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3. Fonctions dérivées
P.126-127

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Entrainement 3


Fonctions dérivées





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 38 ; 42 ; 45 ; 57 ; 58 ; 77 ; 80 ;
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 49 ; 67 ; 73 ; 79 ; 83 ; 84 ;
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 46 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 90 ; 94 ; 100 ;

Pour les exercices
74
à
86


On considère et deux fonctions définies et dérivables respectivement sur deux ensembles et de On note et les fonctions dérivées associées.

74
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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75
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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76
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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77
[Calculer.] ◉◉
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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78
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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79
[Calculer.] ◉◉
Soient et les fonctions définies par et

1. Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité des fonctions et

2. Calculer et
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80
[Calculer.] ◉◉
1. a. Calculer pour et

b. Développer et réduire et calculer la dérivée de l’expression obtenue.

2. a. Calculer pour et

b. Développer et réduire et calculer la dérivée de l’expression obtenue.
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81
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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82
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
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83
[Calculer.] ◉◉
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et

Voir les réponses

84
[Calculer.] ◉◉
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et
Voir les réponses

85
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et

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86
[Calculer.]
1. Calculer pour et

2. Calculer pour et

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87
PYTHON
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par et sont des réels avec

1. Démontrer que est dérivable sur et calculer est la fonction dérivée de

2. Écrire, en langage Python, une fonction qui calcule le nombre dérivé en un réel d’une fonction trinôme définie par



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88
[Calculer.]
Soit une fonction définie sur un intervalle de
Dans chaque cas, identifier la forme préciser l’ensemble de dérivabilité de et calculer

1.

2.

3.

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89
[Calculer.]
Soit une fonction définie sur un ensemble de
Dans chaque cas, préciser l’ensemble de dérivabilité de et calculer
1. ;

2. ;

3. ;

4. ;
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90
VRAI / FAUX
[Raisonner.] ◉◉◉
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « Les fonctions et définies pour tout et par et ont la même fonction dérivée. »

2. « La dérivée de la fonction définie sur par est définie sur par »

3. « Soient les fonctions et définies sur par et Il existe un unique réel pour lequel . »

4. « Les nombres dérivés en des fonctions inverse et valeur absolue sont égaux. »
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91
QCM
[Calculer.]
Pour chacune des propositions suivantes, choisir la (ou les) réponse(s) correcte(s).

1. Soit la fonction définie sur par
Alors est égal à :




2. La dérivée de la fonction définie sur par est définie par




3. Soit la fonction définie pour tout par Alors est égal à :







4. Soit la fonction définie par
Alors est la fonction dérivée de la fonction définie par :




5.Soit la fonction définie pour tout par
Alors est égal à :



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92
DÉMO
[Raisonner.]
Soit la fonction définie sur par
1. Déterminer la fonction dérivée de sur

2. Même consigne sur

3. Montrer que la fonction n’est pas dérivable en
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93
DÉMO
[Raisonner.]
Soit la fonction définie sur par

1. Vérifier que, pour tout

2. Déterminer la fonction dérivée de sur

3. Même consigne sur

4. Montrer que la fonction n’est pas dérivable en ni en

5. Tracer la courbe de à la calculatrice. Que remarque-t-on ?
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94
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit la fonction définie sur par : pour et

1. Déterminer la fonction dérivée de sur

2. Même consigne sur

3. Calculer la limite du taux de variation de pour et pour Conclure
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95
EN PHYSIQUE
[Communiquer.]
Une particule évolue de façon rectiligne au cours du temps. Sa position en fonction du temps est donnée par l’équation exprime (en mètre) la distance parcourue par la particule au temps (en seconde). La vitesse de la particule en fonction du temps est donnée en mètre par seconde par la fonction dérivée de la fonction On note
1. Quelle est la vitesse de la particule lorsque ?

2. Quelle est la position de la particule lorsque ?
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Histoire des maths

Fonctions dérivées - Newton

Isaac Newton (1642-1727), physicien anglais, a aussi contribué à l’avancée des mathématiques. Ses travaux sur le calcul infinitésimal, inspirés par la définition de la tangente à une courbe comme position limite d’une sécante donnée par le mathématicien français Fermat (1610-1665) et menés en concurrence avec le mathématicien allemand Leibniz (1646-1716) ont jeté les bases du calcul différentiel et de la dérivation.
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