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COURS 3


3
Positions relatives de droites




B
Droites sécantes et système d’équations


Théorème

Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées (x;y)(x \:; y) de leur point d’intersection sont solutions du système : {ax+by+c=0ax+by+c=0 \begin{cases} { a x + b y + c = 0 } \\ { a ^ { \prime } x + b ^ { \prime } y + c' = 0 } \end{cases}

DÉMONSTRATION

Le point d’intersection appartient simultanément aux deux droites donc ses coordonnées vérifient simultanément les deux équations.

A
Droites parallèles ou sécantes


DÉMONSTRATION

u(b;a)\vec { u } ( - b\: ; a ) et u(b;a)\vec { u } ^ { \prime } ( - b ' \:; a ' ) sont des vecteurs directeurs respectifs de dd et dd'.

dd et dd' sont sécantes si, et seulement si, u\vec { u } et u\vec { u' } ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est différent de 0.

Or, ce déterminant est égal à ba(b)a=abab.- b a ^ { \prime } - \left( - b ^ { \prime } \right) a = a b ^ { \prime } - a ^ { \prime } b.

LOGIQUE

Par conséquent : dd et dd' sont parallèles si, et seulement si, abab=0a'b - ab' = 0

Théorème

Soient deux droites dd et dd' d’équations respectives ax+by+c=0ax + by + c = 0 et ax+by+c=0a'x + b'y + c' = 0aa, bb, cc, aa', bb' et cc' sont des réels.
Les droites dd et dd' sont sécantes si, et seulement si, abab0.ab' - a'b \neq 0.

Application et méthode


Méthode

1. On vérifie que les droites sont bien sécantes à l’aide du déterminant.

2. On écrit le système formé des deux équations de droites.

3. On résout le système en utilisant la méthode par substitution ou par combinaisons linéaires.

Énoncé

Droites sécantes et système

Déterminer l’intersection des droites dd et dd' d’équations cartésiennes x8y+10=0x - 8y + 10 = 0 et 5x+6y+18=0-5x + 6y + 18 = 0 .

Méthode

On teste chaque équation avec les coordonnées des trois points.

On peut aussi s’aider d’un graphique.

SOLUTION

  • {3=2×4545×311=0 \begin{cases} { 3 = 2 \times 4 - 5 } \\ { 4 - 5 \times 3 - 11 = 0 } \end{cases} donc A\text{A} est l’intersection de d1d_1 et d3d_3.

  • {9+4×4=2595×411=0\begin{cases}{ 9 + 4 \times 4 = 25 } \\ { 9 - 5 \times 4 - 11 = 0 } \end{cases} donc B\text{B} est l’intersection de d2d_2 et d3d_3.

  • {5=2×555+4×5=25\begin{cases} { 5 = 2 \times 5 - 5 } \\ { 5 + 4 \times 5 = 25 } \end{cases} donc C\text{C} est l’intersection de d2d_2 et d2d_2.


Pour s'entrainer : exercices 21 p. 227 et 65 p. 232

Énoncé

Positions relatives

Dans un repère orthonormé, on donne les droites d’équations : d1:y=2x5d _ { 1 } : y = 2 x - 5, d2:x+4y=25d _ { 2 } : x + 4 y = 25 et d3:x5y11=0.d _ { 3 } : x - 5 y - 11 = 0.
Elles se coupent en A(4;3)\text{A} ( 4\: ; 3 ), B(9;4)\text{B} ( 9 \:; 4 ) et C(5;5).\text{C} ( 5\: ; 5 ). Associer à chaque point la paire de droites dont il est l’intersection.

SOLUTION

1×6(5)×(8)01 \times 6 - ( - 5 ) \times ( - 8 ) \neq 0 donc dd et dd' sont sécantes. On résout le système formé des équations des deux droites : {x8y+10=05x+6y+18=0.\begin{cases}{ x - 8 y + 10 = 0 } \\ { - 5 x + 6 y + 18 = 0 } \end{cases}.
Par substitution : On isole xx dans la première ligne x=8y10x = 8y - 10 . On remplace xx par cette expression dans la seconde équation : 5×(8y10)+6y+18=0-5 \times (8y - 10) + 6y + 18 = 0 , soit 34y+68=0-34y + 68 = 0 soit y=2.y = 2 .
Donc x=8×210=6.x = 8 \times 2 - 10 = 6 .
Le point d'intersection des deux droites est le point de coordonnées (6;2).(6 \:; 2).

Pour s'entrainer : exercices 26 et 27 p. 227 et 83 p. 234

C
Droites parallèles


Théorème

Deux droites sont parallèles (ou confondues) si, et seulement si, leurs coefficients directeurs sont égaux.

DÉMONSTRATION

dd et dd' ont pour vecteur directeur u(b;a).\vec { u } ( - b\: ; a ). Elles sont donc parallèles. Elles sont distinctes si, et seulement si, pour tout point A(xA;yA)\mathrm { A } \left( x _ { \mathrm { A } }\: ; y _ { \mathrm { A } } \right) appartenant à d,Add , \mathrm { A } \notin d ^ { \prime } donc si, et seulement si, axA+byA+c=0a x _ { \mathrm { A } } + b y _ { \mathrm { A } } + c = 0 et axA+byA+c0a x _ { \mathrm { A } } + b y _ { \mathrm { A } } + c ^ { \prime } \neq 0 d'où cc.c \neq c ^ { \prime }.

DÉMONSTRATION

Soit y=mx+py = mx + p et y=mx+p = m'x + p' les équations réduites de deux droites dd et dd'.
Alors leurs équations cartésiennes s’écrivent mxy+p=0mx - y + p = 0 et mxy+p=0m'x - y + p' = 0 .
dd et dd' sont parallèles équivaut à m×(1)m×(1)=0m \times ( - 1 ) - m ^ { \prime } \times ( - 1 ) = 0, c’est-à-dire m=mm = m'.

Remarque

Deux droites confondues sont parallèles.

Théorème

Soient dd et dd' deux droites d’équations cartésiennes ax+by+c=0ax + by + c = 0 et ax+by+c=0ax + by + c' = 0. dd et dd' sont distinctes si, et seulement si, cc.c \neq c'.
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