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Algèbre
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Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
Annexes
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Chapitre 4
Entrainement 2

Équation de tangente

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
38 ;
42 ;
45 ;
57 ;
58 ;
77
 et
80
Parcours 2 : exercices
48 ;
49 ;
67 ;
73 ;
79 ;
83
 et
84
Parcours 3 : exercices
43 ;
46 ;
55 ;
59 ;
64 ;
70 ;
90 ;
94
 et
100
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Pour les exercices
56
à
71

On se place dans le plan muni d'un repère
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56
 [Chercher.]
On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction définie et dérivable sur et les tangentes , et à la courbe de respectivement aux points et

Équation de tangente
1. Par lecture graphique, déterminer l'équation réduite de

2. Sachant que la droite passe par le point de coordonnées , déterminer son équation réduite.

3. On donne Les tangentes et sont-elles parallèles ? Justifier.
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57
 [Chercher.]

On a tracé la courbe d'une fonction définie et dérivable sur Les droites et sont les tangentes à la courbe de respectivement aux points et

Équation de tangente

Par lecture graphique, déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de
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58
 [Calculer.]

On considère la fonction définie sur par
On admet que est dérivable sur et on donne et
Déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de aux points d'abscisses et
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 [Chercher.]
Soit une fonction définie et dérivable sur Sa courbe représentative passe par les points et
Les nombres dérivés de en , en et en sont respectivement égaux à et On appelle et les tangentes à respectivement en en et en 1. Déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes et

2. Démontrer que les tangentes et sont concourantes et déterminer les coordonnées de leur point de concours.
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59
 [Chercher.]

Soit une fonction définie et dérivable sur
Sa courbe représentative passe par les points et
Les nombres dérivés de en en et en sont respectivement égaux à et On appelle et les tangentes à respectivement en en et en

Équation de tangente
1. Déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes et

2. Les tangentes et sont-elles concourantes ? Justifier.
Aide
On peut commencer par déterminer le point d'intersection de et
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 [Calculer.]
On considère la courbe représentative de la fonction définie par et dérivable sur Soient le point de d'abscisse et la tangente en à la courbe

Équation de tangente

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente

2. Étudier la position relative de la courbe par rapport à sa tangente On pourra éventuellement utiliser la calculatrice pour déterminer le signe d'un trinôme.
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 [Raisonner.]
On considère la fonction définie pour tout par On appelle sa courbe représentative. 1. a. Déterminer et en utilisant un taux de variation.

b. En déduire l'équation réduite de la tangente à aux points d'abscisses et

c. Que remarque-t-on ?

2. Soit un réel non nul. On appelle le point de d'abscisse et son symétrique par rapport à
Démontrer que les tangentes à en et en sont parallèles.
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63
 [Raisonner.]
On considère la fonction définie par et dérivable sur Soient et les tangentes à la courbe représentative de respectivement aux points d'abscisses et 1. a. Déterminer l'équation réduite des tangentes et

b. Quelle est la position relative des deux tangentes et ? Justifier.

2. Ce résultat est-il encore valable pour les tangentes à la courbe de respectivement aux points d'abscisses et où est un réel strictement positif ? Justifier.
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64
 [Raisonner.]

On considère la fonction définie par et dérivable sur Soit un réel. 1. Déterminer, en fonction de , l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse de la courbe de

2. Existe-t-il des valeurs de pour lesquelles la tangente est en dessous de la courbe de ? Si oui, lesquelles ? Justifier la réponse.
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65
 [Raisonner.]
On considère la fonction définie pour tout par Soit un réel non nul. est dérivable pour tout 1. Déterminer, en fonction de , l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse a de la courbe de

2. Déterminer la position relative de la courbe de par rapport à sa tangente
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66
 [Chercher.]
On considère les fonctions et définies par et et dérivables sur On note leur courbe représentative et On appelle le point de coordonnées

Équation de tangente
1. Démontrer que et admettent une tangente commune en

2. Donner l'équation réduite de la tangente et la tracer après avoir reproduit le repère.
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67
Vrai / Faux
[Chercher.]

La fonction est définie et dérivable sur On note sa courbe représentative. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. « Si et alors la tangente à au point est parallèle à l'axe des abscisses. »

2. « Si la droite d'équation est tangente à au point alors »

3. « Si et alors la tangente à au point a pour équation »
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68
 [Chercher.]
On considère les fonctions et définies par et et dérivables sur
On note leur courbe représentative et Soit la tangente à la courbe en

Équation de tangente
1. Déterminer l'équation réduite de la droite

2. Démontrer que est aussi la tangente à la courbe en un point dont on déterminera les coordonnées.
Dans la vie professionnelle

Placeholder pour Rendu 3D: vaisseau Soyouz en orbite terrestre, panneaux solaires déployés.Rendu 3D: vaisseau Soyouz en orbite terrestre, panneaux solaires déployés.

Les astronomes utilisent les tangentes pour modéliser le mouvement des objets célestes. Un objet céleste se déplace sur une orbite elliptique en étant soumis à la gravitation et à une force d'inertie qui dépend de la vitesse linéaire ou tangentielle. On peut ainsi étudier les tangentes communes à deux trajectoires pour prévoir une collision ou programmer l'arrivée d'une sonde sur une comète.
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69
 [Communiquer.]
On considère la fonction définie par et dérivable sur et la droite d'équation
La courbe représentative de admet-elle des tangentes parallèles à la droite Si oui, préciser en quel(s) point(s).
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70
 [Communiquer.]

On considère la fonction définie par et dérivable sur et la droite d'équation
Démontrer que la courbe représentative de admet exactement deux tangentes parallèles à la droite en des points que l'on déterminera.
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71
QCM
 [Chercher.]
On considère la fonction définie et dérivable sur de courbe représentative On donne et La tangente à au point d'abscisse a pour équation Pour chacune des lignes du tableau suivant, choisir la bonne réponse en la justifiant.

 A B C D
1. La tangente à au point a pour équation :
2. Le nombre dérivé de en est égal à  :
3. est égal à  :

1. La tangente à au point a pour équation :

2. Le nombre dérivé de en est égal à  :

3. est égal à  :
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72
 [Raisonner.]
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On dit que la fonction carré est convexe, car sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.
1. Illustrer cette propriété à l'aide d'une figure.

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2. Soit un point de d'abscisse On note la tangente à au point
a. Démontrer, à l'aide du taux de variation, que

b. Donner l'équation réduite de en fonction de

c. À l'aide d'une étude de signe, déterminer la position relative de et sur
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73
En physique
 [Chercher.]

On lance un projectile verticalement vers le haut. Il monte puis descend selon la même droite verticale, soit une trajectoire à une dimension. La hauteur atteinte par le projectile, en fonction du temps en seconde, est décrite dans un repère ci-dessous par une fonction
On a tracé les tangentes à aux points d'abscisses respectifs ; et

Équation de tangente
Placeholder pour Photographie d'entraînement : femme dos caméra lançant un ballon lesté contre un mur blanc.Photographie d'entraînement : femme dos caméra lançant un ballon lesté contre un mur blanc.

La vitesse du projectile à l'instant est donnée, en m·s–1, par la dérivée
Déterminer la vitesse atteinte par le projectile à chacun des instants suivants, en m·s–1, puis en km·h–1 : 1. à

2. à

3. à
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