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Chapitre 8
Fiches de révision

Équations de droites

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Cours



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Vecteur directeur
Un vecteur directeur d'une droite d est un représentant d'un vecteur \overrightarrow{\text{AB}} avec \text{A} et \text{B} deux points distincts de d.

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Exemple
Dans la figure ci-dessous, les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont des vecteurs directeurs de la droite d.

Placeholder pour Illustration graphique : droite (d) avec vecteurs directeurs (u) et (v) sur plan cartésien.Illustration graphique : droite (d) avec vecteurs directeurs (u) et (v) sur plan cartésien.
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Équation cartésienne
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0.
Remarque
Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite.
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Propriété
Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
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Exemple
3x+2y+1=0 et 6x+4y+2=0 sont deux équations cartésiennes d'une même droite. Un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−2\ ;3) par exemple. Un autre vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−4\ ;6).
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Équation réduite
Une équation réduite de droite est une équation de la forme y=mx+p.
Remarque
Une droite verticale n'admet pas d'équation réduite. Une droite non-verticale admet une seule et unique équation réduite.
  • Le nombre m est appelé le coefficient directeur de la droite.

  • Le nombre p est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite.
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Exemple
Une droite d'équation cartésienne 6x+3y−3=0 a pour équation réduite y=−2x+1. Le coefficient directeur de cette droite vaut −2, et l'ordonnée à l'origine de cette droite vaut 1.
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Positions relatives de droites
Placeholder pour Schéma: positions relatives de deux droites selon leurs équations cartésiennes (ax+by+c=0). Analyse selon ab'-a'b et C-C' pour déterminer si elles sont sécantes, parallèles ou confondues.Schéma: positions relatives de deux droites selon leurs équations cartésiennes (ax+by+c=0). Analyse selon ab'-a'b et C-C' pour déterminer si elles sont sécantes, parallèles ou confondues.
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Exemple
Les droites d'équation x+2y-7=0 et 2x+y-8=0 ne sont pas parallèles car 1 \times 1 - 2 \times 2 = -3 \neq 0. Les coordonnées de leur point d'intersection sont solutions du système \begin{cases} 2x + 2y - 7 = 0 \\ 2x+y-8=0 \end{cases}, c'est à dire \begin{cases} x = 3 \\ y=2 \end{cases}.

Exemple

Les droites d'équation x+3y+4=0 et 2x+6y-2=0 sont parallèles car 1 \times 6 - 2 \times 3 = 0. On peut diviser la deuxième équation par 2 pour obtenir une nouvelle équation cartésienne de la droite : x+3y-1=0. On a 4 \neq -1, donc ces deux droites ne sont pas confondues.
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