Dérivation

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ de $\mathbb{R}$ de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ dans un repère ; $a$ est un réel de $\text{I}$ ; $h$ est un réel non nul tel que $a+h\in \text{I}.$

1

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\tau (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$ Cela permet de :

✔ démontrer que $f$ est dérivable en $a$ lorsque la limite de $\tau (h)$ est réelle quand $h$ tend vers $0;$
✔ démontrer que $f$ n'est pas dérivable en $a$ lorsque la limite de $\tau (h)$ quand $h$ tend vers $0$ n'est pas réelle.

2

$\underset{h\to 0}{\lim }\tau (h)=f^{\prime }(a)$, appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et noté $f^{\prime }(a)$, est la pente de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a.$ Cela permet de :

✔ lire graphiquement $f^{\prime }(a)$ à partir de la tangente tracée et de calculer $f^{\prime }(a);$
✔ calculer algébriquement la fonction dérivée $f^{\prime }.$

3

Lorsqu'elle existe, la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation réduite $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ Cela permet de :

✔ déterminer une équation de tangente ;
✔ tracer une tangente.

4

Il existe des formules pour déterminer les dérivées des fonctions usuelles et effectuer des opérations sur les dérivées (somme, produit, inverse, quotient, $x\mapsto g(ax+b)$ ). Cela permet de :

✔ déterminer l'ensemble de dérivabilité d'une fonction ;
✔ calculer sa fonction dérivée.