COURS 2


2
Étude des fonctions trigonométriques




Application et méthode

Énoncé

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
1. f:xcos(x)+sin(x)f : x \mapsto \cos (x)+\sin (x)
2. g:xsin(3x+12)g : x \mapsto \sin (3 x+12)
3. h:xcos(2x3)h : x \mapsto \cos (-2 x-3)

SOLUTION

1. La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} en tant que somme de fonctions dérivables sur R.\mathbb{R}. Pour tout xR,x \in \mathbb{R}, on a : f(x)=sin(x)+cos(x).f'(x)=-\sin (x)+\cos (x).
2. La fonction gg est la composée d’une fonction affine avec la fonction sinus. Elle s’écrit sous la forme sin(ax+b)\sin (a x+b) avec a=3a=3 et b=12:b=12 : elle est donc dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xR,g(x)=3cos(3x+12).x \in \mathbb{R}, g'(x)=3 \cos (3 x+12).
3. La fonction hh est la composée d’une fonction affine avec la fonction cosinus. Elle s’écrit sous la forme cos(ax+b)\cos (a x+b) avec a=2a=-2 et b=3:b=-3 : elle est donc dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xR,h(x)=(2)×sin(2x3)=2sin(2x3).x \in \mathbb{R}, h'(x)=-(-2) \times \sin (-2 x-3)=2 \sin (-2 x-3).

Pour s'entraîner : exercices 26 à 28 p. 215

Méthode

  • Il est primordial de préciser sur quel intervalle on a le droit de dériver.
  • On applique correctement la formule en identifiant les coefficients aa et b.b .
  • Il faut évidemment faire attention aux signes.

A
Dérivées


DÉMONSTRATION

Pour toute fonction hh dérivable et pour tous réels aa et b,b , on sait que la dérivée de xh(ax+b)x \mapsto h(a x+b) est xah(ax+b).x \mapsto a h'(a x+b).
Donc, pour tout réel x,f(x)=asin(ax+b)x, f'(x)=-a \sin (a x+b) et g(x)=acos(ax+b).g'(x)=a \cos (a x+b).

Propriété (admise)

Si ff est la fonction cosinus et gg la fonction sinus, alors ff et gg sont dérivables sur R\mathbb{R} et, pour tout xR,f(x)=sin(x)x \in \mathbb{R},f'(x)=-\sin (x) et g(x)=cos(x).g'(x)=\cos (x).

Exemple

Soit la fonction ff définie par f(x)=cos(4x1).f(x)=\cos (4 x-1).
On a donc f(x)=4sin(4x1).f'(x)=-4 \sin (4 x-1).

Propriété

Soient aa et bb deux réels quelconques. En notant f:xcos(ax+b)f : x \mapsto \cos (a x+b) et g:xsin(ax+b),g : x \mapsto \sin (a x+b), alors ff et gg sont dérivables sur R\mathbb{R} et, pour tout xR,f(x)=asin(ax+b)x \in \mathbb{R}, f'(x)=-a \sin (a x+b) et g(x)=acos(ax+b). g'(x)=a \cos (a x+b).

Remarque

Voir le cours de la page 113 (chapitre 4)

Application et méthode


SOLUTION

1. cos(x)=0x=π2+kπ\cos (x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi avec kZ. k \in \mathbb{Z}. La fonction gg est donc définie pour tous les réels sauf pour x=π2+kπx=\dfrac{\pi}{2}+k \pi avec kZ. k \in \mathbb{Z}.
2. La fonction gg est de la forme 1v\dfrac{1}{v}vv est une fonction dérivable et non nulle sur ]π2;π2[.] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[.
v(x)=cos(x)v(x)=\cos (x) et v(x)=sin(x). v^{\prime}(x)=-\sin (x). On en déduit que, pour tout x]π2;π2[,g(x)=(sin(x))cos2(x)=sin(x)cos2(x).x \in ] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}\left[, g^{\prime}(x)=\dfrac{-(-\sin (x))}{\cos ^{2}(x)}=\dfrac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)}\right. .
Le signe de g(x)g'(x) est alors le même que le signe de sin(x)\sin(x) sur ]π2;π2[.] \dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[.

MAT1_CH8_p209_table3

Pour s'entraîner : exercices 29 à 32 p. 215

Méthode

1.
  • On identifie les fonctions de référence en jeu : ici, la fonction inverse et la fonction cosinus.
  • La fonction inverse étant définie pour tout réel non nul, il suffit d’écarter les zéros de la fonction cosinus ; c’est-à-dire les valeurs de xx vérifiant cos(x)=0.\cos(x) = 0 .
  • Une fois les valeurs interdites déterminées, la fonction gg est alors définie pour tous les réels excepté ces valeurs.


  • 2.
  • On calcule la dérivée et on détermine son signe en faisant attention aux valeurs interdites.
  • On déduit les variations de gg à partir du signe de la dérivée.
  • Énoncé

    On considère la fonction g:x1cos(x).g : x \mapsto \dfrac{1}{\cos (x)}.
    1. Donner l’ensemble de définition de g.g .
    2. Dresser le tableau de variations de gg sur ]π2;π2[.]-\dfrac{\pi}{2} \:; \dfrac{\pi}{2}[.

    B
    Tableaux de signes et variations

    Remarque

    1. Les variations de cos\cos dépendent du signe de sin.-\sin .
    2. Les variations de sin\sin dépendent du signe de cos.\cos .

    Les fonctions cosinus et sinus étant 2π2\pi-périodiques, on peut restreindre l’étude du signe et des variations sur l’intervalle [π;π].[-\pi \:; \pi].

    Fonction cosinus :

    Étude des fonctions trigonométriques

    Fonction sinus :

    Étude des fonctions trigonométriques

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