Mathématiques 2de

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Préparer la Première

Géométrie

10 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
1

Soit (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(1\:; 2), \mathrm{B}(3\:; 1) et \mathrm{C}(-2 ; 3).

1. Calculer la longueur \text{AB} arrondie au dixième.

2. Faire une figure avec les données de l'énoncé puis :
  • construire le point \text{C}', image du point \text{C} par la translation de vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} ;
  • placer le point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:;
  • tracer la droite d de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par \text{O.}

Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

3. Citer un second vecteur directeur de la droite d et lire ses coordonnées.

4. Déterminer une équation cartésienne de la droite d.

5. Démontrer que la droite d' de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par \text{C}' est parallèle à d.

6. Déterminer l'équation réduite de la droite d'.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
2

Soit (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(0\:; 1), \mathrm{B}(3\:; 0), \mathrm{C}(2\:; 3) et \mathrm{D}(5\:; 2).

Préparer la première. Géométrie
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

2. Calculer les coordonnées des points \text{E} et \text{F,} respectivement milieux des segments [\mathrm{AD}] et [\mathrm{CB}].

3. a. Déterminer la nature du quadrilatère \text{ABDC.} Justifier la réponse.

b. En déduire les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} sans calcul. Justifier la réponse.

c. En déduire une équation cartésienne de (\mathrm{CD}).

4. a. Déterminer les coordonnées du point \text{C}', symétrique de \text{C} par rapport à l'axe des ordonnées.

b. Déterminer une équation cartésienne de \left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right)

5. a. Justifier que les droites (\mathrm{CD}) et \left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right) sont sécantes.

b. Calculer les coordonnées de \text{G,} leur point d'intersection
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
3

Soit (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(-3\:;-2), \mathrm{B}(3\:; 1), \mathrm{C}(-1\:;-1) et \mathrm{D}(-3\:; 3).

Préparer la première. Géométrie
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{CB}}.

b. Étudier la colinéarité de ces deux vecteurs.

c. En déduire que le point \text{C} appartient à (\mathrm{AB}).

2. a. Calculer les longueurs \mathrm{AC}^{2}, \mathrm{CD}^{2} et \mathrm{AD}^{2}.

b. En déduire la nature du triangle \text{ACD.} Justifier.

c. En déduire la nature du point \text{C} dans le triangle \text{ABD.}

3. a. Grâce aux formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, calculer les mesures des angles \widehat{\mathrm{CAD}} et \widehat{\mathrm{CBD}}. Arrondir au degré près.

b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ADB}}.

4. Quelle est la nature du triangle \text{BDC ?}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
4

On donne les définitions suivantes.
  • Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et le milieu du segment opposé.
  • Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes.
Soit (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) un repère orthonormé du plan. On considère le point \mathrm{M}\left(\dfrac{1}{2}\:; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

1. Démontrer que \text{OIM} est un triangle équilatéral.

2. Calculer les coordonnées des points \text{A,} \text{B} et \text{C,} respectivement milieux des segments [\mathrm{OI}], [\mathrm{OM}] et [\mathrm{IM}].

3. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de \text{O,} puis celle de la médiane issue de \text{M} dans le triangle \text{OIM.}

4. En déduire les coordonnées du point \text{G,} centre de gravité du triangle \text{OIM.}

5. Montrer que \text{G} est le centre du cercle circonscrit au triangle \text{OIM.}

6. En déduire les deux points par lesquels passe la médiatrice du segment [\mathrm{OM}].

7. Calculer la somme vectorielle \overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{GO}}.

8. Conjecturer une caractérisation vectorielle du centre de gravité \text{P} d'un triangle \text{ RST.}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
5

Dans un repère (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points \mathrm{A}(5\:; 5) et \mathrm{B}(-4\:;-1). Soit d une droite du plan ayant pour vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {2}\end{pmatrix}.

Préparer la première. Géométrie
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Quelles sont les coordonnées du point \text{O}', image de l'origine \text{O} par la translation de vecteur \vec{u}\:?

2. Démontrer que les droites (\mathrm{BA}) et d sont parallèles.

3. Est-il possible de déterminer une équation de la droite d\:? Justifier la réponse.

4. \text{C} est le point de coordonnées (1\:; c)c est un nombre réel. Déterminer les coordonnées du point \text{C}', projeté orthogonal du point \text{C} sur l'axe des abscisses.

5. Déterminer la valeur du nombre c de sorte que les points \text{A,} \text{B} et \text{C} soient alignés.

6. Déterminer l'équation réduite de la droite (\mathrm{BA}).

7. Quelles sont les coordonnées de \text{D,} point d'intersection de la droite (\mathrm{BA}) avec l'axe des abscisses.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
6

On considère le repère (\mathrm{A}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}})\text{ABCD} est un parallélogramme.
\text{E} est le symétrique de \text{A} par rapport à \text{B.} Les points \text{I,} \text{J,} \text{K} et \text{L} sont tels que \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\:; \overrightarrow{\mathrm{BJ}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\:; \overrightarrow{\mathrm{CK}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{CD}} et \overrightarrow{\mathrm{DL}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DA}}.

1. Faire une figure.

Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

2. Déterminer les coordonnées de tous les points cités dans l'énoncé.

3. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IJ}} et \overrightarrow{\mathrm{LK}}.

b. En déduire la nature du quadrilatère \text{IJKL.}

4. a. On considère le point \text{G} milieu du segment [\mathrm{BC}].
Placer \text{G} sur votre figure puis calculer ses coordonnées.

b. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EG}} et \overrightarrow{\mathrm{GD}}.

c. Que peut-on en déduire concernant le point \text{G ?}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
7

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points \mathrm{A}(2\:;-1), \mathrm{B}(1\:; 2) et \mathrm{M}(x\:; y).

1. Exprimer \mathrm{MO}^{2} et \mathrm{MA}^{2} en fonction de x et y.

2. On rappelle que la médiatrice \Delta de [\mathrm{OA}] est l'ensemble des points \text{M} tels que \text{MO = MA.} Comme ces distances sont positives, cela revient à \mathrm{MO}^{2}=\mathrm{M} \mathrm{A}^{2}.
En déduire une équation cartésienne de \Delta.

3. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [\mathrm{OB}], notée d.

4. Calculer les coordonnées de \text{C,} point d'intersection de ces deux droites. Que peut-on dire de \text{C} dans le triangle \text{OAB ?}

5. a. Calculer les coordonnées de \text{K,} milieu de [\mathrm{AB}].

b. En déduire la nature du triangle \text{OAB.}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
8

Sur une droite de repère ( \mathrm { O } \:; \vec { i } ), on considère deux points \text{A}(a) et \text{B}(b).

Préparer la première. Géométrie
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Le point \text{I} défini par \overrightarrow { \mathrm { IA } } + \overrightarrow { \mathrm { IB } } = \overrightarrow { 0 } a pour coordonnées \dfrac { a + b } { 2 } (moyenne des nombres a et b) et correspond au milieu de [\text{AB}]. On va chercher à savoir ce qui se passe pour d'autres relations. On fera une figure à chaque question.

1. On considère la série statistique ci-dessous.

 x_i29
 n_i73

a. Calculer la moyenne \overline { x } de cette série.

b. On se place dans un repère ( \mathrm { O } \:; \vec { i } ) d'une droite.
Soit \text{A}(2) et \text{B}(9). Montrer que le point \text{M} défini par 7 \overrightarrow { \mathrm { MA } } + 3 \overrightarrow { \mathrm { MB } } = \overrightarrow { 0 } vérifie \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 7 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \dfrac { 3 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OB } }.

c. En déduire que M a pour coordonnée \overline { x }. On dit que \text{M} est le barycentre du système \{ ( \mathrm { A } , 7 ) \: ; ( \mathrm { B } , 3 ) \}.
On pourrait faire une démonstration similaire en se plaçant dans le plan et en travaillant avec les deux coordonnées des points.

2. a. On considère ici les séries statistiques \text{X} et \text{Y.}

 x_i-141
 n_i111


 x_i-113
 n_i111

Calculer les moyennes \overline { x } et \overline { y } des séries \text{X} et \text{Y.}

b. On se place dans le repère du plan ( \mathrm { O } \:; \vec { i } , \vec { j } ).
On donne \text{A}(-1\: ; - 1), \text{B}(4\: ; 1) et \text{C}(1\: ; 3) . Soit le point \text{M} défini par \overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 }.
Montrer que \overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 } \Leftrightarrow \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \overrightarrow { \mathrm { OB } } + \overrightarrow { \mathrm { OC } } ).
En déduire que \text{M} a pour coordonnées ( \overline { x }\: ; \overline { y } ). \text{M} est appelé le centre de gravité du triangle \text{ABC.}

Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.