f est une fonction définie sur un intervalle \text{I} de \R de courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère ; a est un réel de \text{I} ; h est un réel non nul tel que a+h\in \text{I}.

1

Le taux de variation de f entre a et a + h est \tau({h})=\dfrac{{f}({a}+{h})-{f}({a})}{{h}}. Cela permet de :

✔ démontrer que f est dérivable en a lorsque la limite de \tau(h) est réelle quand h tend vers 0\:;
✔ démontrer que f n'est pas dérivable en a lorsque la limite de \tau(h) quand h tend vers 0 n'est pas réelle.

2

\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \tau({h})={f}^{\prime}({a}), appelé nombre dérivé de f en a et noté f'(a), est la pente de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse a . Cela permet de :

✔ lire graphiquement f^{\prime}(a) à partir de la tangente tracée et de calculer f^{\prime}(a)\:;
✔ calculer algébriquement la fonction dérivée f'.

3

Lorsqu'elle existe, la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse a a pour équation réduite y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) Cela permet de :

✔ déterminer une équation de tangente ;
✔ tracer une tangente.

4

Il existe des formules pour déterminer les dérivées des fonctions usuelles et effectuer des opérations sur les dérivées (somme, produit, inverse, quotient, x \mapsto g(a x+b) ). Cela permet de :

✔ déterminer l'ensemble de dérivabilité d'une fonction ;
✔ calculer sa fonction dérivée.