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COURS 1


1
Définitions et premières propriétés




A
Fonctions cosinus et sinus


Définitions
1. La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x,x , associe cos⁡(x).\cos(x).
2. La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x,x , associe sin⁡(x).\sin(x).

Propriétés
1. La fonction cosinus est paire.
2. La fonction sinus est impaire.

Remarque

Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout xx de son ensemble de définition. Une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour tout xx de son ensemble de définition.

DÉMONSTRATION

R\mathbb{R} est un intervalle centré en 00 et, pour tout x∈R,cos⁡(−x)=cos⁡(x)x \in \mathbb{R}, \cos (-x)=\cos (x) et sin⁡(−x)=−sin⁡(x).\sin (-x)=-\sin (x).

LOGIQUE
Pour montrer la parité et la périodicité de fonctions, il est important de vérifier les égalités pour toute valeur de xx de l’ensemble de définition.

Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.2\pi. Autrement dit, pour tout réel x,cos⁡(x+k×2π)=cos⁡(x)x, \cos (x+k \times 2 \pi)=\cos (x) et sin⁡(x+k×2π)=sin⁡(x)\sin (x+k \times 2 \pi)=\sin (x) pour tout kk appartenant à Z.\mathbb{Z}.

DÉMONSTRATION

En utilisant le cercle trigonométrique, on sait que les nombres xx et x+2kπx + 2k\pi ont le même point image pour tout k∈Z,k \in \mathbb{Z}, car 2π2\pi correspond au périmètre de ce cercle. D’où le résultat de la propriété.

Application et méthode

Énoncé

On définit la fonction ff sur R\mathbb{R} par f(x)=2+cos⁡(x).f(x)=2+\cos (x).
1. Calculer f(2π3).f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right).
2. Exprimer f(−x)f(-x) en fonction de f(x).f(x). Que peut-on en conclure sur ff ?
3. Démontrer que ff est périodique de période 2π.2\pi.

Méthode

 1. Pour calculer les images de fonctions utilisant les fonctions trigonométriques, il faut connaître les valeurs remarquables.

2. Utiliser la parité des fonctions trigonométriques et éventuellement des fonctions de référence.

3. Remplacer xx par x+2πx + 2\pi et utiliser les propriétés de la fonction cosinus.

SOLUTION

1. f(2π3)=2+cos⁡(2π3)=2+(−12)=32.f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=2+\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}.
2. Pour tout x∈R,f(−x)=2+cos⁡(−x)=2+cos⁡(x),x \in \mathbb{R}, f(-x)=2+\cos (-x)=2+\cos (x), car la fonction cosinus est paire.
Donc f(−x)=f(x):f(-x)=f(x) : la fonction ff est donc paire.
3. f(x+2π)=2+cos⁡(x+2π)=2+cos⁡(x)=f(x).f(x+2 \pi)=2+\cos (x+2 \pi)=2+\cos (x)=f(x).

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 215 ; 36 p. 216 et 43 p. 217

B
Courbes représentatives


Définition

Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des sinusoïdes.

Propriétés

1. Les deux fonctions étant 2π2 \pi-périodiques, les courbes représentatives sont invariantes par la translation de vecteur 2πi⃗.2 \pi \vec{i}.

Définitions et premières propriétés

2. La fonction cosinus étant paire, sa courbe représentative admet comme axe de symétrie l’axe des ordonnées.
3. La fonction sinus étant impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère O.\text{O}.

Remarque

La courbe verte est l’image de la courbe rouge par translation de vecteur π2i⃗,\dfrac{\pi}{2} \vec{i}, d’où l’égalité sin⁡(x+π2)=cos⁡(x).\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\cos (x).

Application et méthode

Énoncé

Dans un repère orthogonal (O;i⃗,j⃗)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) on considère la fonction f:x↦2sin⁡(x)f : x \mapsto 2 \sin (x) définie sur R\mathbb{R} dont on donne la courbe représentative pour x∈[0 ;π].x \in[0\:; \pi]. En utilisant l’imparité puis la périodicité de f,f , reproduire et compléter le graphe sur [−π ;3π].[-\pi \:; 3 \pi].

Définitions et premières propriétés

Méthode

 L’imparité et la périodicité sont fournies par l’énoncé. Il suffit alors de les utiliser pour compléter le graphique.
  • L’imparité se traduit par une symétrie centrale de centre O.\text{O}.
  • La périodicité se traduit par une translation des parties bleues et rouges autant de fois que nécessaire.

SOLUTION

Comme la fonction ff est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à O.\text{O} . On en déduit la partie bleue de la courbe. De plus, ff est 2π2\pi-périodique. On peut alors en déduire la partie verte par translation.

Fonctions trigonométriques

Pour s'entraîner : exercices 22 à 24 p. 215 et 40 p. 217
page 204-205
page 208-209
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