1. Définitions et premières propriétés
P.206-207
COURS 1
1Définitions et premières propriétés
1
AFonctions cosinus et sinus
A
Définitions
1. La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel associe
2. La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel associe
Propriétés
1. La fonction cosinus est paire.
2. La fonction sinus est impaire.
Remarque
Une fonction paire vérifie pour tout de son ensemble de définition. Une fonction impaire vérifie pour tout de son ensemble de définition.
DÉMONSTRATION
est un intervalle centré en et, pour tout et
LOGIQUE
Pour montrer la parité et la périodicité de fonctions, il est important de vérifier les égalités pour toute valeur de de l’ensemble de définition.
Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période Autrement dit, pour tout réel et pour tout appartenant à
DÉMONSTRATION
En utilisant le cercle trigonométrique, on sait que les nombres et ont le même point image pour tout car correspond au périmètre de ce cercle. D’où le résultat de la propriété.
Application et méthode
Énoncé
On définit la fonction sur par
1. Calculer
2. Exprimer en fonction de Que peut-on en conclure sur ?
3. Démontrer que est périodique de période
1. Calculer
2. Exprimer en fonction de Que peut-on en conclure sur ?
3. Démontrer que est périodique de période
Méthode
1. Pour calculer les images de fonctions utilisant les fonctions trigonométriques, il faut connaître les valeurs remarquables.2. Utiliser la parité des fonctions trigonométriques et éventuellement des fonctions de référence.
3. Remplacer par et utiliser les propriétés de la fonction cosinus.
BCourbes représentatives
B
Définition
Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des sinusoïdes.
Propriétés
1. Les deux fonctions étant -périodiques, les courbes représentatives sont invariantes par la translation de vecteur
2. La fonction cosinus étant paire, sa courbe représentative admet comme axe de symétrie l’axe des ordonnées.
3. La fonction sinus étant impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère
Remarque
La courbe verte est l’image de la courbe rouge par translation de vecteur d’où l’égalité
Application et méthode
Énoncé
Dans un repère orthogonal on considère la fonction définie sur dont on donne la courbe représentative pour En utilisant l’imparité puis la périodicité de reproduire et compléter le graphe sur
Méthode
L’imparité et la périodicité sont fournies par l’énoncé. Il suffit alors de les utiliser pour compléter le graphique.- L’imparité se traduit par une symétrie centrale de centre
- La périodicité se traduit par une translation des parties bleues et rouges autant de fois que nécessaire.
SOLUTION
Comme la fonction est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à On en déduit la partie bleue de la courbe. De plus, est -périodique. On peut alors en déduire la partie verte par translation.
Pour s'entraîner : exercices 22 à 24 p. 215 et 40 p. 217