Nombre dérivé et tangente

38

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2.$ 1. Soit $h$ un réel non nul.
Exprimer $f(1+h)-f(1)$ en fonction de $h.$

2. Montrer que $f$ est dérivable en $1$ et donner la valeur du nombre dérivé de $f$ en $1.$

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

39

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+x.$ 1. Soit $h$ un réel non nul. Exprimer $f(2+h)-f(2)$ en fonction de $h.$

2. Montrer que $f$ est dérivable en $2$ et donner la valeur du nombre dérivé de $f$ en $2.$

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

40

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3.$ 1. Vérifier que pour tous réels $a$ et $b:$
$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3.$

2. Soit $h$ un réel non nul.
Exprimer le quotient $\frac{(2+h{)}^3-2^3}{h}$ en fonction de $h.$

3. En déduire que $f$ est dérivable en $2$ et calculer $f^{\prime }(2).$

4. Vérifier le résultat à la calculatrice.

41

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=\frac{1}{x}.$ 1. a. Soit $h$ un réel non nul.
Vérifier que $f(1+h)-f(1)=-\frac{h}{1+h}.$

b. Montrer que $f$ est dérivable en $1$ et calculer $f^{\prime }(1).$

2. Montrer que $f$ est dérivable en $2$ et calculer $f^{\prime }(2).$

3. Vérifier les résultats à la calculatrice.

42

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x-3.$

Démontrer que $f$ est dérivable en $-1$ et calculer $f^{\prime }(-1).$

43

[Calculer.]

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;2[\cup ]2;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x+1}{2-x}.$
Démontrer que $f$ est dérivable en $3$ et calculer $f^{\prime }(3).$

44

[Chercher.]
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-2;4]$ dont on donne la représentation graphique ${\mathcal{C}}_f$ dans un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ Les droites ${\text{T}}_{\text{A}}$ et ${\text{T}}_{\text{B}}$ sont les tangentes respectives en $\text{A}$ et en $\text{B}$ à ${\mathcal{C}}_f.$

1. Par lecture graphique, déterminer la valeur du nombre dérivé de $f$ en $0.$

2. Déterminer $f^{\prime }(3)$ graphiquement.

45

[Chercher.]
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;1].$ Soit ${\mathcal{C}}_f$ sa représentation graphique dans un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ On a également tracé trois tangentes $d_1,d_2$ et $d_3$ à ${\mathcal{C}}_f$ respectivement en $\text{A}$ d'abscisse $\frac{-5}{2},$ en $\text{B}$ d'abscisse $–4$ et en $\text{O.}$ On admet que $d_1$ est parallèle à l'axe des abscisses.


Déterminer graphiquement les nombres dérivés de $f$ en $x_1=-4$, en $x_2=\frac{-5}{2}$ et en $x_3=0.$

47

[Chercher.]

On donne $\mathrm{I}=[-1;4]$ et $a=2.$
Déterminer graphiquement $f^{\prime }(a).$

Aide

Graphiquement, $f^{\prime }(a)$ est le coefficient directeur de $\text{T.}$

48

[Chercher.]

On donne $\mathrm{I}=[-3;1]$ et $a=-1.$ Sachant que $\text{T}$ passe par $\text{A}$ et par le point $\text{B}(2;-1),$ calculer $f^{\prime }(a).$

Aide

Le coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AB})$ peut se calculer à partir des coordonnées de $\text{A}$ et $\text{B}$ .

49

[Chercher.]

On donne $I=[-3;3]$ et $a=1.$ Sachant que $\text{T}$ passe par le point $\text{A}\left(1;\frac{-3}{2}\right)$ et par le point $\mathrm{B}\left(-1;\frac{5}{2}\right),$ calculer $f^{\prime }(a).$

50

[Chercher.]

On donne $\mathrm{I}=\left[-2;\frac{1}{2}\right]$ et $a=0.$ Sachant que $\text{T}$ passe par $\text{A}$ et par le point $\mathrm{B}\left(\frac{1}{2};2\right),$ calculer $f^{\prime }(a).$

54

Démo

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x}.$
Soient deux réels $a>0$ et $h\ne 0$ tels que $a+h>0.$ 1. Déterminer $f(a+h)-f(a)$ en fonction de $h.$

2. En déduire l'expression du taux de variation $\tau (h)$ de $f$ en $a.$

3. Que peut-on dire de $\tau (h)$ lorsque $h$ devient de plus en plus proche de $0$ ?

4. Justifier alors que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et exprimer $f^{\prime }(a).$

5. Justifier alors que $f$ est dérivable sur $]-\infty ;0[$ et exprimer $f^{\prime }(a)$ lorsque $a$ est un réel strictement négatif.

55

Démo

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{x}.$ 1. Soit $h$ un réel non nul. À l'aide d'une identité remarquable, développer et simplifier l'expression $(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2}).$

1, exprimer le taux de variation de $f$ en $2$ en fonction de $h.$

3. En déduire que $f$ est dérivable en $2$ et donner la valeur de $f^{\prime }(2).$

4. De manière analogue, démontrer que $f$ est dérivable en tout réel $a$ strictement positif et exprimer $f^{\prime }(a)$ en fonction de $a$ avec $a+h>0.$

5. Justifier que $f$ n'est pas dérivable en $0.$