbe représentative de la fonction F.\text{F.}
Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.

4
[D’après Bac S - France métropolitaine - 2017.]
Une entreprise spécialisée est chargée par l’office de tourisme d’une station de ski de la conception d’un panneau publicitaire ayant la forme d’une piste de ski.
Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-après.

Fonctions trigonométriques - bac

Le panneau est découpé dans une plaque rectangulaire de 2 mètres sur 1 mètre. Il est modélisé ci-dessous dans un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) et l’unité choisie est le mètre.

Fonctions trigonométriques - bac

Soit xx un nombre réel appartenant à l’intervalle [0;2].[0\: ; 2]. On note :
  • M\text{M} le point de la courbe C\mathcal{C} de coordonnées (x;ex2)(x\: ; \mathrm{e}^{-x^{2}}) ;
  • N\text{N} le point de coordonnées (x;0)(x\: ; 0) ;
  • P\text{P} le point de coordonnées (0;ex2)(0\: ; \mathrm{e}^{-x^{2}}) ;
  • A(x)\text{A}(x) l’aire du rectangle ONMP.\text{ONMP.}

1. Justifier que pour tout nombre réel xx de l’intervalle [0;2],[0\: ; 2], on a : A(x)=xex2.\mathrm{A}(x)=x \mathrm{e}^{-x^{2}}.


2. On admet que si une fonction uu est dérivable sur un intervalle I,\text{I}, alors (eu)=ueu.(\text{e}^u)'=u'\text{e}^u. Déterminer la position du point M\text{M} sur la courbe C\mathcal{C} pour laquelle l’aire du rectangle ONMP\text{ONMP} est maximale.


3. Le rectangle ONMP\text{ONMP} d’aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu. Déterminer, en m2 et à 10-2 près, la mesure de la surface à peindre en bleu.
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