COURS 2


2
Coefficient directeur et équation réduite




Application et méthode


SOLUTION

  • AB(3;5)\overrightarrow { \text{AB} } ( 3\: ; - 5 ) est un vecteur directeur de la droite (AB)(\text{AB}) donc le vecteur (1;53)\left( 1 \:; - \dfrac { 5 } { 3 } \right) en est aussi un.
  • Le coefficient directeur de la droite (AB)(\text{AB}) vaut donc 53.- \dfrac { 5 } { 3 }.
  • CD(8;1)\overrightarrow { \mathrm { CD } } ( 8 \:; 1 ) est un vecteur directeur de la droite (CD)(\text{CD}) donc le vecteur (1;18)\left( 1 \:; \dfrac { 1 } { 8 } \right) en est aussi un. Donc le coefficient directeur de la droite (CD)(\text{CD}) vaut 18.\dfrac{1}{8}.


Pour s'entraîner : exercices 17 et 18 p. 227

Énoncé

Déterminer graphiquement le coefficient directeur des droites (AB)(\text{AB}) et (CD)(\text{CD}).


Coefficient directeur d’une droite

Méthode

  • On identifie un vecteur directeur u\vec{u} de la droite (AB)(\text{AB}) puis on cherche le vecteur colinéaire à u\vec{u} qui est de la forme (1;m).(1\:;m).
  • Le nombre mm est le coefficient directeur de (AB).(\text{AB}).
  • On trouve le coefficient directeur de (CD)(\text{CD}) de la même manière.

B
Équation réduite d’une droite


Théorème

Soit une droite dd de coefficient directeur mm. Il existe un unique nombre pp tel que l’équation de dd s’écrit y=mx+p.y = mx + p .

Définition

L’équation y=mx+py = mx + p s’appelle équation réduite de la droite dd.

Remarque

On peut associer une équation réduite à une fonction affine. Lorsque m>0m \gt 0, la fonction est croissante. Lorsque m=0m = 0 , elle est constante et lorsque m<0m \lt 0, elle est décroissante.

Remarque

On a aussi m=yAyBxAxB.m = \dfrac { y _ { \mathrm { A } } - y _ { \mathrm { B } } } { x _ { \mathrm { A } } - x _ { \mathrm { B } } }.

Propriété

Le coefficient directeur d’une droite (AB)(\text{AB}) non parallèle à l’axe des ordonnées est égal à yByAxBxA.\dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.

LOGIQUE

Il existe une seule équation réduite d’une droite car il n’y a qu’un vecteur directeur de la forme (1;m).(1 \:; m).

DÉMONSTRATION

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points disctincts. Le vecteur AB(xBxA;yByA)\overrightarrow { \mathrm { AB } } \left( x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } \:; y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } \right) est un vecteur directeur de la droite (AB)(\text{AB}), donc le vecteur 1xBxAAB\dfrac { 1 } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } \overrightarrow { \mathrm { AB } } aussi car xBxA0x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } \neq 0 : ses coordonnées sont (1;yByAxBxA).\left( 1\: ; \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } \right).
On a donc m=yByAxBxA.m = \dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } }.

DÉMONSTRATION

Si (1;m)(1\: ; m) est un vecteur directeur de la droite dd, alors son équation cartésienne (de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0) s’écrit mxy+k=0mx - y + k = 0 soit y=mx+ky = mx + k , où kk est un nombre réel. Le nombre kk est le nombre pp cherché.

Exemple

Le coefficient directeur de la droite passant par A(1;3)\text{A}(1 \:; 3) et B(4;5)\text{B}(4\: ; 5) est m=23.m=\dfrac{2}{3}.

Remarque

La droite d’équation y=mx+py = mx + p coupe l’axe des ordonnées en p.p.
C’est pour cela que le nombre pp s’appelle ordonnée à l’origine de la droite d.d .

Application et méthode


SOLUTION

  • Le coefficient directeur de la droite (AB)(\mathrm { AB }) vaut
  • yByAxBxA\dfrac { y _ { \mathrm { B } } - y _ { \mathrm { A } } } { x _ { \mathrm { B } } - x _ { \mathrm { A } } } =043(4)= \dfrac { 0 - 4 } { 3 - ( - 4 ) } =47.= - \dfrac { 4 } { 7 }.
    Donc l’équation réduite de la droite (AB)(\mathrm { AB }) s’écrit y=47x+py = - \dfrac { 4 } { 7 } x + p avec pp à déterminer.
  • Comme BB appartient à la droite (AB)(\mathrm { AB }), ses coordonnées vérifient l’équation y=47x+p:0y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + p : 0 =47×3+p= - \dfrac { 4 } { 7 } \times 3 + p donc
  • p=127p = \dfrac { 12 } { 7 }.
    La droite (AB)(\mathrm { AB }) a donc pour équation réduite y=47x+127y = - \dfrac { 4 } { 7 } x + \dfrac { 12 } { 7 }.


Pour s'entrainer : exercices 22 p. 227, 59 p. 231 et 62 p. 232

Méthode

  • On commence par calculer le coefficient directeur.

  • On utilise ensuite les coordonnées d’un des deux points pour calculer l’ordonnée à l’origine.

Énoncé

Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points A(4;4)\text{A}(-4\: ; 4) et B(3;0)\text{B}(3\: ; 0).

A
Coefficient directeur d’une droite


Définition

Le nombre mm s’appelle coefficient directeur de la droite dd.

Exemple

La droite dd d’équation 3x+2y11=03x + 2y - 11 = 0 a pour vecteur directeur (1;1,5)(1 \:; - 1\text{,}5) donc son coefficient directeur est 1,5-1\text{,}5.

Théorème

Une droite dd d’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0b0b \neq 0 possède un vecteur directeur de coordonnées (1;m)(1\:;m) avec m=ab.m = -\dfrac{a}{b}.

DÉMONSTRATION

Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec b0b \neq 0.
Alors le vecteur u(b;a)\vec { u } ( - b\: ; a ) est un vecteur directeur de la droite dd.
Le vecteur 1bu\dfrac { 1 } { - b } \vec { u } de coordonnées (1;ab) \left( 1\: ; \dfrac { a } { - b } \right) est colinéaire à u(b;a)\vec { u } ( - b\: ; a ), donc c’est un vecteur directeur de la droite dd.
Le nombre mm vaut ab.-\dfrac { a } { b }.
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