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COURS 3


3
Fonctions dérivées





Définitions

On dit que ff est dérivable sur un intervalle I\text{I} lorsque ff est dérivable en tout réel aa de I.\text{I.} On appelle fonction dérivée de ff la fonction qui, à tout réel xx de I,\text{I}, associe le réel f(x).f'(x). On la note f.f'.

A
Fonctions dérivées des fonctions usuelles


Propriétés

Fonction ff définie par : Ensemble de définition Df\mathrm{D}_{{f}} Fonction dérivée ff' définie par : Ensemble de dérivabilité Df\mathrm{D}_{{f'}}
1. f(x)=k,f(x)=k, avec kRk \in \mathbb{R} R\R f(x)=0f^{\prime}(x)=0 R\R
2. f(x)=mx+p,f(x)=m x+p, avec mm et pp réels R\R f(x)=mf^{\prime}(x)=m R\R
3. f(x)=x2f(x)=x^{2} R\R f(x)=2xf^{\prime}(x)=2 x R\R
4. f(x)=xn,f(x)=x^{n}, avec nN.n \in \mathbb{N}^{*}. R\R f(x)=nxn1f^{\prime}(x)=n x^{n-1} R\R
5. f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} R\{0}\mathbb{R} \backslash\{0\} f(x)=1x2f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{x^{2}} R\{0}\mathbb{R} \backslash\{0\}
6. f(x)=1xnf(x)=\dfrac{1}{x^{n}} avec nNn \in \mathbb{N}^{*} R\{0}\mathbb{R} \backslash\{0\} f(x)=nxn+1f^{\prime}(x)=\dfrac{-n}{x^{n+1}} R\{0}\mathbb{R} \backslash\{0\}
7. f(x)=xf(x)=\sqrt{x} [0;+[[0\: ;+\infty[ f(x)=12xf^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} ]0;+[] 0\: ;+\infty[

NOTATION

Si y=f(x)y=f(x) alors f(x)=dydx;f^{\prime}(x)=\dfrac{d y}{d x} ;

si x=f(t)x=f(t) alors f(t)=dxdt;f^{\prime}(t)=\dfrac{d x}{d t};

si q=f(t)q=f(t) alors f(t)=dqdtf^{\prime}(t)=\dfrac{d q}{d t} etc.

Remarque

Ce tableau contient les fonctions dérivées associées aux fonctions de référence. Il est important de connaître ce tableau par coeur ou de s’y référer aussi souvent que nécessaire.

DÉMONSTRATION

On ne démontre ici que la propriété 4. dans les cas n=2n = 2 (propriété 3.) et n=3.n = 3 .
Soient aRa \in \mathbb{R} et hR.h \in \mathbb{R}^*.
  • Cas n=2:f(x)=x2.n=2\:: f(x)=x^{2}.
    f(a+h)f(a)=(a+h)2a2=a2+2ah+h2a2=h(2a+h).f(a+h)-f(a)=(a+h)^{2}-a^{2}=a^{2}+2 a h+h^{2}-a^{2}=h(2 a+h).
    Donc τ(h)=2a+h\tau(h)=2 a+h qui est proche de 2a2a quand hh est proche de 0.0. Ainsi, pour tout réel x,x, ff est dérivable en xx et f(x)=2x.f^{\prime}(x)=2 x.
  • Cas n=3:f(x)=x3.n=3 : f(x)=x^{3}.
    En développant, on obtient f(a+h)f(a)=h(3a2+3ah+h2)f(a+h)-f(a)=h\left(3 a^{2}+3 a h+h^{2}\right) donc τ(h)=3a2+3ah+h2\tau(h)=3 a^{2}+3 a h+h^{2} qui est proche de 3a23 a^{2} quand hh est proche de 0.0.
    Ainsi, pour tout réel x,fx, f est dérivable en xx et f(x)=3x2.f^{\prime}(x)=3 x^{2}.
Pour les propriétés 1. et 2. voir exercice
96
p. 128.

Remarque

La propriété 3. est un cas particulier de la propriété 4.

Remarque

On pourra s’appuyer sur l’exercice
54
pour démontrer la propriété 5. et l’exercice
55
pour la propriété 7.

Exemple

La fonction gg est définie sur R\R^* par g(x)=1x2.g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
gg est dérivable sur ];0[]-\infty \: ; 0[ et sur ]0;+[] 0\: ;+\infty[ et pour tout x0,x \neq 0, g(x)=2x2+1=2x3.g^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2+1}}=\dfrac{-2}{x^{3}}.

Démonstration au programme

B
Opérations sur les fonctions dérivées

u,vu , v et gg sont des fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.\text{I.}
k,ak , a et bb sont des réels.


Propriétés

Type d’opération Fonction à dériver Fonction dérivée
1. Dérivée d’une somme u+vu+v (u+v)=u+v(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}
2. Dérivée d’un produit par une constante k×uk \times u (k×u)=k×u(k \times u)^{\prime}=k \times u^{\prime}
3. Dérivée d’un produit u×vu \times v (u×v)=u×v+u×v(u \times v)^{\prime}=u^{\prime} \times v+u \times v^{\prime}
4. Dérivée d’un inverse 1v\dfrac{1}{v} avec v(x)0v(x) \neq 0 pour tout xI.x \in \text{I}. (1v)=vv2\left(\dfrac{1}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{-v^{\prime}}{v^{2}}
5. Dérivée d’un quotient uv\dfrac{u}{v} avec v(x)0v(x) \neq 0 pour tout xI.x \in \text{I}. (uv)=u×vu×vv2\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} \times v-u \times v^{\prime}}{v^{2}}
6. Dérivée de f(x)=g(ax+b):f(x)=g(a x+b)\:: soit J\text{J} l’intervalle tel que pour tout xJ,ax+bI.x \in \text{J}, a x+b \in \mathrm{I}.
La fonction ff est définie et dérivable sur J\text{J} et f(x)=a×g(ax+b).f^{\prime}(x)=a \times g^{\prime}(a x+b).

LOGIQUE

(u+v)=u+v(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime} signifie que pour tout xI,(u+v)(x)=u(x)+v(x).x \in \text{I}, (u+v)^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).
De même pour les autres notations.

Remarque

On déduit des propriétés 1. et 3. que les fonctions polynômes sont dérivables sur R.\R.

Remarque

On déduit de la propriété 5. que les fonctions rationnelles, c’est-à-dire les quotients de deux fonctions polynômes, sont dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

DÉMONSTRATION

La propriété 6. est admise. Les autres sont démontrées dans les exercices
97
à
99
de la page 128.

Exemple

1. ff est définie sur R\R par f(x)=4x35x2+2x1.f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+2 x-1.
En tant que fonction polynôme, ff est dérivable sur R\R et, pour tout xR,f(x)=12x210x+2.x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=12 x^{2}-10 x+2.
2. gg est définie sur R\{1}, \mathbb{R} \backslash\{-1\}, par g(x)=4+x2x+1.g(x)=\dfrac{4+x^{2}}{x+1}.
gg est dérivable sur ];1[]-\infty\: ;-1[ et sur ]1;+[]-1\: ;+\infty[ en tant que fonction rationnelle et, pour tout xR\{1},x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}, g(x)=2x(x+1)(4+x2)×1(x+1)2=x2+2x4(x+1)2.g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x(x+1)-\left(4+x^{2}\right) \times 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+2 x-4}{(x+1)^{2}}.

Application et méthode

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur I\text{I} par f(x)=xx+1.f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}.
1. Déterminer l’ensemble I.\text{I.}
2. Justifier que ff est dérivable en précisant l’ensemble de dérivabilité et déterminer sa fonction dérivée.

Méthode

  • ff s’écrit sous la forme uv\dfrac{u}{v} avec u(x)=xu(x)=\sqrt{x} et v(x)=x+1v(x)=x+1
  • On utilise les connaissances sur les fonctions de référence pour déterminer l’ensemble de définition.
  • En général, on applique le cours pour connaître l’ensemble de dérivabilité.
  • On applique la formule (uv)=uvuvv2.\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}.

SOLUTION

1. Le dénominateur s’annule pour x=1x = -1 et le numérateur est défini pour tout x0,x \geqslant 0, donc I=[0;+[. \mathrm{I}=[0\:;+\infty[.
2. La fonction racine carrée est définie sur [0;+[[0\:;+\infty[ mais n’est dérivable que sur J=]0;+[.\mathrm{J}=] 0\: ;+\infty[. ff est donc dérivable sur J\text{J} comme quotient de fonctions définies et dérivables sur J\text{J} dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout x>0,x > 0 , f(x)=12x(x+1)x×1(x+1)2=(x+12x2x)×1(x+1)2f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x} \times 1}{(x+1)^{2}}=\left(\dfrac{x+1-2 x}{2 \sqrt{x}}\right) \times \dfrac{1}{(x+1)^{2}}
d’où f(x)=1x2x(x+1)2.f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{2 \sqrt{x}(x+1)^{2}}.

Pour s'entraîner : exercices 26 à 30 p. 119
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