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1. Définitions et premières propriétés
P.206-207

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COURS 1


1
Définitions et premières propriétés




A
Fonctions cosinus et sinus


Définitions

1. La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel associe
2. La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel associe

Propriétés

1. La fonction cosinus est paire.
2. La fonction sinus est impaire.

Remarque

Une fonction paire vérifie pour tout de son ensemble de définition. Une fonction impaire vérifie pour tout de son ensemble de définition.

DÉMONSTRATION

est un intervalle centré en et, pour tout et

LOGIQUE

Pour montrer la parité et la périodicité de fonctions, il est important de vérifier les égalités pour toute valeur de de l’ensemble de définition.

Propriété

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période Autrement dit, pour tout réel et pour tout appartenant à

DÉMONSTRATION

En utilisant le cercle trigonométrique, on sait que les nombres et ont le même point image pour tout car correspond au périmètre de ce cercle. D’où le résultat de la propriété.

Application et méthode

Énoncé

On définit la fonction sur par
1. Calculer
2. Exprimer en fonction de Que peut-on en conclure sur ?
3. Démontrer que est périodique de période

Méthode

1. Pour calculer les images de fonctions utilisant les fonctions trigonométriques, il faut connaître les valeurs remarquables.

2. Utiliser la parité des fonctions trigonométriques et éventuellement des fonctions de référence.

3. Remplacer par et utiliser les propriétés de la fonction cosinus.

SOLUTION

1.
2. Pour tout car la fonction cosinus est paire.
Donc la fonction est donc paire.
3.

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 215 ; 36 p. 216 et 43 p. 217

B
Courbes représentatives


Définition

Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des sinusoïdes.

Propriétés

1. Les deux fonctions étant -périodiques, les courbes représentatives sont invariantes par la translation de vecteur

Définitions et premières propriétés

2. La fonction cosinus étant paire, sa courbe représentative admet comme axe de symétrie l’axe des ordonnées.
3. La fonction sinus étant impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère

Remarque

La courbe verte est l’image de la courbe rouge par translation de vecteur d’où l’égalité

Application et méthode

Énoncé

Dans un repère orthogonal on considère la fonction définie sur dont on donne la courbe représentative pour En utilisant l’imparité puis la périodicité de reproduire et compléter le graphe sur

Définitions et premières propriétés

Méthode

L’imparité et la périodicité sont fournies par l’énoncé. Il suffit alors de les utiliser pour compléter le graphique.
  • L’imparité se traduit par une symétrie centrale de centre
  • La périodicité se traduit par une translation des parties bleues et rouges autant de fois que nécessaire.

SOLUTION

Comme la fonction est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à On en déduit la partie bleue de la courbe. De plus, est -périodique. On peut alors en déduire la partie verte par translation.

Fonctions trigonométriques

Pour s'entraîner : exercices 22 à 24 p. 215 et 40 p. 217
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