Synthèse - Objectif BAC





99
DÉMO
[Raisonner.]
Soient deux fonctions uu et vv définies et dérivables sur un intervalle I\text{I} de R\R telles que la fonction vv ne s’annule pas sur I\text{I}.
On considère les fonctions ff et gg définies sur I\text{I} par f(x)=1v(x)f(x)=\dfrac{1}{v(x)} et g(x)=u(x)v(x).g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}.
1. À l’aide d’un taux de variation, démontrer que la fonction ff est dérivable sur I\text{I} de dérivée ff' définie par f(x)=v(x)(v(x))2f^{\prime}(x)=\dfrac{-v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}

2. En utilisant la dérivée d’un produit et la question 1., démontrer que la fonction gg est dérivable sur I\text{I} de dérivée gg' définie par g(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)(v(x))2.g^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x) \times v(x)-u(x) \times v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}.

101
[Chercher.]
Problème ouvert : Soit ff une fonction polynôme du second degré définie sur R.\R. On appelle Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) du plan. On sait que Cf\mathcal{C}_f passe par le point A\text{A} d’abscisse 11 de l’axe des abscisses et par le point B\text{B} d’ordonnée 33 de l’axe des ordonnées. Le coefficient directeur de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 11 est égal à 5.-5 .
Déterminer la forme développée de f(x)f(x) pour xR.x \in \mathbb{R}.

103
EN ÉCONOMIE
[Modéliser.]
Une entreprise fabrique des articles de luxe dont le coût mensuel de production pour une quantité de qq dizaines d’objets s’exprime, en euro, par la fonction définie par C(q)=15q3120q2+350q+1000\mathrm{C}(q)=15 q^{3}-120 q^{2}+350 q+1\:000 avec q>0.q>0.
Quand la quantité d’objets est très importante, on admet que le coût marginal est la dérivée C(q).\mathrm{C}^{\prime}(q).

1. Calculer le coût marginal Cm(q)=C(q+1)C(q).\mathrm{C}_{m}(q)=\mathrm{C}(q+1)-\mathrm{C}(q).

2. Calculer C(q).\mathrm{C}^{\prime}(q).

3. On étudie l’erreur commise en assimilant le coût marginal Cm(q)\mathrm{C}_{m}(q) à la dérivée C(q).\mathrm{C}^{\prime}(q).
a. Calculer E(q)=C(q)Cm(q).\mathrm{E}(q)=\mathrm{C}^{\prime}(q)-\mathrm{C}_{m}(q).

b. Déterminer le nombre minimal d’objets à fabriquer pour que l’erreur commise soit inférieure à 1 %.

100
[Chercher.] ◉◉◉
On se propose de démontrer que deux fonctions uu et u+k,u + k ,kk est une constante réelle, ont la même dérivée.
Soit uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} de R\R. On note vv la fonction définie sur I\text{I} par v(x)=u(x)+kv(x)=u(x)+kkk est un réel fixé.

1. Démontrer que vv est dérivable sur I\text{I} et que, pour tout xI,v(x)=u(x).x \in \mathrm{I}, v^{\prime}(x)=u^{\prime}(x).

2. La dérivée d’une fonction ff définie et dérivable sur R\R est la fonction gg définie sur R\R par g(x)=3x2+x1.g(x)=3 x^{2}+x-1. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer l’expression de f(x)f(x) sachant que f(1)=1.f(1)=-1.

Club de Maths


105
PYTHON

On donne la première ligne d’un programme écrit avec Python.

python-105

1. Que contient la variable liste\bf{liste} ?

2. Écrire une fonction Python notée ff avec xx en argument qui retourne l’image f(x).f(x).

3. Compléter la fonction suivante pour qu’elle retourne les coefficients directeurs des sécantes (AM)(\mathrm{AM}) pour hh dans liste_h\bf{liste\_h}.

liste = [10**i for i in range(0, -6, -1)]
def secante(a, liste_h):
	f_a = f(a)
  coefficients = [... for h in ...]
  return coefficients

106
PYTHON

Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes (AM)(\mathrm{AM}) à Cf,\mathcal{C}_f, en initialisant au préalable la liste des coefficients pour qu’elle soit de taille nb_pas.\bf{nb\_pas}.

def f(x)
	return(...)
def secante_2(a, list_h):
	nb_pas = len(liste_h)
  f_a = f(a) #on évite de refaire le calcul
  coefficients = #création tableau de la bonne taille
  for idPas in range(nb_pas):
  	h = ...
    coefficients[idPas] = ...
  return coefficients

107
PYTHON

Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes (AM)(\mathrm{AM}) à Cf,\mathcal{C}_f, en utilisant la méthode append.\bf{append}.

def f(x)
	return(...)
def secante_3(a, liste_h):
	f_a = f(a)
  coefficients = [] # on crée une liste vide
  for h in range liste_h
  	...
    ...
  return coefficients

Consigne commune aux exercices
105
à
107
.

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x3+2x2x+4.f(x)=x^{3}+2 x^{2}-x+4. A\text{A} et M\text{M} sont deux points de la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de ff d’abscisses respectives aa et a+h,a + h ,hh est un réel non nul.

96
DÉMO
[Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=kf(x)=kkk est un réel.
Soit gg la fonction définie sur R\R par g(x)=mx+pg(x)=m x+pmm et pp sont des réels.

1. Démontrer que ff est dérivable sur R\R et que sa fonction dérivée ff' est la fonction constante égale à 0.0 .

2. Démontrer que gg est dérivable sur R\R et que sa fonction dérivée gg' est la fonction constante égale à m.m.

102
[Chercher.]
Dérivation
On considère le triangle ABC\text{ABC} dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). Le point C\text{C} a pour coordonnées (52;4).\left(\dfrac{5}{2}\: ;-4\right). Le but de l’exercice est de déterminer s’il existe une fonction polynôme du troisième degré dont la courbe passe par les points A\text{A} et B\text{B} et dont les tangentes en A\text{A} et en B\text{B} sont respectivement les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (BC).(\mathrm{BC}).

1. Soit f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+da,b,ca , b , c et dd sont quatre réels avec a0.a \neq 0.
a. Exprimer en fonction de a,b,ca , b , c et dd les images f(1)f(1) et f(3).f(3).

b. À l’aide du graphique, en déduire deux équations d’inconnues a,b,ca , b , c et d.d.

2. a. Déterminer la fonction dérivée de ff et exprimer f(1)f^{\prime}(1) et f(3)f^{\prime}(3) en fonction de a,ba , b et c.c .

b. À l’aide du graphique, en déduire deux nouvelles équations d’inconnues a,b,ca , b , c et d.d.

3. Résoudre à la calculatrice le système de quatre équations à quatre inconnues obtenu aux questions précédentes.

4. Conclure.

Démonstration au programme


97
DÉMO
[Raisonner.]
Soient deux fonctions uu et vv définies et dérivables sur un intervalle I\text{I} de R.\R . On considère la fonction ff définie sur I\text{I} par f(x)=u(x)+v(x).f(x)=u(x)+v(x).
À l’aide du taux de variation, démontrer que la fonction ff est dérivable sur I\text{I} de dérivée f(x)f^{\prime}(x) définie par f(x)=u(x)+v(x).f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 38 ; 42 ; 45 ; 57 ; 58 ; 77 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 49 ; 67 ; 73 ; 79 ; 83 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 46 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 90 ; 94 et 100

98
DÉMO
[Raisonner.]
Soient deux fonctions uu et vv définies et dérivables sur un intervalle I\text{I} de R\R et kk un réel.
On considère les fonctions ff et gg définies sur I\text{I} par :
f(x)=u(x)×v(x) et g(x)=k×u(x).f(x)=u(x) \times v(x) \text { et } g(x)=k \times u(x).

1. À l’aide du taux de variation, démontrer que la fonction ff est dérivable sur I\text{I} de dérivée ff' définie par f(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x).f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times v(x)+u(x) \times v^{\prime}(x).

2. En déduire que la fonction gg est dérivable sur I\text{I} de dérivée gg' définie par g(x)=k×u(x).g^{\prime}(x)=k \times u^{\prime}(x).

3. a. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer la dérivée des fonctions u2u^{2} et u3.u^{3}.

b. Conjecturer ce que pourrait être la dérivée de la fonction unu^{n}nn est un entier naturel supérieur ou égal à 2.2 . On ne demande pas de le démontrer.

104
[Chercher.]
Problème ouvert : Une portion d’une piste pour quads est modélisée dans un repère orthogonal par la fonction ff définie sur l’intervalle [3;6][-3\: ; 6] par f(x)=3100x3+320x2.f(x)=\dfrac{3}{100} x^{3}+\dfrac{3}{20} x^{2}.
Un jeune conducteur, téméraire et imprudent, est sorti de la piste et a continué sur sa lancée en suivant une trajectoire rectiligne définie par la tangente à la courbe de f.f .

Dérivation

Sachant qu’il a heurté un poteau, sans se blesser, situé au point de coordonnées (10;15),(10\: ; 15), déterminer une valeur approchée à 10-2 des coordonnées du point où il a quitté la piste.
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