On dit que f est dérivable sur un intervalle \text{I} lorsque f est dérivable en tout réel a de \text{I.} On appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout réel x de \text{I}, associe le réel f'(x). On la note f'.

Si y=f(x) alors f^{\prime}(x)=\dfrac{d y}{d x} ;

si x=f(t) alors f^{\prime}(t)=\dfrac{d x}{d t};

si q=f(t) alors f^{\prime}(t)=\dfrac{d q}{d t} etc.

Ce tableau contient les fonctions dérivées associées aux fonctions de référence. Il est important de connaître ce tableau par coeur ou de s'y référer aussi souvent que nécessaire.

On ne démontre ici que la propriété 4. dans les cas n = 2 (propriété 3.) et n = 3 .
Soient a \in \mathbb{R} et h \in \mathbb{R}^*.

• Cas n=2\:: f(x)=x^{2}.
  f(a+h)-f(a)=(a+h)^{2}-a^{2}=a^{2}+2 a h+h^{2}-a^{2}=h(2 a+h).
  Donc \tau(h)=2 a+h qui est proche de 2a quand h est proche de 0. Ainsi, pour tout réel x, f est dérivable en x et f^{\prime}(x)=2 x.
• Cas n=3 : f(x)=x^{3}.
  En développant, on obtient f(a+h)-f(a)=h\left(3 a^{2}+3 a h+h^{2}\right) donc \tau(h)=3 a^{2}+3 a h+h^{2} qui est proche de 3 a^{2} quand h est proche de 0.
  Ainsi, pour tout réel x, f est dérivable en x et f^{\prime}(x)=3 x^{2}.

Pour les propriétés 1. et 2. voir exercice

96

p. 128.

La propriété 3. est un cas particulier de la propriété 4.

On pourra s'appuyer sur

l'exercice

54

pour démontrer la propriété 5. et

l'exercice

55

pour la propriété 7.

La fonction g est définie sur \R^* par g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
g est dérivable sur ]-\infty \: ; 0[ et sur ] 0\: ;+\infty[ et pour tout x \neq 0, g^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2+1}}=\dfrac{-2}{x^{3}}.

(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime} signifie que pour tout x \in \text{I}, (u+v)^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).
De même pour les autres notations.

On déduit des propriétés 1. et 3. que les fonctions polynômes sont dérivables sur \R.

On déduit de la propriété 5. que les fonctions rationnelles, c'est-à-dire les quotients de deux fonctions polynômes, sont dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

La propriété 6. est admise. Les autres sont démontrées dans

les exercices

97

à

99

de la page 128.

1. f est définie sur \R par f(x)=4 x^{3}-5 x^{2}+2 x-1.
En tant que fonction polynôme, f est dérivable sur \R et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=12 x^{2}-10 x+2.
2. g est définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}, par g(x)=\dfrac{4+x^{2}}{x+1}.
g est dérivable sur ]-\infty\: ;-1[ et sur ]-1\: ;+\infty[ en tant que fonction rationnelle et, pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}, g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x(x+1)-\left(4+x^{2}\right) \times 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+2 x-4}{(x+1)^{2}}.

Soit f la fonction définie sur \text{I} par f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}.
1. Déterminer l'ensemble \text{I.}
2. Justifier que f est dérivable en précisant l'ensemble de dérivabilité et déterminer sa fonction dérivée.

• f s'écrit sous la forme \dfrac{u}{v} avec u(x)=\sqrt{x} et v(x)=x+1
• On utilise les connaissances sur les fonctions de référence pour déterminer l'ensemble de définition.
• En général, on applique le cours pour connaître l'ensemble de dérivabilité.
• On applique la formule \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}.

1. Le dénominateur s'annule pour x = -1 et le numérateur est défini pour tout x \geqslant 0, donc \mathrm{I}=[0\:;+\infty[.
2. La fonction racine carrée est définie sur [0\:;+\infty[ mais n'est dérivable que sur \mathrm{J}=] 0\: ;+\infty[. f est donc dérivable sur \text{J} comme quotient de fonctions définies et dérivables sur \text{J} dont le dénominateur ne s'annule pas.
Pour tout x > 0 , f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x} \times 1}{(x+1)^{2}}=\left(\dfrac{x+1-2 x}{2 \sqrt{x}}\right) \times \dfrac{1}{(x+1)^{2}}
d'où f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{2 \sqrt{x}(x+1)^{2}}.

exercices

26

à

30

p. 119