Étude des fonctions trigonométriques

Si $f$ est la fonction cosinus et $g$ la fonction sinus, alors $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=-\sin (x)$ et $g^{\prime }(x)=\cos (x).$

Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. En notant $f:x\mapsto \cos (ax+b)$ et $g:x\mapsto \sin (ax+b),$ alors $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=-a\sin (ax+b)$ et $g^{\prime }(x)=a\cos (ax+b).$

Pour toute fonction $h$ dérivable et pour tous réels $a$ et $b,$ on sait que la dérivée de $x\mapsto h(ax+b)$ est $x\mapsto a{h}^{\prime }(ax+b).$
Donc, pour tout réel $x,f^{\prime }(x)=-a\sin (ax+b)$ et $g^{\prime }(x)=a\cos (ax+b).$

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page 113 (chapitre 4)

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}.$ Pour tout $x\in \mathbb{R},$ on a : $f^{\prime }(x)=-\sin (x)+\cos (x).$
2. La fonction $g$ est la composée d'une fonction affine avec la fonction sinus. Elle s'écrit sous la forme $\sin (ax+b)$ avec $a=3$ et $b=12:$ elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R},g^{\prime }(x)=3\cos (3x+12).$
3. La fonction $h$ est la composée d'une fonction affine avec la fonction cosinus. Elle s'écrit sous la forme $\cos (ax+b)$ avec $a=-2$ et $b=-3:$ elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R},h^{\prime }(x)=-(-2)\times \sin (-2x-3)=2\sin (-2x-3).$

exercices

26 à 28 p. 215

• Il est primordial de préciser sur quel intervalle on a le droit de dériver.
• On applique correctement la formule en identifiant les coefficients $a$ et $b.$
• Il faut évidemment faire attention aux signes.

1. $\cos (x)=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}.$ La fonction $g$ est donc définie pour tous les réels sauf pour $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}.$
2. La fonction $g$ est de la forme $\frac{1}{v}$ où $v$ est une fonction dérivable et non nulle sur $]\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}[.$
$v(x)=\cos (x)$ et $v^{\prime }(x)=-\sin (x).$ On en déduit que, pour tout $x\in ]\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}[,g^{\prime }(x)=\frac{-(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}.$
Le signe de $g^{\prime }(x)$ est alors le même que le signe de $\sin (x)$ sur $]\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}[.$


exercices

29 à 32 p. 215

1.

On identifie les fonctions de référence en jeu : ici, la fonction inverse et la fonction cosinus.

La fonction inverse étant définie pour tout réel non nul, il suffit d'écarter les zéros de la fonction cosinus ; c'est-à-dire les valeurs de $x$ vérifiant $\cos (x)=0.$

Une fois les valeurs interdites déterminées, la fonction $g$ est alors définie pour tous les réels excepté ces valeurs.

2.

On calcule la dérivée et on détermine son signe en faisant attention aux valeurs interdites.

On déduit les variations de $g$ à partir du signe de la dérivée.