Mathématiques 1re Spécialité

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Chapitre 8
Cours 1

Définitions et premières propriétés

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A
Fonctions cosinus et sinus

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Définition
1. La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x , associe \cos(x).
2. La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x , associe \sin(x).
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Propriété
1. La fonction cosinus est paire.
2. La fonction sinus est impaire.
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Remarque

Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x) pour tout x de son ensemble de définition. Une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x) pour tout x de son ensemble de définition.
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Démonstration
\mathbb{R} est un intervalle centré en 0 et, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos (-x)=\cos (x) et \sin (-x)=-\sin (x).
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Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2\pi. Autrement dit, pour tout réel x, \cos (x+k \times 2 \pi)=\cos (x) et \sin (x+k \times 2 \pi)=\sin (x) pour tout k appartenant à \mathbb{Z}.
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Logique

Pour montrer la parité et la périodicité de fonctions, il est important de vérifier les égalités pour toute valeur de x de l'ensemble de définition.
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Démonstration
En utilisant le cercle trigonométrique, on sait que les nombres x et x + 2k\pi ont le même point image pour tout k \in \mathbb{Z}, car 2\pi correspond au périmètre de ce cercle. D'où le résultat de la propriété.
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Application et méthode
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Énoncé
On définit la fonction f sur \mathbb{R} par f(x)=2+\cos (x). 1. Calculer f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right).
2. Exprimer f(-x) en fonction de f(x). Que peut-on en conclure sur f ?
3. Démontrer que f est périodique de période 2\pi.
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Solution
1. f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=2+\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}.
2. Pour tout x \in \mathbb{R}, f(-x)=2+\cos (-x)=2+\cos (x), car la fonction cosinus est paire.
Donc f(-x)=f(x) : la fonction f est donc paire.
3. f(x+2 \pi)=2+\cos (x+2 \pi)=2+\cos (x)=f(x).

Pour s'entraîner
exercices ; et
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Méthode

1. Pour calculer les images de fonctions utilisant les fonctions trigonométriques, il faut connaître les valeurs remarquables.

2. Utiliser la parité des fonctions trigonométriques et éventuellement des fonctions de référence.

3. Remplacer x par x + 2\pi et utiliser les propriétés de la fonction cosinus.
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B
Courbes représentatives

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Définition
Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des sinusoïdes.
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Propriété
1. Les deux fonctions étant 2 \pi-périodiques, les courbes représentatives sont invariantes par la translation de vecteur 2 \pi \vec{i}.

Définitions et premières propriétés
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2. La fonction cosinus étant paire, sa courbe représentative admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées.
3. La fonction sinus étant impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère \text{O}.
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Remarque

La courbe verte est l'image de la courbe rouge par translation de vecteur \dfrac{\pi}{2} \vec{i}, d'où l'égalité \sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\cos (x).
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Application et méthode
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Énoncé
Dans un repère orthogonal (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) on considère la fonction f : x \mapsto 2 \sin (x) définie sur \mathbb{R} dont on donne la courbe représentative pour x \in[0\:; \pi]. En utilisant l'imparité puis la périodicité de f , reproduire et compléter le graphe sur [-\pi \:; 3 \pi].
Définitions et premières propriétés
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Solution
Comme la fonction f est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à \text{O} . On en déduit la partie bleue de la courbe. De plus, f est 2\pi-périodique. On peut alors en déduire la partie verte par translation.

Fonctions trigonométriques
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Pour s'entraîner
exercices et
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Méthode

L'imparité et la périodicité sont fournies par l'énoncé. Il suffit alors de les utiliser pour compléter le graphique.
  • L'imparité se traduit par une symétrie centrale de centre \text{O}.
  • La périodicité se traduit par une translation des parties bleues et rouges autant de fois que nécessaire.

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