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p. 1-11

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Ch. A

Statistiques continues

Ch. B

Statistiques bivariées

Ch. C

Probabilités conditionnelles

Ch. D

Valeur absolue

Nombres et calculs

Fonctions

Ch. 1

Généralités sur les fonctions

Ch. 2

Variations de fonctions

Ch. 3

Fonctions affines

Ch. 4

Fonctions de référence

Géométrie

Ch. 5

Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6

Notion de vecteur

Ch. 7

Colinéarité de vecteurs

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 8

Équations de droites

Statistiques et probabilités

Ch. 9

Informations chiffrées

Ch. 10

Statistiques descriptives

Ch. 11

Probabilités et échantillonnage

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de collège

Jeux de société

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Chapitre 8

Cours 2

Coefficient directeur et équation réduite

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A
Coefficient directeur d'une droite

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Théorème

Une droite

d

d'équation

a x + b y + c = 0

où

b \neq = 0

possède un vecteur directeur de coordonnées

(1; m)

avec

m = - \frac{a}{b} .

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Démonstration

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation cartésienne de la forme

a x + b y + c = 0

avec

b \neq = 0

.
Alors le vecteur

u (- b; a)

est un vecteur directeur de la droite

d

.
Le vecteur

\frac{1}{- b} u

de coordonnées

(1; \frac{a}{- b})

est colinéaire à

u (- b; a)

, donc c'est un vecteur directeur de la droite

d

.
Le nombre

m

vaut

- \frac{a}{b} .

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Définition

Le nombre

m

s'appelle coefficient directeur de la droite

d .

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Exemple

La droite

d

d'équation

3 x + 2 y - 11 = 0

a pour vecteur directeur

(1; - 1, 5)

donc son coefficient directeur est

- 1, 5.

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Application et méthode

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Énoncé

Déterminer graphiquement le coefficient directeur des droites

(AB)

(CD)

Graphique : deux droites sécantes sur quadrillage, coefficient directeur illustré par points A, B, C, D.

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Méthode

On identifie un vecteur directeur $u$ de la droite $(AB)$ puis on cherche le vecteur colinéaire à $u$ qui est de la forme $(1; m) .$
Le nombre $m$ est le coefficient directeur de $(AB) .$
On trouve le coefficient directeur de $(CD)$ de la même manière.

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Solution

$AB (3; - 5)$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$ donc le vecteur $(1; - \frac{5}{3})$ en est aussi un.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut donc $- \frac{5}{3} .$
$CD (8; 1)$ est un vecteur directeur de la droite $(CD)$ donc le vecteur $(1; \frac{1}{8})$ en est aussi un. Donc le coefficient directeur de la droite $(CD)$ vaut $\frac{1}{8} .$

Pour s'entraîner

Exercices 17
et 18
p. 227

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B
Équation réduite d'une droite

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Théorème

Soit une droite

d

de coefficient directeur

m

. Il existe un unique nombre

p

tel que l'équation de

d

s'écrit

y = m x + p .

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Logique

Il existe une seule équation réduite d'une droite car il n'y a qu'un vecteur directeur de la forme

(1; m) .

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Démonstration

(1; m)

est un vecteur directeur de la droite

d

, alors son équation cartésienne (de la forme

a x + b y + c = 0

) s'écrit

m x - y + k = 0

soit

y = m x + k

, où

k

est un nombre réel. Le nombre

k

est le nombre

p

cherché.

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Remarque

La droite d'équation

y = m x + p

coupe l'axe des ordonnées en

p .

C'est pour cela que le nombre

p

s'appelle ordonnée à l'origine de la droite

d .

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Définition

L'équation

y = m x + p

s'appelle équation réduite de la droite

d

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Propriété

Le coefficient directeur d'une droite

(AB)

non parallèle à l'axe des ordonnées est égal à

\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} .

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Remarque

On a aussi

m = \frac{y _{A} - y _{B}}{x _{A} - x _{B}} .

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Démonstration

Soient

A

B

deux points disctincts. Le vecteur

AB (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})

est un vecteur directeur de la droite

(AB)

, donc le vecteur

\frac{1}{x _{B} - x _{A}} AB

aussi car

x_{B} - x_{A} \neq = 0

: ses coordonnées sont

(1; \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}) .

On a donc

m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} .

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Remarque

On peut associer une équation réduite à une fonction affine. Lorsque

m > 0

, la fonction est croissante. Lorsque

m = 0

, elle est constante et lorsque

m < 0

, elle est décroissante.

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Exemple

Le coefficient directeur de la droite passant par

A (1; 3)

B (4; 5)

est

m = \frac{2}{3} .

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Application et méthode

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Énoncé

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par les points

A (- 4; 4)

B (3; 0)

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Méthode

On commence par calculer le coefficient directeur.

On utilise ensuite les coordonnées d'un des deux points pour calculer l'ordonnée à l'origine.

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Solution

Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut

\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

= \frac{0 - 4}{3 - ( - 4 )}

= - \frac{4}{7} .

(AB)

y = - \frac{4}{7} x + p

p

Comme $B$ appartient à la droite $(AB)$ , ses coordonnées vérifient l'équation $y = - \frac{4}{7} x + p : 0$ $= - \frac{4}{7} \times 3 + p$ donc

p = \frac{12}{7}

(AB)

y = - \frac{4}{7} x + \frac{12}{7}

Pour s'entrainer

Exercices 22
p. 227, 59
p. 231 et 62
p. 232

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Coefficient directeur et équation réduite

ACoefficient directeur d'une droite

Méthode

BÉquation réduite d'une droite

Logique

Remarque

Remarque

Remarque

Énoncé

Méthode

A
Coefficient directeur d'une droite

B
Équation réduite d'une droite