Équation de tangente

La tangente ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}$ au point $\text{A}$ d'abscisse $a$ de ${\mathcal{C}}_f$ a pour équation $y=f^{\prime }(a)x+p$ car, par définition, $f^{\prime }(a)$ est le coefficient directeur de cette droite.
Il faut maintenant déterminer $p.$ Comme le point $\mathrm{A}(a;f(a))$ appartient à ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}},$ ses coordonnées vérifient l'équation réduite de ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}.$
On a donc $f(a)=f^{\prime }(a)\times a+p,$ , soit $p=f(a)-f^{\prime }(a)\times a.$
En remplaçant cette valeur dans l'équation réduite de ${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}$ et en factorisant par $f^{\prime }(a),$ on obtient bien $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a).$

Soit $f$ une fonction telle que $f(1)=2$ et $f^{\prime }(1)=\frac{1}{3}.$
La tangente $\text{T}$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ a donc pour équation réduite $y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1).$ C'est-à-dire $y=\frac{1}{3}(x-1)+2\iff y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+2\iff y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}.$
On peut également écrire le résultat sous la forme d'une équation cartésienne :
$x-3y+5=0$

La forme générale d'une équation cartésienne d'une droite est $ax+by+c=0.$