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COURS 1


1
Nombre dérivé et tangente




ff est une fonction définie sur un intervalle I\text{I} de R\R et on note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère du plan.
aa est un réel appartenant à I\text{I} et on note A\text{A} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse a.a .

A
Nombre dérivé et taux de variation

Soient hh un réel non nul tel que a+hIa+h \in \mathrm{I} et H\text{H} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse a+h.a + h .
En particulier : aa+h.a \neq a+h .

Définition

Le nombre τ(h)=f(a+h)f(a)h\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} est appelé taux de variation de ff entre aa et a+h.a + h .
Sur la figure ci-contre, le point A\text{A} a pour coordonnées (a;f(a))(a\: ; f(a)) et le point H\text{H} a pour coordonnées (a+h;f(a+h)).(a+h\: ; f(a+h)).
Le coefficient directeur de la droite (AH)(\mathrm{AH}) est donc : f(a+h)f(a)a+ha;\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}; autrement dit, le coefficient directeur est τ(h).\tau(h). Le nombre τ(h)\tau(h) dépend de a.a.

Nombre dérivé et taux de variation

NOTATION

Le taux de variation s’appelle également le taux d’accroissement entre aa et a+h.a + h .

Que se passe-t-il lorsque H\text{H} se rapproche de plus en plus du point A ;\text{A ;} autrement dit, lorsque hh devient de plus en plus proche de 00 ?

Définition

On dit que ff est dérivable en aa lorsque τ(h)\tau(h) tend vers un nombre réel quand hh prend des valeurs proches de 0.0. Ce réel est appelé nombre dérivé de ff en aa et est noté f(a).f^{\prime}(a). On écrit alors : f(a)=limh0f(a+h)f(a)h.f^{\prime}(a) = \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} { \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}.

NOTATION

Quand hh est proche de 0,0, on dit que « hh tend vers 00 ».
Calculer τ(h)\tau(h) dans ces conditions revient à chercher la limite de τ(h)\tau(h) notée limh0τ(h)\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} { \tau(h)} si elle existe.

Exemple

1. Soit une fonction affine f:xmx+p.f : x \mapsto m x+p.
Alors f(a)=ma+bf(a)=m a+b et f(a+h)=m(a+h)+b=ma+mh+b.f(a+h)=m(a+h)+b=m a+m h+b.
Ainsi, pour tout h0h \neq 0, τ(h)=f(a+h)f(a)h=ma+mh+b(ma+b)h=mhh=m.\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{m a+m h+b-(m a+b)}{h}=\dfrac{m h}{h}=m.

2. Soit ff définie sur R\R par f(x)=x2.f(x)=x^{2}.
Pour h0h \neq 0 et a=0,a = 0 , τ(h)=f(0+h)f(0)h=h2h=h.\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^{2}}{h}=h.
limh0τ(h)=0\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} { \tau(h)=0} donc ff est dérivable en 00 et f(0)=0.f^{\prime}(0)=0.

3. Soit g,g , la fonction définie sur R\R par g(x)=x.g(x)=|x|.
Pour h0h \neq 0 et a=0,a = 0 , τ(h)=g(0+h)g(0)h=h0h=hh.\tau(h)=\dfrac{g(0+h)-g(0)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{|h|}{h}.
Pour h>0:τ(h)=hh=1h>0: \tau(h)=\dfrac{h}{h}=1 donc limh0+τ(h)=1.\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0^+} { \tau(h)}=1.
Pour h<0:τ(h)=hh=1h\lt 0 : \tau(h)=\dfrac{-h}{h}=-1 donc limh0τ(h)=1.\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0^-} { \tau(h)}=-1.
On obtient deux limites différentes pour τ(h)\tau(h) quand hh tend vers 0,0, donc gg n’est pas dérivable en 0.0.

Remarque

  • h0+h \rightarrow 0^{+} signifie h0h \rightarrow 0 et h>0.h>0.
  • h0h \rightarrow 0^{-} signifie h0h \rightarrow 0 et h<0.h\lt0.

Application et méthode

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\R par f(x)=13x+1.f(x)=\dfrac{-1}{3} x+1.
1. Soit hh un réel non nul. Calculer f(3+h)f(3+h) et f(3).f(3).
2. Montrer que ff est dérivable en 33 et déterminer le nombre dérivé de ff en 3.3.

Méthode

  • On calcule le taux de variation (ou taux d’accroissement) de la fonction entre aa et a+h.a + h .
  • On simplifie l’expression au maximum.
  • On fait tendre hh vers 00 pour trouver le nombre dérivé : on remplace hh par 00 dans l’expression lorsque c’est possible.

SOLUTION

1. f(3+h)=3+h3+1=3h+33=h3.f(3+h)=-\dfrac{3+h}{3}+1=\dfrac{-3-h+3}{3}=-\dfrac{h}{3}.
f(3)=33+1=0.f(3)=-\dfrac{3}{3}+1=0.
2. Soit h0.h \neq 0. τ(h)=f(3+h)f(3)h=h30h=13\tau(h)=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{-\dfrac{h}{3}-0}{h}=\dfrac{-1}{3} donc limh0τ(h)=13.\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} { \tau(h) = \dfrac{-1}{3}}.
Ce qui prouve que ff est dérivable en 33 et le nombre dérivé de ff en 33 est égal à f(3)=13.f^{\prime}(3)=\dfrac{-1}{3}.

Pour s'entraîner : exercices 22 p. 119 ; 38 et 39 p. 120

B
Tangente à une courbe


Définition

Lorsque ff est dérivable en a,a , on appelle tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse aa la droite T\text{T} passant par A(a;f(a))\mathrm{A}(a\: ; f(a)) dont le coefficient directeur est le nombre dérivé f(a).f^{\prime}(a).

Tangente à une courbe

Remarque

On peut obtenir une équation cartésienne de la tangente à CfC_f au point d’abscisse aa à partir de son équation réduite.

Remarque

Si f(a)=0f^{\prime}(a)=0 alors la tangente à CfC_f au point d’abscisse aa est parallèle à l’axe des abscisses : elle est horizontale.

La tangente à CfC_f au point A\text{A} est la position limite de la droite (AH)(\mathrm{AH}) lorsque le point H\text{H} se rapproche de plus en plus du point A\text{A} et hh se rapproche de plus en plus de 0.0.
Tangente à une courbe
    
Tangente à une courbe

Exemples

1. On donne la courbe d’une fonction ff dérivable en 33 dont on a tracé la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point A\text{A} d’abscisse 3.3.
Par lecture graphique : f(3)=2.f^{\prime}(3)=2.

Tangente à une courbe

2. On a tracé la courbe de la fonction racine carrée sur ]0;11]] 0\:; 11 ] ainsi que certaines de ces tangentes.
Par lecture graphique, avec la formule y1y2x1x2:f(1)=12\dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} : f^{\prime}(1)=\dfrac{1}{2} et f(9)=16.f^{\prime}(9)=\dfrac{1}{6}.

Tangente à une courbe

NOTATION

Il arrive que la tangente en un point soit représentée par une double flèche autour de ce point pour éviter de tracer toute la droite.

Application et méthode

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[ ] 0\: ;+\infty[ par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} dont on a tracé la courbe représentative Cf.\mathcal{C}_f. La droite (AB)(\mathrm{AB}) est la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point A\text{A} d’abscisse 2.2.
Déterminer graphiquement f(2).f^{\prime}(2).

Tangente à une courbe

Méthode

Pour lire graphiquement le nombre dérivé de ff en a,a , on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse aa ou on le calcule avec la formule yByAxBxA\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}} avec (AB)(\mathrm{AB}) tangente en A\text{A} à la courbe de f.f .


SOLUTION

Par définition, f(2)f^{\prime}(2) est le coefficient directeur de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 2,2, c’est-à-dire celui de la droite (AB).(\mathrm{AB}).
On a A(2;12)\mathrm{A}\left(2\:; \dfrac{1}{2}\right) et B(4;0)\mathrm{B}(4\:; 0) donc f(2)=yByAxBxA=01242=14.f^{\prime}(2)=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\dfrac{0-\dfrac{1}{2}}{4-2}=\dfrac{-1}{4}.

Pour s'entraîner : exercices 23 et 24 p. 119
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