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TP / TICE 2


Méthode d’Euler





Objectif

Résoudre une équation dont l’inconnue est une fonction en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

On veut écrire un programme sous Python qui, pour une valeur de hh saisie par l’utilisateur, calcule les coordonnées (xn;yn)\left(x_{n}\:; y_{n}\right) des points Pn.\text{P}_{n} .

1. Déterminer la valeur de hh pour obtenir 21 points répartis équitablement dans l’intervalle [0;2].[0\:; 2].


2. Écrire une fonction approx\bf{approx} d’arguments yny_n et hh qui retourne la valeur approchée de l’ordonnée du point Pn+1.\text{P}_{n+1}.

3. Écrire une fonction Euler\bf{Euler} d’arguments x0,y0,x_0 , y_0, nb_etapes et hh qui retourne les abscisses xix_i et les ordonnées yiy_i des points cherchés.



Énoncé

On veut résoudre l’équation (E):f(x)=1(f(x))2(\mathrm{E}) : f^{\prime}(x)=1-(f(x))^{2}ff est une fonction définie et dérivable sur [0;1][0\:; 1] telle que f(0)=0.f(0)=0. On admet que la solution cherchée est unique. On ne connaît pas l’expression de ff mais on peut construire sa courbe représentative.
Pour cela, on va construire une approximation de la courbe de ff par des segments de droites obtenus grâce aux tangentes à la courbe de f.f. On choisit un pas h>0h > 0 et on construit une suite de points Pn(xn;yn)\mathrm{P}_{n}\left(x_{n}\: ; y_{n}\right) approchant les points Mn\mathbf{M}_{n} d’abscisse xnx_n de Cf.C_f .
Soit h>0.h > 0. On pose x0=0x_{0}=0 et pour tout nN,xn+1=xn+hn \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_{n}+h et yn=f(xn).y_{n}=f\left(x_{n}\right).

Questions préliminaires :
1. Déterminer y0.y_0.


2. Exprimer x1x_1 en fonction de hh puis x2x_2 en fonction de h.h .


3. Justifier que f(xn+1)f(xn)f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_{n}\right) est proche de hf(xn)h f^{\prime}\left(x_{n}\right) lorsque hh est proche de 0.0.


4. Même si cela reste une approximation, on écrira f(xn+1)=f(xn)+hf(xn).f\left(x_{n+1}\right)=f\left(x_{n}\right)+h f^{\prime}\left(x_{n}\right).
Démontrer alors que y1=hy_{1}=h et y2=h3+2h.y_{2}=-h^{3}+2 h.

Pour aller plus loin


Dans le film Les figures de l’ombre se déroulant dans les années 1960, le personnage principal Katherine Johnson, mathématicienne pour la NASA, utilise la méthode d’Euler pour calculer la trajectoire d’une capsule spatiale qui doit revenir sur Terre.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

À l’aide d’une feuille de calcul, on construit un tableau donnant les valeurs de xnx_n et yny_nnn est un entier naturel de 00 à 10.10. On entre la valeur 00 dans les cellules B2 et C2 et la valeur de hh dans lacellule D2. On choisit h=0,1.h = 0{,}1.

1. Quelle formule doit-on entrer en B3 et en C3 pour les recopier vers le bas ?


2. Représenter la suite de points Pn.\text{P}_{n}.
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