Entrainement 3


Fonctions dérivées




Histoire des maths

Fonctions dérivées - Newton

Isaac Newton (1642-1727), physicien anglais, a aussi contribué à l’avancée des mathématiques. Ses travaux sur le calcul infinitésimal, inspirés par la définition de la tangente à une courbe comme position limite d’une sécante donnée par le mathématicien français Fermat (1610-1665) et menés en concurrence avec le mathématicien allemand Leibniz (1646-1716) ont jeté les bases du calcul différentiel et de la dérivation.

93
DÉMO
[Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+x12f(x)=\left|x^{2}+x-12\right|

1. Vérifier que, pour tout xR,x2+x12=(x+4)(x3).x \in \mathbb{R}, x^{2}+x-12=(x+4)(x-3).

2. Déterminer la fonction dérivée de ff sur ];4[]3;+[.]-\infty\: ;-4[\cup] 3\: ;+\infty[.

3. Même consigne sur ]4;3[.]-4\: ; 3[.

4. Montrer que la fonction ff n’est pas dérivable en 4,-4 , ni en 3.3 .

5. Tracer la courbe de ff à la calculatrice. Que remarque-t-on ?

Pour les exercices
74
à
86


On considère ff et gg deux fonctions définies et dérivables respectivement sur deux ensembles I\text{I} et J\text{J} de R.\R . On note ff' et gg' les fonctions dérivées associées.

88
[Calculer.]
Soit ff une fonction définie sur un intervalle I\text{I} de R.\R .
Dans chaque cas, identifier la forme g(ax+b),g(a x+b), préciser l’ensemble de dérivabilité de ff et calculer f(x).f^{\prime}(x).

1. f(x)=(5x+3)2;I=Rf(x)=(5 x+3)^{2}; \mathrm{I}=\mathbb{R}

2. f(x)=3x4;I=[43;+[f(x)=\sqrt{3 x-4}; \text{I}=\left[\dfrac{4}{3}\: ;+\infty[\right.

3. f(x)=(12x1)3;I=Rf(x)=\left(\dfrac{1}{2} x-1\right)^{3}; \mathrm{I}=\mathbb{R}


79
[Calculer.] ◉◉
Soient ff et gg les fonctions définies par f(x)=x(x+1)f(x)=\sqrt{x}(x+1) et g(x)=x(x2x+1).g(x)=\sqrt{x}\left(x^{2}-x+1\right).

1. Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité des fonctions ff et g.g .

2. Calculer f(x)f^{\prime}(x) et g(x).g^{\prime}(x).

87
PYTHON
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+ca,ba , b et cc sont des réels avec a0.a \neq 0.

1. Démontrer que ff est dérivable sur R\R et calculer f(x)f^{\prime}(x)ff^{\prime} est la fonction dérivée de f.f .

2. Écrire, en langage Python, une fonction qui calcule le nombre dérivé en un réel x0x_0 d’une fonction trinôme définie par f(x)=ax2+bx+c.f(x)=a x^{2}+b x+c.




81
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=x(x2+1)f(x)=\sqrt{x}\left(x^{2}+1\right) et I=]0;+[.\mathrm{I}=]0\: ;+\infty[.

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=1x(x21)g(x)=\dfrac{1}{x}\left(x^{2}-1\right) et J=];0[]0;+[.\mathrm{J}=]-\infty\: ; 0[\cup] 0\: ;+\infty[.

86
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1} et I=]0;+[.\mathrm{I}=] 0\: ;+\infty[.

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=xx2+1g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+1} et J=]0;+[.\mathrm{J}=] 0\: ;+\infty[.


89
[Calculer.]
Soit ff une fonction définie sur un ensemble I\text{I} de R.\R .
Dans chaque cas, préciser l’ensemble de dérivabilité de ff et calculer f(x).f^{\prime}(x).
1. f(x)=2x+3+1xf(x)=\sqrt{2 x+3}+\dfrac{1}{x} ; I=[32;0[]0;+[.\mathrm{I}= [ \dfrac{-3}{2}\: ; 0[\cup] 0 \:;+\infty[.

2. f(x)=x2(x21)f(x)=\sqrt{x-2}\left(x^{2}-1\right) ; I=[2;+[.\mathrm{I}=[2\: ;+\infty[.

3. f(x)=112xf(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-2 x}} ; I=];12].\mathrm{I}=]-\infty\: ; \dfrac{1}{2} ].

4. f(x)=3xx3f(x)=\dfrac{\sqrt{3-x}}{x^{3}} ; I=];0[]0;3].\mathrm{I}=]-\infty \:; 0[\cup] 0\: ; 3 ].

78
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=14x413x3+12x210f(x)=\dfrac{1}{4} x^{4}-\dfrac{1}{3} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{2}-10 et I=R. \text{I} = \R .

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=x+1xg(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x} et J=R. \text{J} = \R .

85
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=x1x2+x+1f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1} et I=R.\mathrm{I}=\R.

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=x2+x+1x2+1g(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1} et J=R.\mathrm{J}=\R.


92
DÉMO
[Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=3x2.f(x)=|3 x-2|.
1. Déterminer la fonction dérivée de ff sur ]23;+[] \dfrac{2}{3}\: ;+\infty[

2. Même consigne sur ];23[]-\infty \:; \dfrac{2}{3}[

3. Montrer que la fonction ff n’est pas dérivable en 23.\dfrac{2}{3}.

74
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=2019f(x)=2019 et I=R. \text{I} = \R .

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=4x7g(x)=4 x-7 et J=R. \text{J} = \R .

82
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=42x3f(x)=\dfrac{4}{2 x-3} et I=];32[]32;+[.\text{I}=]-\infty\: ; \dfrac{3}{2}[\: \cup \:] \dfrac{3}{2}\: ;+\infty[.

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=214xg(x)=\dfrac{2}{1-4 x} et J=];14[]14;+[.\text{J}=]-\infty\: ; \dfrac{1}{4}[\:\cup\:] \dfrac{1}{4}\: ;+\infty[.

90
VRAI / FAUX
[Raisonner.] ◉◉◉
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « Les fonctions ff et gg définies pour tout x1x \neq-1 et x1x \neq 1 par f(x)=3x1x21f(x)=\dfrac{3 x-1}{x^{2}-1} et g(x)=1+1x1+2x+1g(x)=1+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1} ont la même fonction dérivée. »

2. « La dérivée de la fonction ff définie sur R+\R^+ par f(x)=x1x+1f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} est définie sur ]0;+[] 0 \:;+\infty[ par f(x)=x(x+1)2.f^{\prime}(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^{2}}. »

3. « Soient les fonctions ff et gg définies sur R\R par f(x)=(x1)(x+1)2f(x)=(x-1)(x+1)^{2} et g(x)=(x1)2(x+1).g(x)=(x-1)^{2}(x+1). Il existe un unique réel aa pour lequel f(a)=g(a)f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a). »

4. « Les nombres dérivés en 11 des fonctions inverse et valeur absolue sont égaux. »

80
[Calculer.] ◉◉
1. a. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=(2x+3)(14x)f(x)=(2 x+3)(1-4 x) et I=R.\text{I} = \R .

b. Développer et réduire f(x)f(x) et calculer la dérivée de l’expression obtenue.

2. a. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=(x21)(x3+x)g(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{3}+x\right) et J=R.\text{J} = \R .

b. Développer et réduire g(x)g(x) et calculer la dérivée de l’expression obtenue.

84
[Calculer.] ◉◉
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=5x1x+2f(x)=\dfrac{5 x-1}{x+2} et I=];2[]2;+[.\text{I}=]-\infty \:;-2[\cup]-2 \:;+\infty[.

2. Calculer g(x)g^{\prime}(x) pour g(x)=3x1+4xg(x)=\dfrac{3-x}{1+4 x} et J=];14[]14;+[.\text{J}=]-\infty\: ;-\dfrac{1}{4}[\cup]-\dfrac{1}{4}\: ;+\infty[.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 38 ; 42 ; 45 ; 57 ; 58 ; 77 ; 80 ;
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 49 ; 67 ; 73 ; 79 ; 83 ; 84 ;
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 46 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 90 ; 94 ; 100 ;

75
[Calculer.]
1. Calculer ff' pour f(x)=x4f(x)=x^{4} et I=R. \text{I} = \R .

2. Calculer gg' pour g(x)=4x4g(x)=4 x^{4} et J=R. \text{J} = \R .

76
[Calculer.]
1. Calculer f(x)f^{\prime}(x) pour f(x)=(2x1)(x+3)f(x)=(2 x-1)(x+3) et I=R. \text{I} = \R .

2. Calculer g(x)g'(x) pour g(x)=(x2x+2)(2x34)g(x)=\left(x^{2}-x+2\right)\left(2 x^{3}-4\right) et J=R. \text{J} = \R .

95
EN PHYSIQUE
[Communiquer.]
Une particule évolue de façon rectiligne au cours du temps. Sa position xx en fonction du temps est donnée par l’équation x(t)=3t2+9t+8x(t)=3 t^{2}+9 t+8x(t)x(t) exprime (en mètre) la distance parcourue par la particule au temps tt (en seconde). La vitesse de la particule en fonction du temps est donnée en mètre par seconde par la fonction dérivée de la fonction x.x . On note v(t)=dx(t)dtv(t)=\dfrac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}
1. Quelle est la vitesse de la particule lorsque t=2t = 2 ?

2. Quelle est la position de la particule lorsque v(t)=10v(t)=10 ?

91
QCM
[Calculer.]
Pour chacune des propositions suivantes, choisir la (ou les) réponse(s) correcte(s).

1. Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=3x5.f(x)=3 x-5.
Alors f(x)f^{\prime}(x) est égal à :




2. La dérivée de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=x2+x+1f(x)=x^{2}+x+1 est définie par f(x)=:f^{\prime}(x)=\: :