f est une fonction définie sur un intervalle \text{I} de \R et on note \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère du plan. a est un réel appartenant à \text{I} et on note \text{A} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a .

Soient h un réel non nul tel que a+h \in \mathrm{I} et \text{H} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a + h . En particulier : a \neq a+h .

1. Soit une fonction affine f : x \mapsto m x+p.
Alors f(a)=m a+b et f(a+h)=m(a+h)+b=m a+m h+b.
Ainsi, pour tout h \neq 0, \tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{m a+m h+b-(m a+b)}{h}=\dfrac{m h}{h}=m.

2. Soit f définie sur \R par f(x)=x^{2}.
Pour h \neq 0 et a = 0 , \tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^{2}}{h}=h.
\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} { \tau(h)=0} donc f est dérivable en 0 et f^{\prime}(0)=0.

3. Soit g , la fonction définie sur \R par g(x)=|x|.
Pour h \neq 0 et a = 0 , \tau(h)=\dfrac{g(0+h)-g(0)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{|h|}{h}.
Pour h>0: \tau(h)=\dfrac{h}{h}=1 donc \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0^+} { \tau(h)}=1.
Pour h\lt 0 : \tau(h)=\dfrac{-h}{h}=-1 donc \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0^-} { \tau(h)}=-1.
On obtient deux limites différentes pour \tau(h) quand h tend vers 0, donc g n'est pas dérivable en 0.

• h \rightarrow 0^{+} signifie h \rightarrow 0 et h>0.
• h \rightarrow 0^{-} signifie h \rightarrow 0 et h\lt0.

On considère la fonction f définie sur \R par f(x)=\dfrac{-1}{3} x+1. 1. Soit h un réel non nul. Calculer f(3+h) et f(3). 2. Montrer que f est dérivable en 3 et déterminer le nombre dérivé de f en 3.

La tangente à C_f au point \text{A} est la position limite de la droite (\mathrm{AH}) lorsque le point \text{H} se rapproche de plus en plus du point \text{A} et h se rapproche de plus en plus de 0.

Il arrive que la tangente en un point soit représentée par une double flèche autour de ce point pour éviter de tracer toute la droite.