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Entrainement 2


Équation de tangente





59
[Chercher.] ◉◉◉
Soit une fonction ff définie et dérivable sur R.\R .
Sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_{f} passe par les points A(4;11),B(2;4)\mathrm{A}(-4 ; 11), \mathrm{B}(2 ; 4) et C(6;2)\mathrm{C}(6 ; 2)
Les nombres dérivés de ff en 4,-4 , en 22 et en 66 sont respectivement égaux à 15,15\dfrac{-1}{5}, \dfrac{1}{5} et 12. \dfrac{1}{2}. On appelle TA,TB \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} les tangentes à Cf\mathcal{C}_{f} respectivement en ,\text{A }, en B\text{B} et en C.\text{C.}

Équation de tangente

1. Déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes TA,TB \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC.\mathrm{T}_{\mathrm{C}}.

2. Les tangentes TA,TB \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} sont-elles concourantes ? Justifier.
AIDE
On peut commencer par déterminer le point d’intersection de TA \mathrm{T}_{\mathrm{A}} et TB. \mathrm{T}_{\mathrm{B}}.

56
[Chercher.]
On a tracé ci-dessous la courbe d’une fonction ff définie et dérivable sur R\R et les tangentes TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} , TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} à la courbe de ff respectivement aux points A,\text{A,} B\text{B} et C.\text{C.}

Équation de tangente

1. Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite de TA.\mathrm{T}_{\mathrm{A}}.

2. Sachant que la droite TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} passe par le point de coordonnées (2;294)\left(-2 \:; \dfrac{29}{4}\right), déterminer son équation réduite.

3. On donne f(3)=10112.f^{\prime}(3)=\dfrac{-101}{12}. Les tangentes TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} sont-elles parallèles ? Justifier.

70
[Communiquer.] ◉◉◉
On considère la fonction ff définie par f(x)=x34xf(x)=x^{3}-4 x et dérivable sur R\R et la droite dd d’équation y=x+1.y = -x + 1 .
Démontrer que la courbe représentative de ff admet exactement deux tangentes parallèles à la droite dd en des points que l’on déterminera.

73
EN PHYSIQUE
[Chercher.] ◉◉
On lance un projectile verticalement vers le haut. Il monte puis descend selon la même droite verticale, soit une trajectoire à une dimension. La hauteur atteinte par le projectile, en fonction du temps tt en seconde, est décrite dans un repère (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) ci-dessous par une fonction h.h .
On a tracé les tangentes à Ch\mathcal{C}_h aux points d’abscisses respectifs 00 ; 22 et 4.4 .

Équation de tangente
Équation de tangente - lancer de balle

La vitesse du projectile à l’instant tt est donnée, en m·s–1, par la dérivée h(t).h^{\prime}(t).
Déterminer la vitesse atteinte par le projectile à chacun des instants suivants, en m·s–1, puis en km·h–1 :

1. à t=0; t = 0 ;

2. à t=2; t = 2 ;

3. à t=4. t = 4 .

62
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie pour tout x0x \neq 0 par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}. On appelle Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

1. a. Déterminer f(2)f^{\prime}(-2) et f(2)f^{\prime}(2) en utilisant un taux de variation.

b. En déduire l’équation réduite de la tangente à Cf\mathcal{C}_f aux points d’abscisses 2-2 et 2.2 .

c. Que remarque-t-on ?

2. Soit aa un réel non nul. On appelle A\text{A} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse aa et A\text{A}' son symétrique par rapport à O.\text{O.}
Démontrer que les tangentes à Cf\mathcal{C}_f en A\text{A} et en A\text{A}' sont parallèles.

71
QCM
[Chercher.]
On considère la fonction ff définie et dérivable sur R\R de courbe représentative Cf.\mathcal{C}_f. On donne f(1)=3f(1)=3 et f(1)=3.f^{\prime}(1)=3. La tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 1-1 a pour équation y=x2.y = -x - 2 . Pour chacune des lignes du tableau suivant, choisir la bonne réponse en la justifiant.

 A  B  C  D
1. La tangente à Cf\mathcal{C}_f au point A(1;3)\mathrm{A}(1\:; 3) a pour équation : y=3x+3y = 3x + 3 y=3x+1y = 3x + 1 y=3xy = 3x y=3y = 3
2. Le nombre dérivé de ff en 1-1 est égal à  : 2-2 1-1 00 33
3. f(1) f(-1) est égal à  : 1-1 33 00 11

1.

2.

3.

65
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie pour tout x0x \neq 0 par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}. Soit aa un réel non nul. ff est dérivable pour tout x0.x \neq 0.

1. Déterminer, en fonction de aa , l’équation réduite de la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point d’abscisse a de la courbe de f.f .

2. Déterminer la position relative de la courbe de ff par rapport à sa tangente TA.\mathrm{T}_{\mathrm{A}}.

64
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère la fonction ff définie par f(x)=x2+2x8f(x)=x^{2}+2 x-8 et dérivable sur R.\R . Soit aa un réel.

1. Déterminer, en fonction de aa, l’équation réduite de la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point d’abscisse aa de la courbe de f.f.

2. Existe-t-il des valeurs de aa pour lesquelles la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} est en dessous de la courbe de ff ? Si oui, lesquelles ? Justifier la réponse.

58
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction ff définie sur R+\R^+ par f(x)=3x.f(x)=3 \sqrt{x}.
On admet que ff est dérivable sur ]0;+[] 0\: ;+\infty[ et on donne f(1)=32f^{\prime}(1)=\dfrac{3}{2} et f(2)=324.f^{\prime}(2)=\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}.
Déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de ff aux points d’abscisses 11 et 2.2 .

66
[Chercher.]
On considère les fonctions ff et gg définies par f(x)=x2+4f(x)=-x^{2}+4 et g(x)=x24x+6g(x)=x^{2}-4 x+6 et dérivables sur R.\mathbb{R} . On note leur courbe représentative Cf\mathcal{C}_f et Cg.\mathcal{C}_g . On appelle A\text{A} le point de coordonnées (1;3).(1\: ; 3).

Équation de tangente

1. Démontrer que Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g admettent une tangente commune T\text{T} en A.\text{A.}

2. Donner l’équation réduite de la tangente T\text{T} et la tracer après avoir reproduit le repère.

Pour les exercices
56
à
71


On se place dans le plan muni d’un repère (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j})

63
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie par f(x)=x3f(x)=x^{3} et dérivable sur R.\R . Soient T\text{T} et T\text{T}' les tangentes à la courbe représentative de ff respectivement aux points d’abscisses 1-1 et 1.1.

1. a. Déterminer l’équation réduite des tangentes T\text{T} et T.\text{T}'.

b. Quelle est la position relative des deux tangentes T\text{T} et T\text{T}' ? Justifier.

2. Ce résultat est-il encore valable pour les tangentes à la courbe de ff respectivement aux points d’abscisses a-a et aaaa est un réel strictement positif ? Justifier.

61
[Calculer.]
On considère la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff définie par f(x)=x2+2x+8f(x)=-x^{2}+2 x+8 et dérivable sur R.\R. Soient D\text{D} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse 44 et dd la tangente en D\text{D} à la courbe Cf.\mathcal{C}_f.

Équation de tangente

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente d.d .

2. Étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f par rapport à sa tangente d.d . On pourra éventuellement utiliser la calculatrice pour déterminer le signe d’un trinôme.

69
[Communiquer.]
On considère la fonction ff définie par f(x)=x2x20f(x)=x^{2}-x-20 et dérivable sur R\R et la droite dd d’équation y=3x+1.y = 3x + 1.
La courbe représentative de ff admet-elle des tangentes parallèles à la droite d?d\:? Si oui, préciser en quel(s) point(s).

60
[Chercher.]
Soit une fonction ff définie et dérivable sur R.\mathbb{R} . Sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_f passe par les points A(2;3),B(0;15)\mathrm{A}(-2 \:;-3), \mathrm{B}(0\: ; 15) et C(10;1). \mathrm{C}(10\: ; 1).
Les nombres dérivés de ff en 2-2 , en 00 et en 1010 sont respectivement égaux à 2,2, 5-5 et 12.\dfrac{-1}{2}. On appelle TA,TB\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC. \mathrm{T}_{\mathrm{C}}. les tangentes à Cf\mathcal{C}_f respectivement en A ,\text{A ,} en B\text{B} et en C.\text{C.}

1. Déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes TA,TB\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC. \mathrm{T}_{\mathrm{C}}.

2. Démontrer que les tangentes TA,TB\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC. \mathrm{T}_{\mathrm{C}}. sont concourantes et déterminer les coordonnées de leur point de concours.

72
[Raisonner.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On dit que la fonction carré ff est convexe, car sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de toutes ses tangentes.

1. Illustrer cette propriété à l’aide d’une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Soit A\text{A} un point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse a.a . On note Ta\mathrm{T}_{a} la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point A.\text{A.}
a. Démontrer, à l’aide du taux de variation, que f(a)=2a.f^{\prime}(a)=2 a.

b. Donner l’équation réduite de Ta\mathrm{T}_{a} en fonction de a.a .

c. À l’aide d’une étude de signe, déterminer la position relative de Cf\mathcal{C}_{f} et Ta\mathrm{T}_{a} sur R. \R.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 38 ; 42 ; 45 ; 57 ; 58 ; 77 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 49 ; 67 ; 73 ; 79 ; 83 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 46 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 90 ; 94 et 100

67
VRAI / FAUX
[Chercher.] ◉◉
La fonction ff est définie et dérivable sur R.\R . On note CfC_f sa courbe représentative. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. « Si f(1)=2f(1)=2 et f(1)=0,f^{\prime}(1)=0, alors la tangente à CfC_f au point A(1;2)\mathrm{A}(1 ; 2) est parallèle à l’axe des abscisses. »

2. « Si la droite d’équation y=2x+3y = 2x + 3 est tangente à CfC_f au point A(0;3),\mathrm{A}(0 ; 3), alors f(0)=3.f^{\prime}(0)=3. »

3. « Si f(2)=1f(2)=1 et f(2)=1,f^{\prime}(2)=1, alors la tangente à CfC_f au point A(2;1)\mathrm{A}(2 ; 1) a pour équation y=x1.y = x - 1 . »

57
[Chercher.] ◉◉
On a tracé la courbe d’une fonction ff définie et dérivable sur R.\R . Les droites d1,d2,d3d_1 , d_2 , d_3 et d4d_4 sont les tangentes à la courbe de ff respectivement aux points A, B, C\text{A, B, C} et D .\text{D .}

Équation de tangente

Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de f.f .

Dans la vie professionnelle

satellite

Les astronomes utilisent les tangentes pour modéliser le mouvement des objets célestes. Un objet céleste se déplace sur une orbite elliptique en étant soumis à la gravitation et à une force d’inertie qui dépend de la vitesse linéaire ou tangentielle. On peut ainsi étudier les tangentes communes à deux trajectoires pour prévoir une collision ou programmer l’arrivée d’une sonde sur une comète.

68
[Chercher.]
On considère les fonctions ff et gg définies par f(x)=x3xf(x)=x^{3}-x et g(x)=x2+3x4g(x)=-x^{2}+3 x-4 et dérivables sur R.\R .
On note leur courbe représentative Cf\mathcal{C}_f et Cg.C_g. Soit dd la tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f en O.\text{O.}

Équation de tangente

1. Déterminer l’équation réduite de la droite d.d .

2. Démontrer que dd est aussi la tangente à la courbe Cg\mathcal{C}_g en un point A\text{A} dont on déterminera les coordonnées.
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