Nombre dérivé et tangente

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ de $\mathbb{R}$ et on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan. $a$ est un réel appartenant à $\text{I}$ et on note $\text{A}$ le point de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $a.$

Soient $h$ un réel non nul tel que $a+h\in \mathrm{I}$ et $\text{H}$ le point de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $a+h.$ En particulier : $a\ne a+h.$

1. Soit une fonction affine $f:x\mapsto mx+p.$
Alors $f(a)=ma+b$ et $f(a+h)=m(a+h)+b=ma+mh+b.$
Ainsi, pour tout $h\ne 0$, $\tau (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{ma+mh+b-(ma+b)}{h}=\frac{mh}{h}=m.$

2. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2.$
Pour $h\ne 0$ et $a=0,$ $\tau (h)=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h^2}{h}=h.$
$\underset{h\to 0}{\lim }\tau (h)=0$ donc $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\prime }(0)=0.$

3. Soit $g,$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=|x|.$
Pour $h\ne 0$ et $a=0,$ $\tau (h)=\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{|h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}.$
Pour $h>0:\tau (h)=\frac{h}{h}=1$ donc $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\tau (h)=1.$
Pour $h<0:\tau (h)=\frac{-h}{h}=-1$ donc $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\tau (h)=-1.$
On obtient deux limites différentes pour $\tau (h)$ quand $h$ tend vers $0,$ donc $g$ n'est pas dérivable en $0.$

• $h\to 0^{+}$ signifie $h\to 0$ et $h>0.$
• $h\to 0^{-}$ signifie $h\to 0$ et $h<0.$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-1}{3}x+1.$ 1. Soit $h$ un réel non nul. Calculer $f(3+h)$ et $f(3).$ 2. Montrer que $f$ est dérivable en $3$ et déterminer le nombre dérivé de $f$ en $3.$

La tangente à $C_f$ au point $\text{A}$ est la position limite de la droite $(\mathrm{AH})$ lorsque le point $\text{H}$ se rapproche de plus en plus du point $\text{A}$ et $h$ se rapproche de plus en plus de $0.$

Il arrive que la tangente en un point soit représentée par une double flèche autour de ce point pour éviter de tracer toute la droite.