Dérivation

La chute d'une balle de tennis a été prise en photos à intervalles réguliers de 0,02 seconde (chronophotographie). Des mesures de la distance $d(t)$ parcourue par la balle (en mètre) en fonction du temps $t$ (en seconde) sont effectuées et sont données dans le tableau suivant.


La vitesse moyenne $v$ d'un objet est le quotient de la distance parcourue $d$ par le temps $t$ mis pour la parcourir. Avec les données de l'exercice, on l'exprime en mètre par seconde (m·s^-1) : $v=\frac{d}{t}.$

Un artisan produit et commercialise des biscuits en sachets. Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de $n$ dizaines de sachets de biscuits, avec $0<n<1000,$ est donné en euro par la fonction $\text{B}$ définie par : $\mathrm{B}(n)=-0,02n^2+20n-1000.$

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Le nombre annuel de dizaines de sachets de biscuits vendus est passé de 200 à 300 de 2017 à 2018. Déterminer la variation absolue en euro du bénéfice annuel de cet artisan entre 2017 et 2018.

Aide

La variation absolue est la différence entre la valeur finale $v_1$ et la valeur initiale $v_0.$

2

En déduire de combien d'euros a varié en moyenne le bénéfice annuel de cet artisan par dizaine de sachets supplémentaire produite.

3

Soit $h$ un réel non nul. On suppose qu'en 2019, le nombre de dizaines de sachets de biscuits vendus passe de $300$ à $300+h.$ Calculer l'accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel pour $h=0,5,$ puis pour $h=0,1.$

4

Exprimer, en fonction de $h,$ l'accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel lorsque les ventes passent de $50$ à $50+h$ dizaines de sachets de biscuits.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2.$ On appelle ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et on considère le point $\text{A}$ de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $2.$

Soit $h$ un réel non nul. On appelle $\text{H}$ le point de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $2+h.$

On s'intéresse aux coefficients directeurs des sécantes $(\mathrm{AH})$ quand $h$ se rapproche de $0.$

On note $\tau (h)$ le coefficient directeur de la sécante $(\mathrm{AH}).$

À l'aide de GeoGebra ou en faisant les calculs à la main, relever les valeurs des coefficients directeurs des sécantes $(\mathrm{AH})$ à ${\mathcal{C}}_f$ pour les différentes valeurs de $h$ données dans le tableau.

2

Quand $h$ prend des valeurs de plus en plus proches de $0,$ vers quel point de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ le point $H$ semble-t-il se rapprocher ? De quelle valeur le coefficient directeur $\tau (h)$ semble-t-il se rapprocher ?

3

Exprimer en fonction de $h$ le coefficient directeur $\tau (h)$ de la droite $(\mathrm{AH})$ lorsque $\text{A}$ et $\text{H}$ sont distincts.

Aide

On écrit les coordonnées des points $\text{A}$ et $\text{H}$ et on utilise la formule du coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AH}):\tau (h)=\frac{y_{\mathrm{H}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{H}}-x_{\mathrm{A}}}.$