TP / TICE 1


Méthode de Newton




Histoire des maths

La méthode des fluxions, et les suites infinies
La méthode des fluxions, et les suites infinies

L’équation de ce TP a été étudiée par Isaac Newton dans son livre La méthode des fluxions, et les suites infinies (1736).
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
PYTHON

On veut écrire un programme sous Python qui retourne sous forme de liste les différentes valeurs x0,x1,,xnx_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} pour une valeur de x0x_0 et une valeur de nn données.

1. Écrire sous Python deux fonctions, l’une qui retourne f(x)f(x) et l’autre qui retourne f(x).f^{\prime}(x).

2. Compléter la fonction newton\bf{newton} qui calcule x0,x1,...,xnx_0 , x_1 , ... , x_n pour une valeur de x0x_0 et une valeur de nn données.

3. Comment utiliser la fonction affichage\bf{affichage} avec la fonction newton pour qu’elle affiche les cinq premières valeurs approchées de la solution de l’équation f(x)=0?f(x)=0\:?
def f(x):
  return(...)
  
def f_prime(x):
  return(...)

def newton(x_0, nb_etapes):
  valeurs = [0]*(nb_etapes + 1) #de 0 à nb_etapes
  valeur[0] = ...
  for idValeur in range(... , ...):
    x = ...
    valeurs[idValeur] = x - ...
    
return(valeurs)

def affichage(liste):
  n = len(liste) #nombre d'éléments dans la liste
  for idValeur in range(n):
  print("x_{} = {}".format(idValer, liste[idValeur]))

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

Lancer le module Geogebra

Soit aa un réel de R\R et A\text{A} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse aa. On admet que la tangente T\text{T} à Cf\mathcal{C}_f en A\text{A} n’est pas parallèle à l’axe des abscisses.

1. Vérifier que le point d’intersection M\text{M} de T\text{T} avec l’axe des abscisses a pour abscisse af(a)f(a).a-\dfrac{f(a)}{f^{\prime}(a)}.


2. À l’aide d’un tableur, construire un tableau donnant les indices i,i , les abscisses xix_i des points Ai,\text{A}_i, les ordonnées yiy_i des points Ai\text{A}_i et les nombres dérivés f(xi)f^{\prime}(x_{i}) : on entre 1,51{,}5 en B2. Quelles formules faut-il entrer en C2, D2 et B3 ?


Méthode de Newton

3. Recopier les formules vers le bas et donner une valeur arrondie à 10-7 de α.\alpha. À son époque, Newton avait trouvé 2,094 551 48.

Méthode de Newton

Énoncé

Soit f,f , la fonction définie sur R\R par f(x)=x32x5.f(x)=x^{3}-2 x-5.
On appelle Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff dans un repère (O;i,j).(\text{O}; \vec{i}, \vec{j}).
On admet que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α.\alpha .

Objectif

Obtenir des valeurs approchées de α\alpha en utilisant une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Lancer le module Geogebra

1. Conjecturer à quel intervalle d’amplitude 0,50{,}5 appartient α.\alpha .


2. À l’aide de GeoGebra, construire Cf,\mathcal{C}_f , le point A0\mathrm{A}_{0} d’abscisse 32\dfrac{3}{2} de Cf\mathcal{C}_f et tracer la tangente T0\mathrm{T}_{0} à Cf\mathcal{C}_f en A0.\mathrm{A}_{0}. Elle coupe l’axe des abscisses en un point M0.\mathrm{M}_{0}.

3. A1\text{A}_{1} est le point de Cf\mathcal{C}_f de même abscisse que M0\mathrm{M}_{0} et on construit M1\mathrm{M}_{1} suivant le même procédé.

4. Déterminer une valeur arrondie à 10-1 des abscisses respectives x0,x1 x_0 , x_1 et x2x_2 de M0,M1\mathrm{M}_{0}, \mathrm{M}_{1} et M2.\mathrm{M}_{2}.


5. Donner une valeur approchée de α\alpha à 10110^{-1} près.
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