Mathématiques 2de

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 8
Cours 3

Positions relatives de droites

14 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Droites parallèles ou sécantes

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Soient deux droites d et d' d'équations respectives ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0a, b, c, a', b' et c' sont des réels.
Les droites d et d' sont sécantes si, et seulement si, ab' - a'b \neq 0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Logique

Par conséquent : d et d' sont parallèles si, et seulement si, a'b - ab' = 0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
\vec { u } ( - b\: ; a ) et \vec { u } ^ { \prime } ( - b ' \:; a ' ) sont des vecteurs directeurs respectifs de d et d'.

d et d' sont sécantes si, et seulement si, \vec { u } et \vec { u' } ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est différent de 0.

Or, ce déterminant est égal à - b a ^ { \prime } - \left( - b ^ { \prime } \right) a = a b ^ { \prime } - a ^ { \prime } b.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
EXCLU. PREMIUM 2023

Position relative de droites

Déplacer les points pour modifier les droites et les équations qui leur sont associées.

Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Droites sécantes et système d'équations

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées (x \:; y) de leur point d'intersection sont solutions du système : \begin{cases} { a x + b y + c = 0 } \\ { a ^ { \prime } x + b ^ { \prime } y + c' = 0 } \end{cases}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Le point d'intersection appartient simultanément aux deux droites donc ses coordonnées vérifient simultanément les deux équations.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Droites parallèles

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Soient d et d' deux droites d'équations cartésiennes ax + by + c = 0 et ax + by + c' = 0. d et d' sont distinctes si, et seulement si, c \neq c'.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
d et d' ont pour vecteur directeur \vec { u } ( - b\: ; a ). Elles sont donc parallèles. Elles sont distinctes si, et seulement si, pour tout point \mathrm { A } \left( x _ { \mathrm { A } }\: ; y _ { \mathrm { A } } \right) appartenant à d , \mathrm { A } \notin d ^ { \prime } donc si, et seulement si, a x _ { \mathrm { A } } + b y _ { \mathrm { A } } + c = 0 et a x _ { \mathrm { A } } + b y _ { \mathrm { A } } + c ^ { \prime } \neq 0 d'où c \neq c ^ { \prime }.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Deux droites sont parallèles (ou confondues) si, et seulement si, leurs coefficients directeurs sont égaux.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Deux droites confondues sont parallèles.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soit y = mx + p et y = m'x + p' les équations réduites de deux droites d et d'.
Alors leurs équations cartésiennes s'écrivent mx - y + p = 0 et m'x - y + p' = 0 .
d et d' sont parallèles équivaut à m \times ( - 1 ) - m ^ { \prime } \times ( - 1 ) = 0, c'est-à-dire m = m'.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Positions relatives

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne les droites d'équations : d _ { 1 } : y = 2 x - 5, d _ { 2 } : x + 4 y = 25 et d _ { 3 } : x - 5 y + 11 = 0. Elles se coupent en \text{A} ( 4\: ; 3 ), \text{B} ( 9 \:; 4 ) et \text{C} ( 5\: ; 5 ). Associer à chaque point la paire de droites dont il est l'intersection.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On teste chaque équation avec les coordonnées des trois points.

On peut aussi s'aider d'un graphique.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
  • \begin{cases} { 3 = 2 \times 4 - 5 } \\ { 4 - 5 \times 3 + 11 = 0 } \end{cases} donc \text{A} est l'intersection de d_1 et d_3.

  • \begin{cases}{ 9 + 4 \times 4 = 25 } \\ { 9 - 5 \times 4 + 11 = 0 } \end{cases} donc \text{B} est l'intersection de d_2 et d_3.

  • \begin{cases} { 5 = 2 \times 5 - 5 } \\ { 5 + 4 \times 5 = 25 } \end{cases} donc \text{C} est l'intersection de d_2 et d_2.

Pour s'entraîner
Exercices p.  27 et p. 232
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Droites sécantes et système

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Déterminer l'intersection des droites d et d' d'équations cartésiennes x - 8y + 10 = 0 et -5x + 6y + 18 = 0 .
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. On vérifie que les droites sont bien sécantes à l'aide du déterminant.

2. On écrit le système formé des deux équations de droites.

3. On résout le système en utilisant la méthode par substitution ou par combinaisons linéaires.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1 \times 6 - ( - 5 ) \times ( - 8 ) \neq 0 donc d et d' sont sécantes. On résout le système formé des équations des deux droites : \begin{cases}{ x - 8 y + 10 = 0 } \\ { - 5 x + 6 y + 18 = 0 } \end{cases}.
Par substitution : On isole x dans la première ligne x = 8y - 10 . On remplace x par cette expression dans la seconde équation : -5 \times (8y - 10) + 6y + 18 = 0 , soit -34y + 68 = 0 soit y = 2 .
Donc x = 8 \times 2 - 10 = 6 .
Le point d'intersection des deux droites est le point de coordonnées (6 \:; 2).

Pour s'entrainer
Exercices p. 227 et p. 234

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.