Positions relatives de droites

$\overrightarrow{u}(-b;a)$ et ${\overrightarrow{u}}^{\prime }(-b^{\prime };a^{\prime })$ sont des vecteurs directeurs respectifs de $d$ et $d^{\prime }$.

$d$ et $d^{\prime }$ sont sécantes si, et seulement si, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u^{\prime }}$ ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est différent de 0.

Or, ce déterminant est égal à $-b{a}^{\prime }-\left(-b^{\prime }\right)a=a{b}^{\prime }-a^{\prime }b.$

Déplacer les points pour modifier les droites et les équations qui leur sont associées.

Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées $(x;y)$ de leur point d'intersection sont solutions du système : $\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$

Le point d'intersection appartient simultanément aux deux droites donc ses coordonnées vérifient simultanément les deux équations.

Soient $d$ et $d^{\prime }$ deux droites d'équations cartésiennes $ax+by+c=0$ et $ax+by+c^{\prime }=0$. $d$ et $d^{\prime }$ sont distinctes si, et seulement si, $c\ne c^{\prime }.$

$d$ et $d^{\prime }$ ont pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-b;a).$ Elles sont donc parallèles. Elles sont distinctes si, et seulement si, pour tout point $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ appartenant à $d,\mathrm{A}\notin d^{\prime }$ donc si, et seulement si, $a{x}_{\mathrm{A}}+b{y}_{\mathrm{A}}+c=0$ et $a{x}_{\mathrm{A}}+b{y}_{\mathrm{A}}+c^{\prime }\ne 0$ d'où $c\ne c^{\prime }.$

Soit $y=mx+p$ et y$=m^{\prime }x+p^{\prime }$ les équations réduites de deux droites $d$ et $d^{\prime }$.
Alors leurs équations cartésiennes s'écrivent $mx-y+p=0$ et $m^{\prime }x-y+p^{\prime }=0$.
$d$ et $d^{\prime }$ sont parallèles équivaut à $m\times (-1)-m^{\prime }\times (-1)=0$, c'est-à-dire $m=m^{\prime }$.

• $\{\begin{array}{l}3=2\times 4-5\\ 4-5\times 3+11=0\end{array}$ donc $\text{A}$ est l'intersection de $d_1$ et $d_3$.


• $\{\begin{array}{l}9+4\times 4=25\\ 9-5\times 4+11=0\end{array}$ donc $\text{B}$ est l'intersection de $d_2$ et $d_3$.


• $\{\begin{array}{l}5=2\times 5-5\\ 5+4\times 5=25\end{array}$ donc $\text{C}$ est l'intersection de $d_2$ et $d_2$.

Exercices

21

p.  27 et

65

p. 232

$1\times 6-(-5)\times (-8)\ne 0$ donc $d$ et $d^{\prime }$ sont sécantes. On résout le système formé des équations des deux droites : $\{\begin{array}{l}x-8y+10=0\\ -5x+6y+18=0\end{array}.$
Par substitution : On isole $x$ dans la première ligne $x=8y-10$. On remplace $x$ par cette expression dans la seconde équation : $-5\times (8y-10)+6y+18=0$, soit $-34y+68=0$ soit $y=2.$
Donc $x=8\times 2-10=6.$
Le point d'intersection des deux droites est le point de coordonnées $(6;2).$

Exercices

26 et 27

p. 227 et

83

p. 234