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Évolution d’une population de bactéries
P.118

TRAVAILLER ENSEMBLE


Évolution d’une population de bactéries





On étudie le nombre de bactéries dans une solution pendant deux heures. La fonction f,f , définie sur [0;2],[0\: ; 2], associe au temps tt exprimé en heure, le nombre de bactéries f(t)f(t) exprimé en million.
On admet que f(t)=5t3+15t2+1.f(t)=-5 t^{3}+15 t^{2}+1.
Dans un repère, on a tracé la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de ff et ses tangentes respectives T\text{T} et T\text{T}' en A\text{A} d’abscisse 1,51{,}5 et en B\text{B} d’abscisse 2.2. T\text{T} passe par les points J(0;1)\mathrm{J}(0\:; 1) et K(3;34,75).\mathrm{K}(3\:; 34{,}75).
On admet que T\text{T}' est parallèle à l’axe des abscisses.

Question préliminaire :
1. Comment semble évoluer le nombre de bactéries ?

2. Déterminer, à l’aide de coordonnées, f(1,5)f^{\prime}(1{,}5) et f(2).f^{\prime}(2).

Évolution d’une population de bactéries

Remarque

Si les équations du second degré n’ont pas encore été travaillées, on pourra résoudre graphiquement certaines équations à l’aide de la calculatrice.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ☆☆

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La vitesse d’augmentation du nombre de bactéries à l’instant tt se calcule par f(t).f^{\prime}(t).

1. Déterminer l’ensemble de dérivabilité de ff et calculer f(t). f^{\prime}(t).


2. Vérifier les résultats trouvés à la question préliminaire 2.


3. La vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est-elle constante ? Expliquer.

PARTIE 2 ★★★

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On s’intéresse à certaines tangentes à la courbe Cf.\mathcal{C}_f.
On admet que T\text{T} a pour équation y=11,25t+1.y=11{,}25 t+1.

1. Existe-t-il un point de Cf\mathcal{C}_f autre que A\text{A} pour lequel la tangente est parallèle à T ?\text{T ?} Si oui, préciser ses coordonnées.


2. Comment ce résultat peut-il être interprété par rapport à l’évolution du nombre de bactéries ?

PARTIE 3 ★★

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On étudie la position de Cf\mathcal{C}_f par rapport à une de ses tangentes.

1. Déterminer une équation de la tangente Δ\Delta à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 1.1.


2. Conjecturer, à la calculatrice, la position de Cf\mathcal{C}_f par rapport à Δ.\Delta .

PARTIE 4 ☆☆

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On considère la fonction gg définie sur R\R par g(t)=5(t1)3.g(t)=-5(t-1)^{3}.

1. Résoudre l’équation g(t)=0g(t)=0


2. a. Rappeler le tableau de signes de la fonction cube sur R.\R .

b. En déduire que, lorsque t<1t \lt 1, alors g(t)>0.g(t)>0.


3. Résoudre sur R\R l’inéquation g(t)<0.g(t)\lt0.

Évolution d’une population de bactéries

Mise en commun

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1. Montrer que, pour tout t[0;2],f(t)(15t4)=5(t1)3.t \in[0\: ; 2], f(t)-(15 t-4)=-5(t-1)^{3}.


2. À l’aide de la partie 4, vérifier la conjecture émise à la question 2. de la partie 3.


3. Quelle interprétation peut-on en faire en utilisant les parties 1 et 2 ?
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