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Chapitre 8
Cours 2
Coefficient directeur et équation réduite
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ACoefficient directeur d'une droite
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Théorème
Une droite d d'équation ax + by + c = 0 où b \neq 0 possède un vecteur directeur de coordonnées (1\:;m) avec m = -\dfrac{a}{b}.
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Démonstration
Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec b \neq 0.
Alors le vecteur \vec { u } ( - b\: ; a ) est un vecteur directeur de la droite d.
Le vecteur \dfrac { 1 } { - b } \vec { u } de coordonnées \left( 1\: ; \dfrac { a } { - b } \right) est colinéaire à \vec { u } ( - b\: ; a ), donc c'est un vecteur directeur de la droite d.
Le nombre m vaut -\dfrac { a } { b }.
Alors le vecteur \vec { u } ( - b\: ; a ) est un vecteur directeur de la droite d.
Le vecteur \dfrac { 1 } { - b } \vec { u } de coordonnées \left( 1\: ; \dfrac { a } { - b } \right) est colinéaire à \vec { u } ( - b\: ; a ), donc c'est un vecteur directeur de la droite d.
Le nombre m vaut -\dfrac { a } { b }.
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Définition
Le nombre m s'appelle coefficient directeur de la droite d.
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Exemple
La droite d d'équation 3x + 2y - 11 = 0 a pour vecteur directeur (1 \:; - 1\text{,}5) donc son coefficient directeur est -1\text{,}5.
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Application et méthode
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Énoncé
Déterminer graphiquement le coefficient directeur des droites (\text{AB}) et (\text{CD}).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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- On identifie un vecteur directeur \vec{u} de la droite (\text{AB}) puis on cherche le vecteur colinéaire à \vec{u} qui est de la forme (1\:;m).
- Le nombre m est le coefficient directeur de (\text{AB}).
- On trouve le coefficient directeur de (\text{CD}) de la même manière.
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Solution
- \overrightarrow { \text{AB} } ( 3\: ; - 5 ) est un vecteur directeur de la droite (\text{AB}) donc le vecteur \left( 1 \:; - \dfrac { 5 } { 3 } \right) en est aussi un.
- Le coefficient directeur de la droite (\text{AB}) vaut donc - \dfrac { 5 } { 3 }.
- \overrightarrow { \mathrm { CD } } ( 8 \:; 1 ) est un vecteur directeur de la droite (\text{CD}) donc le vecteur \left( 1 \:; \dfrac { 1 } { 8 } \right) en est aussi un. Donc le coefficient directeur de la droite (\text{CD}) vaut \dfrac{1}{8}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 227
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BÉquation réduite d'une droite
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Théorème
Soit une droite d de coefficient directeur m. Il existe un unique nombre p tel que l'équation de d s'écrit y = mx + p .
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Il existe une seule équation réduite d'une droite car il n'y a qu'un vecteur directeur de la forme (1 \:; m).
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Démonstration
Si (1\: ; m) est un vecteur directeur de la droite d, alors son équation cartésienne (de la forme ax + by + c = 0) s'écrit mx - y + k = 0 soit y = mx + k , où k est un nombre réel. Le nombre k est le nombre p cherché.
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La droite d'équation y = mx + p coupe l'axe des ordonnées en p.
C'est pour cela que le nombre p s'appelle ordonnée à l'origine de la droite d .
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Définition
L'équation y = mx + p s'appelle équation réduite de la droite d.
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Propriété
Le coefficient directeur d'une droite (\text{AB}) non parallèle à l'axe des ordonnées est égal à \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.
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On a aussi m = \dfrac { y _ { \mathrm { A } } - y _ { \mathrm { B } } } { x _ { \mathrm { A } } - x _ { \mathrm { B } } }.
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Démonstration
Soient \text{A} et \text{B} deux points disctincts. Le vecteur \overrightarrow { \mathrm { AB } } \left( x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } \:; y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } \right) est un vecteur directeur de la droite (\text{AB}), donc le vecteur \dfrac { 1 } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } \overrightarrow { \mathrm { AB } } aussi car x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } \neq 0 : ses coordonnées sont \left( 1\: ; \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } \right).
On a donc m = \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.
On a donc m = \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.
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On peut associer une équation réduite à une fonction affine. Lorsque m \gt 0, la fonction est croissante. Lorsque m = 0 , elle est constante et lorsque m \lt 0, elle est décroissante.
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Exemple
Le coefficient directeur de la droite passant par \text{A}(1 \:; 3) et \text{B}(4\: ; 5) est m=\dfrac{2}{3}.
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Application et méthode
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Énoncé
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par les points \text{A}(-4\: ; 4) et \text{B}(3\: ; 0).
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- On commence par calculer le coefficient directeur.
- On utilise ensuite les coordonnées d'un des deux points pour calculer l'ordonnée à l'origine.
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Solution
- Le coefficient directeur de la droite (\mathrm { AB }) vaut \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } = \dfrac { 0 - 4 } { 3 - ( - 4 ) } = - \dfrac { 4 } { 7 }.
- Comme B appartient à la droite (\mathrm { AB }), ses coordonnées vérifient l'équation y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + p : 0 = - \dfrac { 4 } { 7 } \times 3 + p donc p = \dfrac { 12 } { 7 }.
Donc l'équation réduite de la droite (\mathrm { AB }) s'écrit y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + p avec p à déterminer.
La droite (\mathrm { AB }) a donc pour équation réduite y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + \dfrac { 12 } { 7 }.
Pour s'entrainer
Exercices p. 227, p. 231 et p. 232
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