Fonctions dérivées

Parcours 1 : exercices

38 ;

42 ;

45 ;

57 ;

58 ;

77 ;

80 ;

Parcours 2 : exercices

48 ;

49 ;

67 ;

73 ;

79 ;

83 ;

84 ;

Parcours 3 : exercices

43 ;

46 ;

55 ;

59 ;

64 ;

70 ;

90 ;

94 ;

100 ;

On considère $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables respectivement sur deux ensembles $\text{I}$ et $\text{J}$ de $\mathbb{R}.$ On note $f^{\prime }$ et $g^{\prime }$ les fonctions dérivées associées.

74

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=2019$ et $\text{I}=\mathbb{R}.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=4x-7$ et $\text{J}=\mathbb{R}.$

76

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=(2x-1)(x+3)$ et $\text{I}=\mathbb{R}.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\left(x^2-x+2\right)\left(2x^3-4\right)$ et $\text{J}=\mathbb{R}.$

77

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=2x^2-3x+1$ et $\text{I}=\mathbb{R}.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=x^3+4x^2+5x-6$ et $\text{J}=\mathbb{R}.$

78

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-10$ et $\text{I}=\mathbb{R}.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ et $\text{J}=\mathbb{R}.$

79

[Calculer.]
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par $f(x)=\sqrt{x}(x+1)$ et $g(x)=\sqrt{x}\left(x^2-x+1\right).$

1. Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité des fonctions $f$ et $g.$

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $g^{\prime }(x).$

81

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\sqrt{x}\left(x^2+1\right)$ et $\mathrm{I}=]0;+\infty [.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\frac{1}{x}\left(x^2-1\right)$ et $\mathrm{J}=]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [.$

82

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\frac{4}{2x-3}$ et $\text{I}=]-\infty ;\frac{3}{2}[\cup ]\frac{3}{2};+\infty [.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\frac{2}{1-4x}$ et $\text{J}=]-\infty ;\frac{1}{4}[\cup ]\frac{1}{4};+\infty [.$

83

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\frac{-2}{x^2+x+1}$ et $\mathrm{I}=\mathbb{R}.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\frac{3}{x^4+1}$ et $\mathrm{J}=\mathbb{R}.$

84

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\frac{5x-1}{x+2}$ et $\text{I}=]-\infty ;-2[\cup ]-2;+\infty [.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\frac{3-x}{1+4x}$ et $\text{J}=]-\infty ;-\frac{1}{4}[\cup ]-\frac{1}{4};+\infty [.$

85

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\frac{x-1}{x^2+x+1}$ et $\mathrm{I}=\mathbb{R}.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$ et $\mathrm{J}=\mathbb{R}.$

86

[Calculer.]
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ et $\mathrm{I}=]0;+\infty [.$

2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}$ et $\mathrm{J}=]0;+\infty [.$

87

Python

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$ où $a,b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne 0.$

1. Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f^{\prime }(x)$ où $f^{\prime }$ est la fonction dérivée de $f.$

2. Écrire, en langage Python, une fonction qui calcule le nombre dérivé en un réel $x_0$ d'une fonction trinôme définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c.$

88

[Calculer.]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ de $\mathbb{R}.$
Dans chaque cas, identifier la forme $g(ax+b),$ préciser l'ensemble de dérivabilité de $f$ et calculer $f^{\prime }(x).$

1. $f(x)=(5x+3{)}^2;\mathrm{I}=\mathbb{R}$

Insérer une formule mathématique

2. $f(x)=\sqrt{3x-4};\text{I}=[\frac{4}{3};+\infty [$

Insérer une formule mathématique

3. $f(x)={\left(\frac{1}{2}x-1\right)}^3;\mathrm{I}=\mathbb{R}$

Insérer une formule mathématique

89

[Calculer.]
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\text{I}$ de $\mathbb{R}.$
Dans chaque cas, préciser l'ensemble de dérivabilité de $f$ et calculer $f^{\prime }(x).$
1. $f(x)=\sqrt{2x+3}+\frac{1}{x}$ ; $\mathrm{I}=[\frac{-3}{2};0[\cup ]0;+\infty [.$

2. $f(x)=\sqrt{x-2}\left(x^2-1\right)$ ; $\mathrm{I}=[2;+\infty [.$

3. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty ;\frac{1}{2}].$

4. $f(x)=\frac{\sqrt{3-x}}{x^3}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty ;0[\cup ]0;3].$

90

Vrai / Faux

[Raisonner.]
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « Les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout $x\ne -1$ et $x\ne 1$ par $f(x)=\frac{3x-1}{x^2-1}$ et $g(x)=1+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}$ ont la même fonction dérivée. »

2. « La dérivée de la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ est définie sur $]0;+\infty [$ par $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1{)}^2}.$ »

3. « Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)(x+1{)}^2$ et $g(x)=(x-1{)}^2(x+1).$ Il existe un unique réel $a$ pour lequel $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$. »

4. « Les nombres dérivés en $1$ des fonctions inverse et valeur absolue sont égaux. »

92

Démo

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|3x-2|.$
1. Déterminer la fonction dérivée de $f$ sur $]\frac{2}{3};+\infty [$

Insérer une formule mathématique

2. Même consigne sur $]-\infty ;\frac{2}{3}[$

Insérer une formule mathématique

3. Montrer que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $\frac{2}{3}.$

Insérer une formule mathématique

93

Démo

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left|x^2+x-12\right|$

1. Vérifier que, pour tout $x\in \mathbb{R},x^2+x-12=(x+4)(x-3).$

2. Déterminer la fonction dérivée de $f$ sur $]-\infty ;-4[\cup ]3;+\infty [.$

3. Même consigne sur $]-4;3[.$

4. Montrer que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $-4,$ ni en $3.$

5. Tracer la courbe de $f$ à la calculatrice. Que remarque-t-on ?

94

Démo

[Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ pour $x\ne 1$ et $f(1)=0.$

1. Déterminer la fonction dérivée de $f$ sur $]1;+\infty [.$

2. Même consigne sur $]-\infty ;1[.$

3. Calculer la limite du taux de variation de $f$ pour $x>1$ et pour $x<1.$ Conclure

95

En physique

[Communiquer.]
Une particule évolue de façon rectiligne au cours du temps. Sa position $x$ en fonction du temps est donnée par l'équation $x(t)=3t^2+9t+8$ où $x(t)$ exprime (en mètre) la distance parcourue par la particule au temps $t$ (en seconde). La vitesse de la particule en fonction du temps est donnée en mètre par seconde par la fonction dérivée de la fonction $x.$ On note $v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}$
1. Quelle est la vitesse de la particule lorsque $t=2$ ?

2. Quelle est la position de la particule lorsque $v(t)=10$ ?