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TP / TICE 1


Méthode de Newton





Méthode de Newton

Énoncé

Soit f,f , la fonction définie sur R\R par f(x)=x32x5.f(x)=x^{3}-2 x-5.
On appelle Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff dans un repère (O;i,j).(\text{O}; \vec{i}, \vec{j}).
On admet que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α.\alpha .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Lancer le module Geogebra

1. Conjecturer à quel intervalle d’amplitude 0,50{,}5 appartient α.\alpha .


2. À l’aide de GeoGebra, construire Cf,\mathcal{C}_f , le point A0\mathrm{A}_{0} d’abscisse 32\dfrac{3}{2} de Cf\mathcal{C}_f et tracer la tangente T0\mathrm{T}_{0} à Cf\mathcal{C}_f en A0.\mathrm{A}_{0}. Elle coupe l’axe des abscisses en un point M0.\mathrm{M}_{0}.

3. A1\text{A}_{1} est le point de Cf\mathcal{C}_f de même abscisse que M0\mathrm{M}_{0} et on construit M1\mathrm{M}_{1} suivant le même procédé.

4. Déterminer une valeur arrondie à 10-1 des abscisses respectives x0,x1 x_0 , x_1 et x2x_2 de M0,M1\mathrm{M}_{0}, \mathrm{M}_{1} et M2.\mathrm{M}_{2}.


5. Donner une valeur approchée de α\alpha à 10110^{-1} près.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
PYTHON

On veut écrire un programme sous Python qui retourne sous forme de liste les différentes valeurs x0,x1,,xnx_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} pour une valeur de x0x_0 et une valeur de nn données.

1. Écrire sous Python deux fonctions, l’une qui retourne f(x)f(x) et l’autre qui retourne f(x).f^{\prime}(x).

2. Compléter la fonction newton\bf{newton} qui calcule x0,x1,...,xnx_0 , x_1 , ... , x_n pour une valeur de x0x_0 et une valeur de nn données.

3. Comment utiliser la fonction affichage\bf{affichage} avec la fonction newton pour qu’elle affiche les cinq premières valeurs approchées de la solution de l’équation f(x)=0?f(x)=0\:?
def f(x):
  return(...)

def f_prime(x):
  return(...)

def newton(x_0, nb_etapes):
  valeurs = [0]*(nb_etapes + 1) #de 0 à nb_etapes
  valeur[0] = ...
  for idValeur in range(... , ...):
    x = ...
    valeurs[idValeur] = x - ...
  return(valeurs)

def affichage(liste):
  n = len(liste) #nombre d'éléments dans la liste
  for idValeur in range(n):
    print("x_{} = {}".format(idValer, liste[idValeur]))
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

Lancer le module Geogebra

Soit aa un réel de R\R et A\text{A} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse aa. On admet que la tangente T\text{T} à Cf\mathcal{C}_f en A\text{A} n’est pas parallèle à l’axe des abscisses.

1. Vérifier que le point d’intersection M\text{M} de T\text{T} avec l’axe des abscisses a pour abscisse af(a)f(a).a-\dfrac{f(a)}{f^{\prime}(a)}.


2. À l’aide d’un tableur, construire un tableau donnant les indices i,i , les abscisses xix_i des points Ai,\text{A}_i, les ordonnées yiy_i des points Ai\text{A}_i et les nombres dérivés f(xi)f^{\prime}(x_{i}) : on entre 1,51{,}5 en B2. Quelles formules faut-il entrer en C2, D2 et B3 ?


Méthode de Newton

3. Recopier les formules vers le bas et donner une valeur arrondie à 10-7 de α.\alpha. À son époque, Newton avait trouvé 2,094 551 48.

Objectif

Obtenir des valeurs approchées de α\alpha en utilisant une des trois méthodes.

Histoire des maths

La méthode des fluxions, et les suites infinies
La méthode des fluxions, et les suites infinies

L’équation de ce TP a été étudiée par Isaac Newton dans son livre La méthode des fluxions, et les suites infinies (1736).
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