Fonctions dérivées

Parcours 1 : exercices

38 ;

42 ;

45 ;

57 ;

58 ;

77 ;

80 ;

Parcours 2 : exercices

48 ;

49 ;

67 ;

73 ;

79 ;

83 ;

84 ;

Parcours 3 : exercices

43 ;

46 ;

55 ;

59 ;

64 ;

70 ;

90 ;

94 ;

100 ;

On considère f et g deux fonctions définies et dérivables respectivement sur deux ensembles \text{I} et \text{J} de \R . On note f' et g' les fonctions dérivées associées.

74

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=2019 et \text{I} = \R .

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=4 x-7 et \text{J} = \R .

76

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=(2 x-1)(x+3) et \text{I} = \R .

2. Calculer g'(x) pour g(x)=\left(x^{2}-x+2\right)\left(2 x^{3}-4\right) et \text{J} = \R .

77

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=2 x^{2}-3 x+1 et \text{I} = \R .

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=x^{3}+4 x^{2}+5 x-6 et \text{J} = \R .

78

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\dfrac{1}{4} x^{4}-\dfrac{1}{3} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{2}-10 et \text{I} = \R .

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x} et \text{J} = \R .

79

[Calculer.]
Soient f et g les fonctions définies par f(x)=\sqrt{x}(x+1) et g(x)=\sqrt{x}\left(x^{2}-x+1\right).

1. Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité des fonctions f et g .

2. Calculer f^{\prime}(x) et g^{\prime}(x).

81

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\sqrt{x}\left(x^{2}+1\right) et \mathrm{I}=]0\: ;+\infty[.

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\dfrac{1}{x}\left(x^{2}-1\right) et \mathrm{J}=]-\infty\: ; 0[\cup] 0\: ;+\infty[.

82

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\dfrac{4}{2 x-3} et \text{I}=]-\infty\: ; \dfrac{3}{2}[\: \cup \:] \dfrac{3}{2}\: ;+\infty[.

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\dfrac{2}{1-4 x} et \text{J}=]-\infty\: ; \dfrac{1}{4}[\:\cup\:] \dfrac{1}{4}\: ;+\infty[.

83

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\dfrac{-2}{x^{2}+x+1} et \mathrm{I}=\R.

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\dfrac{3}{x^{4}+1} et \mathrm{J}=\R.

84

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\dfrac{5 x-1}{x+2} et \text{I}=]-\infty \:;-2[\cup]-2 \:;+\infty[.

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\dfrac{3-x}{1+4 x} et \text{J}=]-\infty\: ;-\dfrac{1}{4}[\cup]-\dfrac{1}{4}\: ;+\infty[.

85

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1} et \mathrm{I}=\R.

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1} et \mathrm{J}=\R.

86

[Calculer.]
1. Calculer f^{\prime}(x) pour f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1} et \mathrm{I}=] 0\: ;+\infty[.

2. Calculer g^{\prime}(x) pour g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+1} et \mathrm{J}=] 0\: ;+\infty[.

87

Python

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=a x^{2}+b x+c où a , b et c sont des réels avec a \neq 0.

1. Démontrer que f est dérivable sur \R et calculer f^{\prime}(x) où f^{\prime} est la fonction dérivée de f .

2. Écrire, en langage Python, une fonction qui calcule le nombre dérivé en un réel x_0 d'une fonction trinôme définie par f(x)=a x^{2}+b x+c.

88

[Calculer.]
Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} de \R .
Dans chaque cas, identifier la forme g(a x+b), préciser l'ensemble de dérivabilité de f et calculer f^{\prime}(x).

1. f(x)=(5 x+3)^{2}; \mathrm{I}=\mathbb{R}

2. f(x)=\sqrt{3 x-4}; \text{I}=\left[\dfrac{4}{3}\: ;+\infty[\right.

3. f(x)=\left(\dfrac{1}{2} x-1\right)^{3}; \mathrm{I}=\mathbb{R}

89

[Calculer.]
Soit f une fonction définie sur un ensemble \text{I} de \R .
Dans chaque cas, préciser l'ensemble de dérivabilité de f et calculer f^{\prime}(x).
1. f(x)=\sqrt{2 x+3}+\dfrac{1}{x} ; \mathrm{I}= [ \dfrac{-3}{2}\: ; 0[\cup] 0 \:;+\infty[.

2. f(x)=\sqrt{x-2}\left(x^{2}-1\right) ; \mathrm{I}=[2\: ;+\infty[.

3. f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-2 x}} ; \mathrm{I}=]-\infty\: ; \dfrac{1}{2} ].

4. f(x)=\dfrac{\sqrt{3-x}}{x^{3}} ; \mathrm{I}=]-\infty \:; 0[\cup] 0\: ; 3 ].

90

Vrai / Faux

[Raisonner.]
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « Les fonctions f et g définies pour tout x \neq-1 et x \neq 1 par f(x)=\dfrac{3 x-1}{x^{2}-1} et g(x)=1+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1} ont la même fonction dérivée. »

2. « La dérivée de la fonction f définie sur \R^+ par f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} est définie sur ] 0 \:;+\infty[ par f^{\prime}(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^{2}}. »

3. « Soient les fonctions f et g définies sur \R par f(x)=(x-1)(x+1)^{2} et g(x)=(x-1)^{2}(x+1). Il existe un unique réel a pour lequel f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a). »

4. « Les nombres dérivés en 1 des fonctions inverse et valeur absolue sont égaux. »

92

Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=|3 x-2|.
1. Déterminer la fonction dérivée de f sur ] \dfrac{2}{3}\: ;+\infty[

2. Même consigne sur ]-\infty \:; \dfrac{2}{3}[

3. Montrer que la fonction f n'est pas dérivable en \dfrac{2}{3}.

93

Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\left|x^{2}+x-12\right|

1. Vérifier que, pour tout x \in \mathbb{R}, x^{2}+x-12=(x+4)(x-3).

2. Déterminer la fonction dérivée de f sur ]-\infty\: ;-4[\cup] 3\: ;+\infty[.

3. Même consigne sur ]-4\: ; 3[.

4. Montrer que la fonction f n'est pas dérivable en -4 , ni en 3 .

5. Tracer la courbe de f à la calculatrice. Que remarque-t-on ?

94

Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \R par : f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1} pour x \neq 1 et f(1)=0.

1. Déterminer la fonction dérivée de f sur ]1\: ;+\infty[.

2. Même consigne sur ]-\infty \:; 1[.

3. Calculer la limite du taux de variation de f pour x>1 et pour x \lt 1. Conclure

95

En physique

[Communiquer.]
Une particule évolue de façon rectiligne au cours du temps. Sa position x en fonction du temps est donnée par l'équation x(t)=3 t^{2}+9 t+8 où x(t) exprime (en mètre) la distance parcourue par la particule au temps t (en seconde). La vitesse de la particule en fonction du temps est donnée en mètre par seconde par la fonction dérivée de la fonction x . On note v(t)=\dfrac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}
1. Quelle est la vitesse de la particule lorsque t = 2 ?

2. Quelle est la position de la particule lorsque v(t)=10 ?