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Chapitre 4


Dérivation





Dérivation

Avant de commencer

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5
Étudier des variations

On considère la fonction ff définie sur I=[3;+[\mathrm{I}=[3\: ;+\infty[ par f(x)=2x212x+14.f(x)=2 x^{2}-12 x+14.

1. Démontrer que, pour tout xI,f(x)=2(x3)24.x \in \mathrm{I}, f(x)=2(x-3)^{2}-4.


2. En utilisant les variations de la fonction carré, démontrer que ff est croissante sur I.\text{I.}
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3
Déterminer une équation cartésienne de droite

Dans le tableau suivant, on a indiqué la pente et les coordonnées d’un point pour chacune des droites d1,d_{1}, d2,d_{2}, d3d_{3} et d4.d_{4}.
 Droite d1d_1 d2d_2 d3d_3 d4d_4
 Point de la droite O(0;0)\mathrm{O}(0\:; 0) B(1;2)\mathrm{B}(1\:;-2) C(2;1)\text{C}(-2\:; 1) D(3;3)\mathrm{D}(3\:; 3)
 Pente de la droite 2-2 13\dfrac{1}{3} 25\dfrac{-2}{5} 00

1. Tracer les droites d1,d_{1}, d2,d_{2}, d3d_{3} et d4d_{4} dans le repère (O;i,j).(\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}).

Lancer le module Geogebra
2. Déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites d1,d_{1}, d2,d_{2}, d3d_{3} et d4d_4 en utilisant des coefficients entiers.
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6
Utiliser les fonctions de référence

Soient les fonctions ff et gg définies respectivement sur R\R et R\R^* par f(x)=1x2f(x)=1-x^{2} et g(x)=1x.g(x)=\dfrac{1}{x}.

1. Soit hR.h \in \mathbb{R}. Développer et réduire l’expression f(2+h)f(2).f(2+h)-f(2).


2. Soit h1.h \neq-1. Écrire l’expression g(1+h)g(1)g(1+h)-g(1) sous la forme d’un quotient.
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7
Problème

Soit dd la droite d’équation x+2y2=0x+2 y-2=0 et soient les points A(3;1)\mathrm{A}(-3 \:;-1) et B(12;52)\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{2}\: ; \dfrac{5}{2}\right) dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}). La droite Δ\Delta est parallèle à la droite (AB)(\mathrm{AB}) et passe par le point C(3;1).\mathrm{C}(3\: ; 1).
Déterminer les coordonnées du point d’intersection M\text{M} des droites dd et Δ.\Delta.
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4
Tracer une droite dans un repère

On donne les droites d1d_1 et d2d_2 d’équations respectives 2x3y+3=02 x-3 y+3=0 et y=2x2.y=-2 x-2.
Tracer les droites d1d_1 et d2d_2 dans le repère (O;i,j).(\text{O}; \vec{i}, \vec{j}).

Lancer le module Geogebra

Prérequis

1. Déterminer graphiquement ou algébriquement la pente (le coefficient directeur) d’une droite.
2. Tracer une droite en utilisant différentes méthodes.
3. Simplifier des expressions littérales.
4. Connaître le vocabulaire sur les fonctions.
5. Connaître les fonctions de référence.

Pour les exercices
1
à
4


Soit (O;i,j)(\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan.

Anecdote

À propos des fonctions continues mais non dérivables, le mathématicien français Charles Hermite écrit dans une lettre à Thomas Stieltjes en 1893 : « Je me détourne avec horreur et effroi de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont pas de dérivées ».
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2
Déterminer algébriquement un coefficient directeur

On donne les points A(3;2),B(1;1),C(3;1)\text{A}(3\:; 2), \text{B}(-1\:; 1), \text{C}(3\:; 1) et D(3;3).\text{D}(-3\:; 3).
Calculer les coefficients directeurs, s’ils existent, des droites (AB),(AC),(BC)(\mathrm{AB}),(\mathrm{AC}),(\mathrm{BC}) et (BD).(\mathrm{BD}).
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1
Déterminer graphiquement une pente

On a tracé quatre droites d1,d2,d3d_{1}, d_{2}, d_{3} et d4.d_{4}.

Dérivation

Pour chacune des droites d1,d_1, d2,d_2, d3 d_3 et d4,d_4 , déterminer graphiquement sa pente si cela est possible.

Capacités attendues - chapitre 4

1. Calculer un taux de variation et faire le lien avec la pente d’une sécante à une courbe.
2. Déterminer graphiquement un nombre dérivé et l’interpréter.
3. Construire la tangente en un point à une courbe et en déterminer une équation.
4. Déterminer la fonction dérivée des fonctions de référence et celle d‘une fonction à l’aide des opérations sur les dérivées.


Le 16 septembre 2018, le Kényan Eliud Kipchoge a terminé le Marathon de Berlin en 2 h 01 min 39 s, soit une vitesse moyenne d’environ 20,81 km·h-1. Mais ce n’est pas la vitesse à laquelle il a couru à chaque instant, appelée vitesse instantanée et définie à l’aide des fonctions dérivées.
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