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38
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{2}.1. Soit h un réel non nul.
Exprimer f(1+h)-f(1) en fonction de h .
2. Montrer que f est dérivable en 1 et donner la valeur du nombre dérivé de f en 1.
3. Vérifier le résultat à la calculatrice.
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39
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=-x^{2}+x.1. Soit h un réel non nul. Exprimer f(2+h)-f(2) en fonction de h .
2. Montrer que f est dérivable en 2 et donner la valeur du nombre dérivé de f en 2.
3. Vérifier le résultat à la calculatrice.
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40
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}.1. Vérifier que pour tous réels a et b\:: (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.
2. Soit h un réel non nul.
Exprimer le quotient \dfrac{(2+h)^{3}-2^{3}}{h} en fonction de h .
3. En déduire que f est dérivable en 2 et calculer f^{\prime}(2).
4. Vérifier le résultat à la calculatrice.
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41
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\dfrac{1}{x}.1. a. Soit h un réel non nul.
Vérifier que f(1+h)-f(1)=-\dfrac{h}{1+h}.
b. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f^{\prime}(1).
2. Montrer que f est dérivable en 2 et calculer f^{\prime}(2).
3. Vérifier les résultats à la calculatrice.
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42
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=5 x-3.
Démontrer que f est dérivable en -1 et calculer f^{\prime}(-1).
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43
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur ]-\infty\: ; 2[\cup] 2 \:;+\infty[ par f(x)=\dfrac{x+1}{2-x}.
Démontrer que f est dérivable en 3 et calculer f^{\prime}(3).
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44
[Chercher.]
Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-2\: ; 4] dont on donne la représentation graphique \mathcal{C}_{f} dans un repère (\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}). Les droites \text{T}_\text{A} et \text{T}_\text{B} sont les tangentes respectives en \text{A} et en \text{B} à \mathcal{C}_{f}.
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1. Par lecture graphique, déterminer la valeur du nombre dérivé de f en 0 .
2. Déterminer f^{\prime}(3) graphiquement.
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45
[Chercher.]
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-6\: ; 1]. Soit \mathcal{C}_{f} sa représentation graphique dans un repère (\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}). On a également tracé trois tangentes d_{1}, d_{2} et d_{3} à \mathcal{C}_{f} respectivement en \text{A} d'abscisse \dfrac{-5}{2}, en \text{B} d'abscisse –4 et en \text{O.} On
admet que d_{1} est parallèle à l'axe des abscisses.
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Déterminer graphiquement les nombres dérivés de f
en x_{1}=-4, en x_{2}=\dfrac{-5}{2} et en x_{3}=0.
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46
[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x^{2}-2 x+1. Soit a un réel. À l'aide du taux de variation de f en a , justifier que f est dérivable en a et exprimer f^{\prime}(a) en fonction de a .
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Pour les exercices
47
à
50
On considère une fonction f définie et dérivable
sur un intervalle \text{I} et de représentation graphique
\mathcal{C}_f dans un repère (\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}) La droite \text{T} est la tangente à \mathcal{C}_f au point \text{A} d'abscisse a .
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47
[Chercher.]
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On donne \mathrm{I}=[-1 \:; 4] et a=2.
Déterminer graphiquement f^{\prime}(a).
Aide
Graphiquement, f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de \text{T.}
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48
[Chercher.]
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On donne \mathrm{I}=[-3\: ; 1] et a=-1. Sachant que \text{T} passe par \text{A} et par le point \text{B}(2\: ;-1), calculer f^{\prime}(a) .
Aide
Le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}) peut se calculer à partir des coordonnées de \text{A} et \text{B} .
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49
[Chercher.]
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On donne I=[-3\: ; 3] et a=1. Sachant que \text{T} passe par le point \text{A}\left(1\: ;\dfrac{-3}{2}\right) et par le point \mathrm{B}\left(-1\: ; \dfrac{5}{2}\right), calculer f^{\prime}(a).
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50
[Chercher.]
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On donne \mathrm{I}=\left[-2\: ; \dfrac{1}{2}\right] et a=0. Sachant que \text{T} passe par \text{A} et par le point \mathrm{B}\left(\dfrac{1}{2}\: ; 2\right), calculer f^{\prime}(a).
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51
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « Pour tout réel h \neq 0, on suppose que le taux de
variation d'une fonction f entre -1 et -1 + h est égal à h^{2}-3 h+2. Alors f est dérivable en -1 et le nombre
dérivé de f en -1 est égal à 2. »
2. « Pour tout réel h \neq 0 et strictement supérieur à -1 , on suppose que le taux de variation d'une fonction f entre 1 et 1 + h est égal à \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}. Alors f est dérivable en 1 et f^{\prime}(1)=1 .»
3. « Pour tout réel h non nul et différent de -1 , on suppose que la différence f(2+h)-f(2) est égale à \dfrac{-3 h}{1+h}. Alors f est dérivable en 2 et f^{\prime}(2)=0. »
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52
[Représenter.]
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-3\: ; 3] dont on donne le tableau de valeurs suivant :
x
-3
-2
0
\dfrac{3}{2}
3
f(x)
-2
0
2
0
-4
f'(x)
0
2
0
\dfrac{-5}{2}
0
Tracer une courbe représentative possible pour la fonction f dans le repère suivant.
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53
[Représenter.]
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0\: ; 4] telle que : f(0)=f(2)=f(4)=1, f(1)=f(3)=-1
et f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=f^{\prime}(2)=f^{\prime}(3)=f^{\prime}(4)=0.
Tracer une courbe représentative possible pour la fonction f dans un repère (\text{O} ; \text{I} , \text{J}).
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54
Démo
[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur ] 0\: ;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x}.
Soient deux réels a>0 et h \neq 0 tels que a+h>0.1. Déterminer f(a+h)-f(a) en fonction de h .
2. En déduire l'expression du taux de variation \tau(h) de f en a .
3. Que peut-on dire de \tau(h) lorsque h devient de plus en plus proche de 0 ?
4. Justifier alors que f est dérivable sur ] 0\: ;+\infty[ et exprimer f^{\prime}(a).
5. Justifier alors que f est dérivable sur ]-\infty \: ; 0[ et exprimer f^{\prime}(a) lorsque a est un réel strictement négatif.
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55
Démo
[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur [0\: ;+\infty[
par f(x)=\sqrt{x}.1. Soit h un réel non nul. À l'aide d'une identité remarquable, développer et simplifier l'expression (\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2}).
1, exprimer le taux de variation de f en 2 en fonction de h .
3. En déduire que f est dérivable en 2 et donner la
valeur de f^{\prime}(2).
4. De manière analogue, démontrer que f est dérivable en tout réel a strictement positif et exprimer f^{\prime}(a) en fonction de a avec a+h>0.
5. Justifier que f n'est pas dérivable en 0 .
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