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Entrainement 1


Nombre dérivé et tangente





51
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. « Pour tout réel h0h \neq 0, on suppose que le taux de variation d’une fonction ff entre 1-1 et 1+h-1 + h est égal à h23h+2.h^{2}-3 h+2. Alors ff est dérivable en 1-1 et le nombre dérivé de ff en 1-1 est égal à 22. »

2. « Pour tout réel h0h \neq 0 et strictement supérieur à 1-1 , on suppose que le taux de variation d’une fonction ff entre 11 et 1+h1 + h est égal à 11+h+1\dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}. Alors ff est dérivable en 11 et f(1)=1.f^{\prime}(1)=1 .»

3. « Pour tout réel hh non nul et différent de 1,-1 , on suppose que la différence f(2+h)f(2)f(2+h)-f(2) est égale à 3h1+h.\dfrac{-3 h}{1+h}. Alors ff est dérivable en 22 et f(2)=0.f^{\prime}(2)=0. »

45
[Chercher.] ◉◉
On considère une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [6;1].[-6\: ; 1]. Soit Cf\mathcal{C}_{f} sa représentation graphique dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}). On a également tracé trois tangentes d1,d2d_{1}, d_{2} et d3d_{3} à Cf\mathcal{C}_{f} respectivement en A\text{A} d’abscisse 52,\dfrac{-5}{2}, en B\text{B} d’abscisse 4–4 et en O.\text{O.} On admet que d1d_{1} est parallèle à l’axe des abscisses.

Nombre dérivé et tangente

Déterminer graphiquement les nombres dérivés de ff en x1=4x_{1}=-4, en x2=52x_{2}=\dfrac{-5}{2} et en x3=0.x_{3}=0.

53
[Représenter.]
On considère une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [0;4][0\: ; 4] telle que :
f(0)=f(2)=f(4)=1,f(1)=f(3)=1f(0)=f(2)=f(4)=1, f(1)=f(3)=-1 et
f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0.f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=f^{\prime}(2)=f^{\prime}(3)=f^{\prime}(4)=0.
Tracer une courbe représentative possible pour la fonction ff dans un repère (O;I,J).(\text{O} ; \text{I} , \text{J}).

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Pour les exercices
47
à
50


On considère une fonction ff définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} et de représentation graphique Cf\mathcal{C}_f dans un repère (O;i,j)(\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}) La droite T\text{T} est la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point A\text{A} d’abscisse a.a .

40
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x3.f(x)=x^{3}.

1. Vérifier que pour tous réels aa et b:b\::
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.

2. Soit hh un réel non nul.
Exprimer le quotient (2+h)323h\dfrac{(2+h)^{3}-2^{3}}{h} en fonction de h.h .

3. En déduire que ff est dérivable en 22 et calculer f(2).f^{\prime}(2).

4. Vérifier le résultat à la calculatrice.

Démonstration au programme


38
[Calculer.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2.f(x)=x^{2}.

1. Soit hh un réel non nul.
Exprimer f(1+h)f(1)f(1+h)-f(1) en fonction de h.h .

2. Montrer que ff est dérivable en 11 et donner la valeur du nombre dérivé de ff en 1.1.

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

55
[Raisonner.] ◉◉◉
DÉMO

Soit ff la fonction définie sur [0;+[[0\: ;+\infty[ par f(x)=x. f(x)=\sqrt{x}.

1. Soit hh un réel non nul. À l’aide d’une identité remarquable, développer et simplifier l’expression (2+h2)(2+h+2).(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2}).

2. À l’aide de la question 1, exprimer le taux de variation de ff en 22 en fonction de h.h .

3. En déduire que ff est dérivable en 22 et donner la valeur de f(2).f^{\prime}(2).

4. De manière analogue, démontrer que ff est dérivable en tout réel aa strictement positif et exprimer f(a)f^{\prime}(a) en fonction de aa avec a+h>0.a+h>0.

5. Justifier que ff n’est pas dérivable en 0.0 .

Démonstration au programme


52
[Représenter.]
On considère une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [3;3][-3\: ; 3] dont on donne le tableau de valeurs suivant :

 xx 3-3 2-2 00 32\dfrac{3}{2} 33
 f(x)f(x) 2-2 00 22 00 4-4
 f(x)f'(x) 00 22 00 52\dfrac{-5}{2} 00

Tracer une courbe représentative possible pour la fonction ff dans le repère suivant.

Nombre dérivé et tangente

43
[Calculer.] ◉◉◉

Soit ff la fonction définie sur ];2[]2;+[]-\infty\: ; 2[\cup] 2 \:;+\infty[ par f(x)=x+12x.f(x)=\dfrac{x+1}{2-x}.
Démontrer que ff est dérivable en 33 et calculer f(3).f^{\prime}(3).

49
[Chercher.] ◉◉
Nombre dérivé et tangente

On donne I=[3;3]I=[-3\: ; 3] et a=1.a=1. Sachant que T\text{T} passe par le point A(1;32)\text{A}\left(1\: ;\dfrac{-3}{2}\right) et par le point B(1;52),\mathrm{B}\left(-1\: ; \dfrac{5}{2}\right), calculer f(a).f^{\prime}(a).

54
[Raisonner.]
DÉMO

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[] 0\: ;+\infty[ par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}.
Soient deux réels a>0a>0 et h0h \neq 0 tels que a+h>0.a+h>0.
1. Déterminer f(a+h)f(a)f(a+h)-f(a) en fonction de h.h .

2. En déduire l’expression du taux de variation τ(h)\tau(h) de ff en a.a .

3. Que peut-on dire de τ(h)\tau(h) lorsque hh devient de plus en plus proche de 00 ?

4. Justifier alors que ff est dérivable sur ]0;+[] 0\: ;+\infty[ et exprimer f(a).f^{\prime}(a).

5. Justifier alors que ff est dérivable sur ];0[]-\infty \: ; 0[ et exprimer f(a)f^{\prime}(a) lorsque aa est un réel strictement négatif.

46
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x22x+1.f(x)=3 x^{2}-2 x+1. Soit aa un réel. À l’aide du taux de variation de ff en a,a , justifier que ff est dérivable en aa et exprimer f(a)f^{\prime}(a) en fonction de a.a .



42
[Calculer.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=5x3.f(x)=5 x-3.

Démontrer que ff est dérivable en 1-1 et calculer f(1).f^{\prime}(-1).

39
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+x.f(x)=-x^{2}+x.

1. Soit hh un réel non nul. Exprimer f(2+h)f(2)f(2+h)-f(2) en fonction de h.h .

2. Montrer que ff est dérivable en 22 et donner la valeur du nombre dérivé de ff en 2.2.

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

44
[Chercher.]
Soit ff une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [2;4][-2\: ; 4] dont on donne la représentation graphique Cf\mathcal{C}_{f} dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i} ,\vec{j}). Les droites TA\text{T}_\text{A} et TB\text{T}_\text{B} sont les tangentes respectives en A\text{A} et en B\text{B} à Cf.\mathcal{C}_{f}.

Nombre dérivé et tangente

1. Par lecture graphique, déterminer la valeur du nombre dérivé de ff en 0.0 .

2. Déterminer f(3)f^{\prime}(3) graphiquement.

41
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R}^{*} par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}.

1. a. Soit hh un réel non nul.
Vérifier que f(1+h)f(1)=h1+h.f(1+h)-f(1)=-\dfrac{h}{1+h}.

b. Montrer que ff est dérivable en 11 et calculer f(1).f^{\prime}(1).

2. Montrer que ff est dérivable en 22 et calculer f(2).f^{\prime}(2).

3. Vérifier les résultats à la calculatrice.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 38 ; 42 ; 45 ; 57 ; 58 ; 77 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 49 ; 67 ; 73 ; 79 ; 83 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 46 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 90 ; 94 et 100

47
[Chercher.]
Nombre dérivé et tangente

On donne I=[1;4]\mathrm{I}=[-1 \:; 4] et a=2.a=2.
Déterminer graphiquement f(a).f^{\prime}(a).
AIDE
Graphiquement, f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de T.\text{T.}

50
[Chercher.]
Nombre dérivé et tangente
On donne I=[2;12]\mathrm{I}=\left[-2\: ; \dfrac{1}{2}\right] et a=0.a=0. Sachant que T\text{T} passe par A\text{A} et par le point B(12;2),\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{2}\: ; 2\right), calculer f(a).f^{\prime}(a).

48
[Chercher.] ◉◉
Nombre dérivé et tangente

On donne I=[3;1]\mathrm{I}=[-3\: ; 1] et a=1.a=-1. Sachant que T\text{T} passe par A\text{A} et par le point B(2;1),\text{B}(2\: ;-1), calculer f(a).f^{\prime}(a) .
AIDE
Le coefficient directeur de la droite (AB)(\mathrm{AB}) peut se calculer à partir des coordonnées de A\text{A} et B\text{B} .
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