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P.106-107

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A
Chute libre d’une balle



Objectif
Interpréter le nombre dérivé en termes de vitesse instantanée


Chute libre d’une balle

La chute d’une balle de tennis a été prise en photos à intervalles réguliers de 0,02 seconde (chronophotographie). Des mesures de la distance parcourue par la balle (en mètre) en fonction du temps (en seconde) sont effectuées et sont données dans le tableau suivant.

  0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
  0,29 0,327 0,388 0,446 0,509 0,575 0,644

La vitesse moyenne d’un objet est le quotient de la distance parcourue par le temps mis pour la parcourir. Avec les données de l’exercice, on l’exprime en mètre par seconde (m·s-1) :

1
Calculer la vitesse moyenne de la balle entre 0,26 s et 0,30 s, entre 0,28 s et 0,32 s puis entre 0,30 s et 0,34 s. La vitesse moyenne obtenue est-elle la même pour une même durée ? Expliquer pourquoi.


2
On admet que, pour tout Soit Exprimer, en fonction de la vitesse moyenne entre deux instants très proches et


3
On prend des valeurs très proches de pour Calculer la vitesse moyenne (en m·s-1) pour pour pour et pour
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AIDE

2
On calcule en développant et réduisant le numérateur, puis on factorise le numérateur par pour simplifier le quotient.

Remarque

La vitesse limite que l’on obtient est appelée vitesse instantanée de la balle pour
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Bilan
Que constate-t-on pour la valeur de la vitesse moyenne quand se rapproche de plus en plus de

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B
Bénéfice annuel d’un artisan



Objectif
Introduire la notion de taux de variation d’une fonction entre deux réels proches.


Un artisan produit et commercialise des biscuits en sachets. Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de dizaines de sachets de biscuits, avec est donné en euro par la fonction définie par :

Bénéfice annuel d’un artisan

1
Le nombre annuel de dizaines de sachets de biscuits vendus est passé de 200 à 300 de 2017 à 2018. Déterminer la variation absolue en euro du bénéfice annuel de cet artisan entre 2017 et 2018.


Aide
La variation absolue est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale

2
En déduire de combien d’euros a varié en moyenne le bénéfice annuel de cet artisan par dizaine de sachets supplémentaire produite.


3
Soit un réel non nul. On suppose qu’en 2019, le nombre de dizaines de sachets de biscuits vendus passe de à Calculer l’accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel pour puis pour


4
Exprimer, en fonction de l’accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel lorsque les ventes passent de à dizaines de sachets de biscuits.
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Remarque

2
On obtient l’accroissement moyen du bénéfice annuel par dizaine supplémentaire produite.

4
Cette expression est le taux de variation de la fonction entre et
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Bilan
Déterminer le taux de variation de la fonction entre et

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C
Vers le nombre dérivé



Objectif
Interpréter le nombre dérivé comme limite des coefficients directeurs des sécantes successives à une courbe.


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Soit la fonction définie sur par On appelle sa courbe représentative dans un repère orthonormé et on considère le point de d’abscisse
Soit un réel non nul. On appelle le point de d’abscisse
On s’intéresse aux coefficients directeurs des sécantes quand se rapproche de
On note le coefficient directeur de la sécante

1
À l’aide de GeoGebra ou en faisant les calculs à la main, relever les valeurs des coefficients directeurs des sécantes à pour les différentes valeurs de données dans le tableau.

  -0,2 -0,1 -0,05 0,05 0,1 0,2
 

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Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
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Vers le nombre dérivé

AIDE

1
On place le point avec les différentes valeurs de lues dans le tableau et on fait afficher l’équation réduite de la droite par le logiciel. On lit ainsi les coefficients directeurs cherchés.

2
Quand prend des valeurs de plus en plus proches de vers quel point de la courbe le point semble-t-il se rapprocher ? De quelle valeur le coefficient directeur semble-t-il se rapprocher ?


3
Exprimer en fonction de le coefficient directeur de la droite lorsque et sont distincts.

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AIDE

3
On écrit les coordonnées des points et et on utilise la formule du coefficient directeur de la droite

Remarque

3
Puisque alors et ne sont pas confondus et on a nécessairement donc la sécante est toujours définie.
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Bilan
De quelle valeur s’approche quand prend des valeurs de plus en plus proches de 0 ?

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