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Préparer la Première

Géométrie





5

Dans un repère (O;i,j),(\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points A(5;5)\mathrm{A}(5\:; 5) et B(4;1).\mathrm{B}(-4\:;-1). Soit dd une droite du plan ayant pour vecteur directeur u(32).\vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {2}\end{pmatrix}.

Préparer la première. Géométrie


1. Quelles sont les coordonnées du point O,\text{O}', image de l’origine O\text{O} par la translation de vecteur u?\vec{u}\:?

2. Démontrer que les droites (BA)(\mathrm{BA}) et dd sont parallèles.

3. Est-il possible de déterminer une équation de la droite d?d\:? Justifier la réponse.

4. C\text{C} est le point de coordonnées (1;c)(1\:; c)cc est un nombre réel. Déterminer les coordonnées du point C,\text{C}', projeté orthogonal du point C\text{C} sur l’axe des abscisses.

5. Déterminer la valeur du nombre cc de sorte que les points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} soient alignés.

6. Déterminer l’équation réduite de la droite (BA).(\mathrm{BA}).

7. Quelles sont les coordonnées de D,\text{D,} point d’intersection de la droite (BA)(\mathrm{BA}) avec l’axe des abscisses.

4

On donne les définitions suivantes.
  • Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et le milieu du segment opposé.
  • Le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection des trois médianes.
Soit (O;I,J)(\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) un repère orthonormé du plan. On considère le point M(12;32).\mathrm{M}\left(\dfrac{1}{2}\:; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
1. Démontrer que OIM\text{OIM} est un triangle équilatéral.

2. Calculer les coordonnées des points A,\text{A,} B\text{B} et C,\text{C,} respectivement milieux des segments [OI],[\mathrm{OI}], [OM][\mathrm{OM}] et [IM].[\mathrm{IM}].

3. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de O,\text{O,} puis celle de la médiane issue de M\text{M} dans le triangle OIM.\text{OIM.}

4. En déduire les coordonnées du point G,\text{G,} centre de gravité du triangle OIM.\text{OIM.}

5. Montrer que G\text{G} est le centre du cercle circonscrit au triangle OIM.\text{OIM.}

6. En déduire les deux points par lesquels passe la médiatrice du segment [OM].[\mathrm{OM}].

7. Calculer la somme vectorielle GM+GI+GO.\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{GO}}.

8. Conjecturer une caractérisation vectorielle du centre de gravité P\text{P} d’un triangle  RST.\text{ RST.}

3

Soit (O;i,j)(\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(3;2),\mathrm{A}(-3\:;-2), B(3;1), \mathrm{B}(3\:; 1), C(1;1)\mathrm{C}(-1\:;-1) et D(3;3).\mathrm{D}(-3\:; 3).

Préparer la première. Géométrie


1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} et CB.\overrightarrow{\mathrm{CB}}.

b. Étudier la colinéarité de ces deux vecteurs.

c. En déduire que le point C\text{C} appartient à (AB).(\mathrm{AB}).

2. a. Calculer les longueurs AC2,\mathrm{AC}^{2}, CD2\mathrm{CD}^{2} et AD2.\mathrm{AD}^{2}.

b. En déduire la nature du triangle ACD.\text{ACD.} Justifier.

c. En déduire la nature du point C\text{C} dans le triangle ABD.\text{ABD.}

3. a. Grâce aux formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, calculer les mesures des angles CAD^\widehat{\mathrm{CAD}} et CBD^.\widehat{\mathrm{CBD}}. Arrondir au degré près.

b. En déduire la mesure de l’angle ADB^.\widehat{\mathrm{ADB}}.

4. Quelle est la nature du triangle BDC ?\text{BDC ?}

8

Sur une droite de repère (O;i),( \mathrm { O } \:; \vec { i } ), on considère deux points A(a)\text{A}(a) et B(b).\text{B}(b).

Préparer la première. Géométrie

Le point I\text{I} défini par IA+IB=0\overrightarrow { \mathrm { IA } } + \overrightarrow { \mathrm { IB } } = \overrightarrow { 0 } a pour coordonnées a+b2\dfrac { a + b } { 2 } (moyenne des nombres aa et bb) et correspond au milieu de [AB].[\text{AB}]. On va chercher à savoir ce qui se passe pour d’autres relations. On fera une figure à chaque question.

1. On considère la série statistique ci-dessous.

 xix_i 2 9
 nin_i 7 3

a. Calculer la moyenne x\overline { x } de cette série.

b. On se place dans un repère (O;i)( \mathrm { O } \:; \vec { i } ) d’une droite.
Soit A(2)\text{A}(2) et B(9).\text{B}(9). Montrer que le point M\text{M} défini par 7MA+3MB=07 \overrightarrow { \mathrm { MA } } + 3 \overrightarrow { \mathrm { MB } } = \overrightarrow { 0 } vérifie OM=710OA+310OB.\overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 7 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \dfrac { 3 } { 10 } \overrightarrow { \mathrm { OB } }.

c. En déduire que MM a pour coordonnée x.\overline { x }. On dit que M\text{M} est le barycentre du système {(A,7);(B,3)}.\{ ( \mathrm { A } , 7 ) \: ; ( \mathrm { B } , 3 ) \}.
On pourrait faire une démonstration similaire en se plaçant dans le plan et en travaillant avec les deux coordonnées des points.

2. a. On considère ici les séries statistiques X\text{X} et Y.\text{Y.}

 xix_i -1 4 1
 nin_i 1 1 1


 xix_i -1 1 3
 nin_i 1 1 1

Calculer les moyennes x\overline { x } et y\overline { y } des séries X\text{X} et Y.\text{Y.}

b. On se place dans le repère du plan (O;i,j).( \mathrm { O } \:; \vec { i } , \vec { j } ).
On donne A(1;1)\text{A}(-1\: ; - 1), B(4;1)\text{B}(4\: ; 1) et C(1;3)\text{C}(1\: ; 3) . Soit le point M\text{M} défini par MA+MB+MC=0.\overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 }.
Montrer que MA+MB+MC=0OM=13(OA+OB+OC).\overrightarrow { \mathrm { MA } } + \overrightarrow { \mathrm { MB } } + \overrightarrow { \mathrm { MC } } = \overrightarrow { 0 } \Leftrightarrow \overrightarrow { \mathrm { OM } } = \dfrac { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { \mathrm { OA } } + \overrightarrow { \mathrm { OB } } + \overrightarrow { \mathrm { OC } } ).
En déduire que M\text{M} a pour coordonnées (x;y).( \overline { x }\: ; \overline { y } ). M\text{M} est appelé le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}


NOTE

De façon générale, la définition du barycentre permet de définir par une relation vectorielle le point moyen d’un nuage de points d’une série statistique. Le barycentre a aussi beaucoup d’autres utilisations en mathématiques, mais également en sciences physiques, en ingénierie et en imagerie.

2

Soit (O;i,j)(\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(0;1),\mathrm{A}(0\:; 1), B(3;0),\mathrm{B}(3\:; 0), C(2;3)\mathrm{C}(2\:; 3) et D(5;2).\mathrm{D}(5\:; 2).

Préparer la première. Géométrie


1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.\overrightarrow{\mathrm{AB}}.

2. Calculer les coordonnées des points E\text{E} et F,\text{F,} respectivement milieux des segments [AD][\mathrm{AD}] et [CB].[\mathrm{CB}].

3. a. Déterminer la nature du quadrilatère ABDC.\text{ABDC.} Justifier la réponse.

b. En déduire les coordonnées du vecteur CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} sans calcul. Justifier la réponse.

c. En déduire une équation cartésienne de (CD).(\mathrm{CD}).

4. a. Déterminer les coordonnées du point C\text{C}', symétrique de C\text{C} par rapport à l’axe des ordonnées.

b. Déterminer une équation cartésienne de (CA)\left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right)

5. a. Justifier que les droites (CD)(\mathrm{CD}) et (CA)\left(\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}\right) sont sécantes.

b. Calculer les coordonnées de G,\text{G,} leur point d’intersection

7

Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points A(2;1),\mathrm{A}(2\:;-1), B(1;2)\mathrm{B}(1\:; 2) et M(x;y).\mathrm{M}(x\:; y).

1. Exprimer MO2\mathrm{MO}^{2} et MA2\mathrm{MA}^{2} en fonction de xx et y.y.

2. On rappelle que la médiatrice Δ\Delta de [OA][\mathrm{OA}] est l’ensemble des points M\text{M} tels que MO = MA.\text{MO = MA.} Comme ces distances sont positives, cela revient à MO2=MA2.\mathrm{MO}^{2}=\mathrm{M} \mathrm{A}^{2}.
En déduire une équation cartésienne de Δ.\Delta.

3. De même, déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [OB],[\mathrm{OB}], notée d.d.

4. Calculer les coordonnées de C,\text{C,} point d’intersection de ces deux droites. Que peut-on dire de C\text{C} dans le triangle OAB ?\text{OAB ?}

5. a. Calculer les coordonnées de K,\text{K,} milieu de [AB].[\mathrm{AB}].

b. En déduire la nature du triangle OAB.\text{OAB.}

6

On considère le repère (A;AB,AD)\mathrm{A}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}})ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme.
E\text{E} est le symétrique de A\text{A} par rapport à B.\text{B.} Les points I,\text{I,} J,\text{J,} K\text{K} et L\text{L} sont tels que AI=13AB;\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\:; BJ=13BC;\overrightarrow{\mathrm{BJ}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\:; CK=13CD\overrightarrow{\mathrm{CK}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{CD}} et DL=13DA.\overrightarrow{\mathrm{DL}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DA}}.

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra

2. Déterminer les coordonnées de tous les points cités dans l’énoncé.

3. a. Calculer les coordonnées des vecteurs IJ\overrightarrow{\mathrm{IJ}} et LK.\overrightarrow{\mathrm{LK}}.

b. En déduire la nature du quadrilatère IJKL.\text{IJKL.}

4. a. On considère le point G\text{G} milieu du segment [BC].[\mathrm{BC}].
Placer G\text{G} sur votre figure puis calculer ses coordonnées.

b. Calculer les coordonnées des vecteurs EG\overrightarrow{\mathrm{EG}} et GD.\overrightarrow{\mathrm{GD}}.

c. Que peut-on en déduire concernant le point G ?\text{G ?}

1

Soit (O;i,j)(\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(1;2), \mathrm{A}(1\:; 2), B(3;1)\mathrm{B}(3\:; 1) et C(2;3).\mathrm{C}(-2 ; 3).

1. Calculer la longueur AB\text{AB} arrondie au dixième.

2. Faire une figure avec les données de l’énoncé puis :
  • construire le point C\text{C}', image du point C\text{C} par la translation de vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} ;
  • placer le point M\text{M} tel que OM=AB;\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:;
  • tracer la droite dd de vecteur directeur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par O.\text{O.}

Lancer le module Geogebra

3. Citer un second vecteur directeur de la droite dd et lire ses coordonnées.

4. Déterminer une équation cartésienne de la droite d.d.

5. Démontrer que la droite dd' de vecteur directeur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} passant par C\text{C}' est parallèle à d.d.

6. Déterminer l’équation réduite de la droite d.d'.
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