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Chapitre 4
Applications directes
Exercices d'applications directes
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19
Soit f une fonction définie sur \R et dérivable en 2. Soit h un réel non nul. Le nombre dérivé de f en 2 est égal à -1 .Peut-on écrire que \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} { \dfrac{f(2+h)-f(h)}{h}=-1} ?
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20
\mathcal{C}_f est la courbe représentative d'une fonction f dérivable sur \R . \mathrm{T}_{\mathrm{A}} est la tangente à \mathcal{C}_f en \text{A.}
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1. Lire graphiquement le nombre dérivé de f en -1 .
2. Déterminer une équation de la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}}.
2. Déterminer une équation de la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}}.
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Pour chacune des affirmations suivantes,
indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier.
1. « La fonction dérivée de la fonction cube est une fonction affine. »
2. « La fonction inverse et la fonction racine carrée ont le même nombre dérivé en 1. »
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Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-2\} par f(x)=\dfrac{1}{x+2}. Soit h \neq 0 et h \neq-3.
1. Montrer que le taux de variation de f entre 1 et 1 + h est égal à \dfrac{-1}{3(3+h)}.
2. En déduire que f est dérivable en 1 et calculer f^{\prime}(1).
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On donne la courbe représentative \mathcal{C}_f d'une fonction f dérivable en a dans un repère et sa tangente \text{T} au point \text{A} d'abscisse a.
Déterminer f^{\prime}(a) par lecture graphique et donner une équation de \text{T.}
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a=-1 et \mathrm{A}(-1\:; -1).
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a=1 et \mathrm{A}(1\:; 2).
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Dans chaque cas, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} de courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère. Déterminer une équation de la tangente \text{T} à \mathcal{C}_f au point d'abscisse a .
1. f(x)=x^{3} et a=-2.
2. f(x)=\dfrac{1}{x} et a=-1.
3. f(x)=\sqrt{x} et a=2.
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Soit f une fonction définie sur un ensemble \text{I.}
Préciser son ensemble de dérivabilité \text{D}_{f'} et déterminer sa dérivée f'.
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1. f(x)=x^{3}+x^{2}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f(x)=x^{3}-x^{2}-x-1\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
3. f(x)=\sqrt{x}+x\:; \mathrm{I}=[0\: ;+\infty[
4. f(x)=x^{2}-\dfrac{1}{x}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}
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1. f(x)=3 x^{2}-4 x+3\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f(x)=-4 x^{4}+3 x^{3}-2 x^{2}+x\:; \mathrm{1}=\mathbb{R}
3. f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x-4\:; 1=\mathbb{R}
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1. f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{2\}
2. f(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}-1}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-1\: ; 1\}
3. f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1} ; \mathrm{I}=] 1\:;+\infty[
4. f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{\sqrt{x}}\:; \mathrm{I}=]0\: ;+\infty[
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28
1. f(x)=\dfrac{1}{x}\left(x^{3}-1\right)\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}
2. f(x)=x^{2}(\sqrt{x}+1)\:; \mathrm{I}=[0\: ;+\infty[
3. f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
4. f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} ; \mathrm{I}=] 0\: ;+\infty[
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30
1. f(x)=(3 x+1)^{3}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f(x)=(1-2 x)^{4}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f(x)=(1-2 x)^{4}\:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
3. f(x)=\sqrt{2 x+1}\:; \mathrm{I}=[\dfrac{-1}{2}\: ;+\infty[
4. f(x)=\sqrt{2-3 x}\: ; \mathrm{I}=]-\infty\:; \dfrac{2}{3} ]
4. f(x)=\sqrt{2-3 x}\: ; \mathrm{I}=]-\infty\:; \dfrac{2}{3} ]
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