Entrainement 2


Équation de tangente





66
[Chercher.]
On considère les fonctions ff et gg définies par f(x)=x2+4f(x)=-x^{2}+4 et g(x)=x24x+6g(x)=x^{2}-4 x+6 et dérivables sur R.\mathbb{R} . On note leur courbe représentative Cf\mathcal{C}_f et Cg.\mathcal{C}_g . On appelle A\text{A} le point de coordonnées (1;3).(1\: ; 3).

Équation de tangente

1. Démontrer que Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g admettent une tangente commune T\text{T} en A.\text{A.}

2. Donner l’équation réduite de la tangente T\text{T} et la tracer après avoir reproduit le repère.

67
VRAI / FAUX
[Chercher.] ◉◉
La fonction ff est définie et dérivable sur R.\R . On note CfC_f sa courbe représentative. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. « Si f(1)=2f(1)=2 et f(1)=0,f^{\prime}(1)=0, alors la tangente à CfC_f au point A(1;2)\mathrm{A}(1 ; 2) est parallèle à l’axe des abscisses. »

2. « Si la droite d’équation y=2x+3y = 2x + 3 est tangente à CfC_f au point A(0;3),\mathrm{A}(0 ; 3), alors f(0)=3.f^{\prime}(0)=3. »

3. « Si f(2)=1f(2)=1 et f(2)=1,f^{\prime}(2)=1, alors la tangente à CfC_f au point A(2;1)\mathrm{A}(2 ; 1) a pour équation y=x1.y = x - 1 . »

64
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère la fonction ff définie par f(x)=x2+2x8f(x)=x^{2}+2 x-8 et dérivable sur R.\R . Soit aa un réel.

1. Déterminer, en fonction de aa, l’équation réduite de la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point d’abscisse aa de la courbe de f.f.

2. Existe-t-il des valeurs de aa pour lesquelles la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} est en dessous de la courbe de ff ? Si oui, lesquelles ? Justifier la réponse.

56
[Chercher.]
On a tracé ci-dessous la courbe d’une fonction ff définie et dérivable sur R\R et les tangentes TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} , TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} à la courbe de ff respectivement aux points A,\text{A,} B\text{B} et C.\text{C.}

Équation de tangente

1. Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite de TA.\mathrm{T}_{\mathrm{A}}.

2. Sachant que la droite TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} passe par le point de coordonnées (2;294)\left(-2 \:; \dfrac{29}{4}\right), déterminer son équation réduite.

3. On donne f(3)=10112.f^{\prime}(3)=\dfrac{-101}{12}. Les tangentes TB\mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} sont-elles parallèles ? Justifier.

57
[Chercher.] ◉◉
On a tracé la courbe d’une fonction ff définie et dérivable sur R.\R . Les droites d1,d2,d3d_1 , d_2 , d_3 et d4d_4 sont les tangentes à la courbe de ff respectivement aux points A, B, C\text{A, B, C} et D .\text{D .}

Équation de tangente

Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de f.f .

Pour les exercices
56
à
71


On se place dans le plan muni d’un repère (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j})

65
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie pour tout x0x \neq 0 par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}. Soit aa un réel non nul. ff est dérivable pour tout x0.x \neq 0.

1. Déterminer, en fonction de aa , l’équation réduite de la tangente TA\mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point d’abscisse a de la courbe de f.f .

2. Déterminer la position relative de la courbe de ff par rapport à sa tangente TA.\mathrm{T}_{\mathrm{A}}.

60
[Chercher.]
Soit une fonction ff définie et dérivable sur R.\mathbb{R} . Sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_f passe par les points A(2;3),B(0;15)\mathrm{A}(-2 \:;-3), \mathrm{B}(0\: ; 15) et C(10;1). \mathrm{C}(10\: ; 1).
Les nombres dérivés de ff en 2-2 , en 00 et en 1010 sont respectivement égaux à 2,2, 5-5 et 12.\dfrac{-1}{2}. On appelle TA,TB\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC. \mathrm{T}_{\mathrm{C}}. les tangentes à Cf\mathcal{C}_f respectivement en A ,\text{A ,} en B\text{B} et en C.\text{C.}

1. Déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes TA,TB\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC. \mathrm{T}_{\mathrm{C}}.

2. Démontrer que les tangentes TA,TB\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC. \mathrm{T}_{\mathrm{C}}. sont concourantes et déterminer les coordonnées de leur point de concours.

61
[Calculer.]
On considère la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff définie par f(x)=x2+2x+8f(x)=-x^{2}+2 x+8 et dérivable sur R.\R. Soient D\text{D} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse 44 et dd la tangente en D\text{D} à la courbe Cf.\mathcal{C}_f.

Équation de tangente

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente d.d .

2. Étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f par rapport à sa tangente d.d . On pourra éventuellement utiliser la calculatrice pour déterminer le signe d’un trinôme.

73
EN PHYSIQUE
[Chercher.] ◉◉
On lance un projectile verticalement vers le haut. Il monte puis descend selon la même droite verticale, soit une trajectoire à une dimension. La hauteur atteinte par le projectile, en fonction du temps tt en seconde, est décrite dans un repère (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) ci-dessous par une fonction h.h .
On a tracé les tangentes à Ch\mathcal{C}_h aux points d’abscisses respectifs 00 ; 22 et 4.4 .

Équation de tangente
Équation de tangente - lancer de balle

La vitesse du projectile à l’instant tt est donnée, en m·s–1, par la dérivée h(t).h^{\prime}(t).
Déterminer la vitesse atteinte par le projectile à chacun des instants suivants, en m·s–1, puis en km·h–1 :

1. à t=0; t = 0 ;

2. à t=2; t = 2 ;

3. à t=4. t = 4 .

72
[Raisonner.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On dit que la fonction carré ff est convexe, car sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de toutes ses tangentes.

1. Illustrer cette propriété à l’aide d’une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Soit A\text{A} un point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse a.a . On note Ta\mathrm{T}_{a} la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point A.\text{A.}
a. Démontrer, à l’aide du taux de variation, que f(a)=2a.f^{\prime}(a)=2 a.

b. Donner l’équation réduite de Ta\mathrm{T}_{a} en fonction de a.a .

c. À l’aide d’une étude de signe, déterminer la position relative de Cf\mathcal{C}_{f} et Ta\mathrm{T}_{a} sur R. \R.

Dans la vie professionnelle

satellite

Les astronomes utilisent les tangentes pour modéliser le mouvement des objets célestes. Un objet céleste se déplace sur une orbite elliptique en étant soumis à la gravitation et à une force d’inertie qui dépend de la vitesse linéaire ou tangentielle. On peut ainsi étudier les tangentes communes à deux trajectoires pour prévoir une collision ou programmer l’arrivée d’une sonde sur une comète.

71
QCM
[Chercher.]
On considère la fonction ff définie et dérivable sur R\R de courbe représentative Cf.\mathcal{C}_f. On donne f(1)=3f(1)=3 et f(1)=3.f^{\prime}(1)=3. La tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 1-1 a pour équation y=x2.y = -x - 2 . Pour chacune des lignes du tableau suivant, choisir la bonne réponse en la justifiant.

 A  B  C  D
1. La tangente à Cf\mathcal{C}_f au point A(1;3)\mathrm{A}(1\:; 3) a pour équation : y=3x+3y = 3x + 3 y=3x+1y = 3x + 1 y=3xy = 3x y=3y = 3
2. Le nombre dérivé de ff en 1-1 est égal à  : 2-2 1-1 00 33
3. f(1) f(-1) est égal à  : 1-1 33 00 11

1.

2.

3.

62
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie pour tout x0x \neq 0 par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}. On appelle Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

1. a. Déterminer f(2)f^{\prime}(-2) et f(2)f^{\prime}(2) en utilisant un taux de variation.

b. En déduire l’équation réduite de la tangente à Cf\mathcal{C}_f aux points d’abscisses 2-2 et 2.2 .

c. Que remarque-t-on ?

2. Soit aa un réel non nul. On appelle A\text{A} le point de Cf\mathcal{C}_f d’abscisse aa et A\text{A}' son symétrique par rapport à O.\text{O.}
Démontrer que les tangentes à Cf\mathcal{C}_f en A\text{A} et en A\text{A}' sont parallèles.

63
[Raisonner.]
On considère la fonction ff définie par f(x)=x3f(x)=x^{3} et dérivable sur R.\R . Soient T\text{T} et T\text{T}' les tangentes à la courbe représentative de ff respectivement aux points d’abscisses 1-1 et 1.1.

1. a. Déterminer l’équation réduite des tangentes T\text{T} et T.\text{T}'.

b. Quelle est la position relative des deux tangentes T\text{T} et T\text{T}' ? Justifier.

2. Ce résultat est-il encore valable pour les tangentes à la courbe de ff respectivement aux points d’abscisses a-a et aaaa est un réel strictement positif ? Justifier.

69
[Communiquer.]
On considère la fonction ff définie par f(x)=x2x20f(x)=x^{2}-x-20 et dérivable sur R\R et la droite dd d’équation y=3x+1.y = 3x + 1.
La courbe représentative de ff admet-elle des tangentes parallèles à la droite d?d\:? Si oui, préciser en quel(s) point(s).

59
[Chercher.] ◉◉◉
Soit une fonction ff définie et dérivable sur R.\R .
Sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_{f} passe par les points A(4;11),B(2;4)\mathrm{A}(-4 ; 11), \mathrm{B}(2 ; 4) et C(6;2)\mathrm{C}(6 ; 2)
Les nombres dérivés de ff en 4,-4 , en 22 et en 66 sont respectivement égaux à 15,15\dfrac{-1}{5}, \dfrac{1}{5} et 12. \dfrac{1}{2}. On appelle TA,TB \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} les tangentes à Cf\mathcal{C}_{f} respectivement en ,\text{A }, en B\text{B} et en C.\text{C.}

Équation de tangente

1. Déterminer l’équation réduite de chacune des tangentes TA,TB \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC.\mathrm{T}_{\mathrm{C}}.

2. Les tangentes TA,TB \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et TC\mathrm{T}_{\mathrm{C}} sont-elles concourantes ? Justifier.
AIDE
On peut commencer par déterminer le point d’intersection de TA \mathrm{T}_{\mathrm{A}} et TB. \mathrm{T}_{\mathrm{B}}.

70
[Communiquer.] ◉◉◉
On considère la fonction ff définie par f(x)=x34xf(x)=x^{3}-4 x et dérivable sur R\R et la droite dd d’équation y=x+1.y = -x + 1 .
Démontrer que la courbe représentative de ff admet exactement deux tangentes parallèles à la droite dd en des points que l’on déterminera.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 38 ; 42 ; 45 ; 57 ; 58 ; 77 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 49 ; 67 ; 73 ; 79 ; 83 et 84
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 46 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 90 ; 94 et 100

68
[Chercher.]
On considère les fonctions ff et gg définies par f(x)=x3xf(x)=x^{3}-x et g(x)=x2+3x4g(x)=-x^{2}+3 x-4 et dérivables sur R.\R .
On note leur courbe représentative Cf\mathcal{C}_f et Cg.C_g. Soit dd la tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f en O.\text{O.}

Équation de tangente

1. Déterminer l’équation réduite de la droite d.d .

2. Démontrer que dd est aussi la tangente à la courbe Cg\mathcal{C}_g en un point A\text{A} dont on déterminera les coordonnées.

58
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction ff définie sur R+\R^+ par f(x)=3x.f(x)=3 \sqrt{x}.
On admet que ff est dérivable sur ]0;+[] 0\: ;+\infty[ et on donne f(1)=32f^{\prime}(1)=\dfrac{3}{2} et f(2)=324.f^{\prime}(2)=\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}.