Fonctions dérivées

Si $y=f(x)$ alors $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx};$

si $x=f(t)$ alors $f^{\prime }(t)=\frac{dx}{dt};$

si $q=f(t)$ alors $f^{\prime }(t)=\frac{dq}{dt}$ etc.

Ce tableau contient les fonctions dérivées associées aux fonctions de référence. Il est important de connaître ce tableau par coeur ou de s'y référer aussi souvent que nécessaire.

La propriété 3. est un cas particulier de la propriété 4.

On ne démontre ici que la propriété 4. dans les cas $n=2$ (propriété 3.) et $n=3.$
Soient $a\in \mathbb{R}$ et $h\in {\mathbb{R}}^{\ast }.$

• Cas $n=2:f(x)=x^2.$
  $f(a+h)-f(a)=(a+h{)}^2-a^2=a^2+2ah+h^2-a^2=h(2a+h).$
  Donc $\tau (h)=2a+h$ qui est proche de $2a$ quand $h$ est proche de $0.$ Ainsi, pour tout réel $x,$ $f$ est dérivable en $x$ et $f^{\prime }(x)=2x.$
• Cas $n=3:f(x)=x^3.$
  En développant, on obtient $f(a+h)-f(a)=h\left(3a^2+3ah+h^2\right)$ donc $\tau (h)=3a^2+3ah+h^2$ qui est proche de $3a^2$ quand $h$ est proche de $0.$
  Ainsi, pour tout réel $x,f$ est dérivable en $x$ et $f^{\prime }(x)=3x^2.$

Pour les propriétés 1. et 2. voir exercice

96

p. 128.

On pourra s'appuyer sur

l'exercice

54

pour démontrer la propriété 5. et

l'exercice

55

pour la propriété 7.

La fonction $g$ est définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $g(x)=\frac{1}{x^2}.$
$g$ est dérivable sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0;+\infty [$ et pour tout $x\ne 0,$ $g^{\prime }(x)=\frac{-2}{x^{2+1}}=\frac{-2}{x^3}.$

$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ signifie que pour tout $x\in \text{I},(u+v{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x).$
De même pour les autres notations.

On déduit des propriétés 1. et 3. que les fonctions polynômes sont dérivables sur $\mathbb{R}.$

On déduit de la propriété 5. que les fonctions rationnelles, c'est-à-dire les quotients de deux fonctions polynômes, sont dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

1. Le dénominateur s'annule pour $x=-1$ et le numérateur est défini pour tout $x⩾0,$ donc $\mathrm{I}=[0;+\infty [.$
2. La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty [$ mais n'est dérivable que sur $\mathrm{J}=]0;+\infty [.$ $f$ est donc dérivable sur $\text{J}$ comme quotient de fonctions définies et dérivables sur $\text{J}$ dont le dénominateur ne s'annule pas.
Pour tout $x>0,$ $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\times 1}{(x+1{)}^2}=\left(\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}\right)\times \frac{1}{(x+1{)}^2}$
d'où $f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1{)}^2}.$

exercices

26

à

30

p. 119

• $f$ s'écrit sous la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=x+1$
• On utilise les connaissances sur les fonctions de référence pour déterminer l'ensemble de définition.
• En général, on applique le cours pour connaître l'ensemble de dérivabilité.
• On applique la formule ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}.$