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Activités




B
Bénéfice annuel d’un artisan



Objectif
Introduire la notion de taux de variation d’une fonction entre deux réels proches.

Voir les réponses


Bilan
Déterminer le taux de variation de la fonction B\text{B} entre 400400 et 400+h.400 + h .

Remarque

2
On obtient l’accroissement moyen du bénéfice annuel par dizaine supplémentaire produite.

4
Cette expression est le taux de variation de la fonction B\text{B} entre 5050 et 50+h. 50 + h .

1
Le nombre annuel de dizaines de sachets de biscuits vendus est passé de 200 à 300 de 2017 à 2018. Déterminer la variation absolue en euro du bénéfice annuel de cet artisan entre 2017 et 2018.


Aide
La variation absolue est la différence entre la valeur finale v1v_1 et la valeur initiale v0.v_0.

2
En déduire de combien d’euros a varié en moyenne le bénéfice annuel de cet artisan par dizaine de sachets supplémentaire produite.


3
Soit hh un réel non nul. On suppose qu’en 2019, le nombre de dizaines de sachets de biscuits vendus passe de 300300 à 300+h.300 + h . Calculer l’accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel pour h=0,5,h = 0{,}5 , puis pour h=0,1.h = 0{,}1 .


4
Exprimer, en fonction de h,h , l’accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel lorsque les ventes passent de 5050 à 50+h50 + h dizaines de sachets de biscuits.

Un artisan produit et commercialise des biscuits en sachets. Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de nn dizaines de sachets de biscuits, avec 0<n<1000,0 \lt n \lt 1\,000, est donné en euro par la fonction B\text{B} définie par : B(n)=0,02n2+20n1000.\mathrm{B}(n)=-0{,}02 n^{2}+20 n-1\,000.

Bénéfice annuel d’un artisan

A
Chute libre d’une balle


Chute libre d’une balle

AIDE

2
On calcule d(0,3+h)d(0,3)h\dfrac{d(0{,}3+h)-d(0{,}3)}{h} en développant et réduisant le numérateur, puis on factorise le numérateur par hh pour simplifier le quotient.

Remarque

La vitesse limite que l’on obtient est appelée vitesse instantanée de la balle pour t=0,3.t = 0{,}3.


Objectif
Interpréter le nombre dérivé en termes de vitesse instantanée

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Bilan
Que constate-t-on pour la valeur de la vitesse moyenne quand hh se rapproche de plus en plus de 0?0\:?


La chute d’une balle de tennis a été prise en photos à intervalles réguliers de 0,02 seconde (chronophotographie). Des mesures de la distance d(t)d(t) parcourue par la balle (en mètre) en fonction du temps tt (en seconde) sont effectuées et sont données dans le tableau suivant.

 tt 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
 tt 0,29 0,327 0,388 0,446 0,509 0,575 0,644

La vitesse moyenne vv d’un objet est le quotient de la distance parcourue dd par le temps tt mis pour la parcourir. Avec les données de l’exercice, on l’exprime en mètre par seconde (m·s-1) : v=dt.v=\dfrac{d}{t}.

1
Calculer la vitesse moyenne de la balle entre 0,26 s et 0,30 s, entre 0,28 s et 0,32 s puis entre 0,30 s et 0,34 s. La vitesse moyenne obtenue est-elle la même pour une même durée ? Expliquer pourquoi.


2
On admet que, pour tout t>0,d(t)=5t2.t>0, d(t)=5 t^{2}. Soit h>0.h > 0 . Exprimer, en fonction de h,h , la vitesse moyenne entre deux instants très proches t=0,3+ht=0{,}3+h et t=0,3.t=0{,}3.


3
On prend des valeurs très proches de 00 pour h.h . Calculer la vitesse moyenne (en m·s-1) pour h=0,1,h = 0{,}1 , pour h=0,01,h = 0{,}01 , pour h=0,001h = 0{,}001 et pour h=0,0001.h = 0{,}000 1 .

C
Vers le nombre dérivé


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Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2.f(x)=x^{2}. On appelle Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé et on considère le point A\text{A} de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse 2.2.
Soit hh un réel non nul. On appelle H\text{H} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse 2+h.2 + h .
On s’intéresse aux coefficients directeurs des sécantes (AH)(\mathrm{AH}) quand hh se rapproche de 0.0.
On note τ(h)\tau(h) le coefficient directeur de la sécante (AH).(\mathrm{AH}).

1
À l’aide de GeoGebra ou en faisant les calculs à la main, relever les valeurs des coefficients directeurs des sécantes (AH)(\mathrm{AH}) à Cf\mathcal{C}_f pour les différentes valeurs de hh données dans le tableau.

 xx -0,2 -0,1 -0,05 0,05 0,1 0,2
 t(h)t(h)

Lancer le module Geogebra

Remarque

3
Puisque h0h \neq 0 alors A\text{A} et H\text{H} ne sont pas confondus et on a nécessairement xHxA,x_{\mathrm{H}} \neq x_{\mathrm{A}}, donc la sécante (AH)(\mathrm{AH}) est toujours définie.


Objectif
Interpréter le nombre dérivé comme limite des coefficients directeurs des sécantes successives à une courbe.

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Bilan
De quelle valeur s’approche τ(h)\tau({h}) quand hh prend des valeurs de plus en plus proches de 0 ?

AIDE

1
On place le point H(2+h;f(2+h))\mathrm{H}(2+h\:; f(2+h)) avec les différentes valeurs de hh lues dans le tableau et on fait afficher l’équation réduite de la droite (AH)(\mathrm{AH}) par le logiciel. On lit ainsi les coefficients directeurs cherchés.

AIDE

3
On écrit les coordonnées des points A\text{A} et H\text{H} et on utilise la formule du coefficient directeur de la droite (AH):τ(h)=yHyAxHxA.(\mathrm{AH}): \tau(h)=\dfrac{y_{\mathrm{H}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{H}}-x_{\mathrm{A}}}.

2
Quand hh prend des valeurs de plus en plus proches de 0,0, vers quel point de la courbe Cf\mathcal{C}_f le point HH semble-t-il se rapprocher ? De quelle valeur le coefficient directeur τ(h)\tau(h) semble-t-il se rapprocher ?


3
Exprimer en fonction de hh le coefficient directeur τ(h)\tau(h) de la droite (AH)(\mathrm{AH}) lorsque A\text{A} et H\text{H} sont distincts.


Vers le nombre dérivé
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