COURS 2


2
Équation de tangente





DÉMONSTRATION

La tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point A\text{A} d’abscisse aa de Cf\mathcal{C}_f a pour équation y=f(a)x+py=f^{\prime}(a) x+p car, par définition, f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette droite.
Il faut maintenant déterminer p.p . Comme le point A(a;f(a))\mathrm{A}(a\: ; f(a)) appartient à TA,\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, ses coordonnées vérifient l’équation réduite de TA.\mathrm{T}_{\mathrm{A}}.
On a donc f(a)=f(a)×a+p,f(a)=f^{\prime}(a) \times a+p, , soit p=f(a)f(a)×a.p=f(a)-f^{\prime}(a) \times a.
En remplaçant cette valeur dans l’équation réduite de TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} et en factorisant par f(a),f^{\prime}(a), on obtient bien y=f(a)(xa)+f(a).y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).

Équation de tangente

LOGIQUE

Le nombre dérivé de ff en aa est unique donc la tangente à sa courbe en A\text{A} est également unique.

Remarque

La forme générale d’une équation cartésienne d’une droite est ax+by+c=0.ax + by + c = 0 .

Démonstration au programme


Propriété

Soit ff une fonction dérivable en a.a .
L’équation réduite de la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} à la courbe de ff au point d’abscisse aa est :
y=f(a)(xa)+f(a).y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).

Exemple

Soit ff une fonction telle que f(1)=2f(1)=2 et f(1)=13.f^{\prime}(1)=\dfrac{1}{3}.
La tangente T\text{T} à la courbe de ff au point d’abscisse 11 a donc pour équation réduite y=f(1)(x1)+f(1).y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1). C’est-à-dire y=13(x1)+2y=13x13+2y=13x+53.y=\dfrac{1}{3}(x-1)+2 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x-\dfrac{1}{3}+2 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{5}{3}.
On peut également écrire le résultat sous la forme d’une équation cartésienne :
x3y+5=0x-3 y+5=0

Application et méthode

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x3x2+x1.f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1.
En remarquant que, pour tout xR,f(x)=(x1)(x2+1): x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-1)\left(x^{2}+1\right):
1. déterminer la tangente T\text{T} à la courbe représentative de ff au point d’abscisse 1;1\:;
2. en déduire les coordonnées du point d’intersection de T\text{T} avec l’axe des ordonnées.

SOLUTION

1. On commence par calculer f(1).f^{\prime}(1).
Soit h0.h \neq 0.
D’une part, f(1+h)=(1+h1)((1+h)2+1)=h(1+2h+h2+1)=h(h2+2h+2)f(1+h)=(1+h-1)\left((1+h)^{2}+1\right)=h\left(1+2 h+h^{2}+1\right)=h\left(h^{2}+2 h+2\right)
et, d'autre part, f(1)=0.f(1)=0.
Donc : τ(h)=f(1+h)f(1)h=h(h2+2h+2)h=h2+2h+2.\tau(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h\left(h^{2}+2 h+2\right)}{h}=h^{2}+2 h+2.
Quand hh se rapproche de 0,τ(h)0, \tau(h) se rapproche de 22 donc ff est dérivable en 11 et f(1)=2.f^{\prime}(1)=2.
T\text{T} a pour équation : y=f(1)(x1)+f(1)y=2(x1),y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1) \Leftrightarrow y=2(x-1), soit : y=2x2.y=2 x-2.

2. Si x=0,x = 0 , alors y=2×02=2.y=2 \times 0-2=-2.
T\text{T} coupe l’axe des ordonnées au point B\text{B} de coordonnées (0;2).(0\:;-2).

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 119 et 56 p. 123

Méthode

  • On calcule f(1).f(1).
  • On détermine f(1)f^{\prime}(1) avec le taux de variation.
  • On utilise l’équation réduite de la tangente y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) avec a=1.a=1.
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