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Chapitre 4
Synthèse
Exercices de Synthèse - Objectif BAC
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96
Démo
[Raisonner.]
Soit la fonction définie sur par où est un réel.
Soit la fonction définie sur par où et sont des réels. 1. Démontrer que est dérivable sur et que sa fonction dérivée est la fonction constante égale à
2. Démontrer que est dérivable sur et que sa fonction dérivée est la fonction constante égale à
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98
Démo
[Raisonner.]
Soient deux fonctions et définies et dérivables sur un intervalle de et un réel.
On considère les fonctions et définies sur par :
1. À l'aide du taux de variation, démontrer que la fonction est dérivable sur de dérivée définie par
2. En déduire que la fonction est dérivable sur de dérivée définie par
3. a. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer la dérivée des fonctions et
b. Conjecturer ce que pourrait être la dérivée de la fonction où est un entier naturel supérieur ou égal à On ne demande pas de le démontrer.
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97
Démo
[Raisonner.]
Soient deux fonctions et définies et dérivables sur un intervalle de On considère la fonction définie sur par
À l'aide du taux de variation, démontrer que la fonction est dérivable sur de dérivée définie par
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99
Démo
[Raisonner.]
Soient deux fonctions et définies et dérivables sur un intervalle de telles que la fonction ne s'annule pas sur .
On considère les fonctions et définies sur par et 1. À l'aide d'un taux de variation, démontrer que la fonction est dérivable sur de dérivée définie par
2. En utilisant la dérivée d'un produit et la question 1., démontrer que la fonction est dérivable sur de dérivée définie par
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100
[Chercher.] On se propose de démontrer que deux fonctions et où est une constante réelle, ont la même dérivée.
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle de . On note la fonction définie sur par où est un réel fixé. 1. Démontrer que est dérivable sur et que, pour tout
2. La dérivée d'une fonction définie et dérivable sur est la fonction définie sur par En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer l'expression de sachant que
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101
[Chercher.]
Problème ouvert : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur On appelle sa courbe représentative dans un repère du plan. On sait que passe par le point d'abscisse de l'axe des abscisses et par le point d'ordonnée de l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur de la tangente à au point d'abscisse est égal à
Déterminer la forme développée de pour
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102
[Chercher.]
On considère le triangle dans un repère Le point a pour coordonnées Le but de l'exercice est de déterminer s'il existe une fonction polynôme du troisième degré dont la courbe passe par les points et et dont les tangentes en et en sont respectivement les droites et
1. Soit où et sont quatre réels avec
a. Exprimer en fonction de et les images et
b. À l'aide du graphique, en déduire deux équations d'inconnues et
2. a. Déterminer la fonction dérivée de et exprimer et en fonction de et
b. À l'aide du graphique, en déduire deux nouvelles équations d'inconnues et
3. Résoudre à la calculatrice le système de quatre équations à quatre inconnues obtenu aux questions précédentes.
4. Conclure.
a. Exprimer en fonction de et les images et
b. À l'aide du graphique, en déduire deux équations d'inconnues et
2. a. Déterminer la fonction dérivée de et exprimer et en fonction de et
b. À l'aide du graphique, en déduire deux nouvelles équations d'inconnues et
3. Résoudre à la calculatrice le système de quatre équations à quatre inconnues obtenu aux questions précédentes.
4. Conclure.
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103
En économie
[Modéliser.]
Une entreprise fabrique des articles de luxe dont le coût mensuel de production pour une quantité de dizaines d'objets s'exprime, en euro, par la fonction définie par avec
Quand la quantité d'objets est très importante, on admet que le coût marginal est la dérivée 1. Calculer le coût marginal
2. Calculer
3. On étudie l'erreur commise en assimilant le coût marginal à la dérivée
a. Calculer
b. Déterminer le nombre minimal d'objets à fabriquer pour que l'erreur commise soit inférieure à 1 %.
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104
[Chercher.]
Problème ouvert : Une portion d'une piste pour quads est modélisée dans un repère orthogonal par la fonction définie sur l'intervalle par
Un jeune conducteur, téméraire et imprudent, est sorti de la piste et a continué sur sa lancée en suivant une trajectoire rectiligne définie par la tangente à la courbe de
Sachant qu'il a heurté un poteau, sans se blesser, situé au point de coordonnées déterminer une valeur approchée à 10-2 des coordonnées du point où il a quitté la piste.
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Club de Maths
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Soit la fonction définie sur par et sont deux points de la courbe représentative de d'abscisses respectives et où est un réel non nul.
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105
Python
On donne la première ligne d'un programme écrit avec Python.
1. Que contient la variable ?
2. Écrire une fonction Python notée avec en argument qui retourne l'image
2. Écrire une fonction Python notée avec en argument qui retourne l'image
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3. Compléter la fonction suivante pour qu'elle retourne les coefficients directeurs des sécantes
pour dans .
liste = [10**i for i in range(0, -6, -1)] def secante(a, liste_h): f_a = f(a) coefficients = [... for h in ...] return coefficients
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106
Python
Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes à en initialisant au préalable la liste des coefficients pour qu'elle soit de taille
def f(x)
return(...)
def secante_2(a, list_h):
nb_pas = len(liste_h)
f_a = f(a) #on évite de refaire le calcul
coefficients = #création tableau de la bonne taille
for idPas in range(nb_pas):
h = ...
coefficients[idPas] = ...
return coefficients
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107
Python
Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes à en utilisant la méthode
def f(x)
return(...)
def secante_3(a, liste_h):
f_a = f(a)
coefficients = [] # on crée une liste vide
for h in range liste_h
...
...
return coefficients
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