Parcours 1 : exercices

38 ;

42 ;

45 ;

57 ;

58 ;

77

et

80

Parcours 2 : exercices

48 ;

49 ;

67 ;

73 ;

79 ;

83

et

84

Parcours 3 : exercices

43 ;

46 ;

55 ;

59 ;

64 ;

70 ;

90 ;

94

et

100

96

Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=k où k est un réel.
Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=m x+p où m et p sont des réels. 1. Démontrer que f est dérivable sur \R et que sa fonction dérivée f' est la fonction constante égale à 0 .

2. Démontrer que g est dérivable sur \R et que sa fonction dérivée g' est la fonction constante égale à m.

98

Démo

[Raisonner.]
Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R et k un réel.
On considère les fonctions f et g définies sur \text{I} par :
f(x)=u(x) \times v(x) \text { et } g(x)=k \times u(x). 1. À l'aide du taux de variation, démontrer que la fonction f est dérivable sur \text{I} de dérivée f' définie par f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \times v(x)+u(x) \times v^{\prime}(x).

2. En déduire que la fonction g est dérivable sur \text{I} de dérivée g' définie par g^{\prime}(x)=k \times u^{\prime}(x).

3. a. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer la dérivée des fonctions u^{2} et u^{3}.

b. Conjecturer ce que pourrait être la dérivée de la fonction u^{n} où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On ne demande pas de le démontrer.

99

Démo

[Raisonner.]
Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R telles que la fonction v ne s'annule pas sur \text{I}.
On considère les fonctions f et g définies sur \text{I} par f(x)=\dfrac{1}{v(x)} et g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}. 1. À l'aide d'un taux de variation, démontrer que la fonction f est dérivable sur \text{I} de dérivée f' définie par f^{\prime}(x)=\dfrac{-v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}

2. En utilisant la dérivée d'un produit et la question 1., démontrer que la fonction g est dérivable sur \text{I} de dérivée g' définie par g^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x) \times v(x)-u(x) \times v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}.

100

[Chercher.]
On se propose de démontrer que deux fonctions u et u + k , où k est une constante réelle, ont la même dérivée.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} de \R. On note v la fonction définie sur \text{I} par v(x)=u(x)+k où k est un réel fixé. 1. Démontrer que v est dérivable sur \text{I} et que, pour tout x \in \mathrm{I}, v^{\prime}(x)=u^{\prime}(x).

2. La dérivée d'une fonction f définie et dérivable sur \R est la fonction g définie sur \R par g(x)=3 x^{2}+x-1. En utilisant le résultat démontré à la question 1., déterminer l'expression de f(x) sachant que f(1)=-1.

101

[Chercher.]
Problème ouvert : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur \R. On appelle \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) du plan. On sait que \mathcal{C}_f passe par le point \text{A} d'abscisse 1 de l'axe des abscisses et par le point \text{B} d'ordonnée 3 de l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 est égal à -5 .
Déterminer la forme développée de f(x) pour x \in \mathbb{R}.

103

En économie

[Modéliser.]
Une entreprise fabrique des articles de luxe dont le coût mensuel de production pour une quantité de q dizaines d'objets s'exprime, en euro, par la fonction définie par \mathrm{C}(q)=15 q^{3}-120 q^{2}+350 q+1\:000 avec q>0.
Quand la quantité d'objets est très importante, on admet que le coût marginal est la dérivée \mathrm{C}^{\prime}(q). 1. Calculer le coût marginal \mathrm{C}_{m}(q)=\mathrm{C}(q+1)-\mathrm{C}(q).

2. Calculer \mathrm{C}^{\prime}(q).

3. On étudie l'erreur commise en assimilant le coût marginal \mathrm{C}_{m}(q) à la dérivée \mathrm{C}^{\prime}(q).
a. Calculer \mathrm{E}(q)=\mathrm{C}^{\prime}(q)-\mathrm{C}_{m}(q).

b. Déterminer le nombre minimal d'objets à fabriquer pour que l'erreur commise soit inférieure à 1 %.

104

[Chercher.]
Problème ouvert : Une portion d'une piste pour quads est modélisée dans un repère orthogonal par la fonction f définie sur l'intervalle [-3\: ; 6] par f(x)=\dfrac{3}{100} x^{3}+\dfrac{3}{20} x^{2}.
Un jeune conducteur, téméraire et imprudent, est sorti de la piste et a continué sur sa lancée en suivant une trajectoire rectiligne définie par la tangente à la courbe de f .


Sachant qu'il a heurté un poteau, sans se blesser, situé au point de coordonnées (10\: ; 15), déterminer une valeur approchée à 10^-2 des coordonnées du point où il a quitté la piste.

106

Python

Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes (\mathrm{AM}) à \mathcal{C}_f, en initialisant au préalable la liste des coefficients pour qu'elle soit de taille \bf{nb\_pas}.

def f(x)
	return(...)
def secante_2(a, list_h):
	nb_pas = len(liste_h)
  f_a = f(a) #on évite de refaire le calcul
  coefficients = #création tableau de la bonne taille
  for idPas in range(nb_pas):
  	h = ...
    coefficients[idPas] = ...
  return coefficients

107

Python

Compléter la fonction suivante sous Python, qui retourne les coefficients des sécantes (\mathrm{AM}) à \mathcal{C}_f, en utilisant la méthode \bf{append}.

def f(x)
	return(...)
def secante_3(a, liste_h):
	f_a = f(a)
  coefficients = [] # on crée une liste vide
  for h in range liste_h
  	...
    ...
  return coefficients