Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points $\text{M}(x;y)$ d'une droite vérifient une relation $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

Si $a=0$ et $b\ne 0$ alors $y=-\frac{c}{b}$ et la droite est parallèle à l'axe des abscisses. Si $b=0$ et $a\ne 0$ alors $x=-\frac{c}{a}$ et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soient $\mathrm{P}\left(x_{\mathrm{P}};y_{\mathrm{P}}\right)$ et $\mathrm{Q}\left(x_{\mathrm{Q}};y_{\mathrm{Q}}\right)$ deux points de $d$.
Alors, pour tout point $\mathrm{M}(x;y)$ appartenant à $d$ :
$\overrightarrow{\mathrm{PM}}\left(x-x_{\mathrm{P}};y-y_{\mathrm{P}}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\left(x_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{P}};y_{\mathrm{Q}}-y_{\mathrm{P}}\right)$ sont colinéaires.
On a donc $\det (\overrightarrow{\text{PM}};\overrightarrow{\text{PQ}})=0$
c'est-à-dire $\left(x-x_{\mathrm{P}}\right)\left(y_{\mathrm{Q}}-y_{\mathrm{P}}\right)-\left(y-y_{\mathrm{P}}\right)\left(x_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{P}}\right)=0.$
Donc $x\left(y_{\mathrm{Q}}-y_{\mathrm{P}}\right)-x_{\mathrm{P}}\left(y_{\mathrm{Q}}-y_{\mathrm{P}}\right)-y\left(x_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{P}}\right)+y_{\mathrm{P}}\left(x_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{P}}\right)=0.$
Donc $\left(y_{\mathrm{Q}}-y_{\mathrm{P}}\right)x+\left(x_{\mathrm{P}}-x_{\mathrm{Q}}\right)y+\left(y_{\mathrm{P}}{x}_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{P}}{y}_{\mathrm{Q}}\right)=0.$
En posant $a=y_{\mathrm{Q}}-y_{\mathrm{P}}$, $b=x_{\mathrm{p}}-x_{\mathrm{Q}}$, et $c=x_{\mathrm{Q}}{y}_{\mathrm{P}}-x_{\mathrm{P}}{y}_{\mathrm{Q}}$ on a donc $ax+by+c=0$.

La relation $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite $d$.

Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite.

Propriété

Le vecteur $(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite d'équation $ax+by+c=0.$

Réciproquement, si le vecteur $(-b;a)$ est un vecteur directeur de $d$, alors une équation cartésienne de $d$ est $ax+by+c=0$ (avec $c$ à déterminer).

1. On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AM}}.$

2. On utilise le déterminant $x{y}^{\prime }-x^{\prime }y$ de ces deux vecteurs. Ce déterminant est nul lorsque les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{M}$ sont alignés.

3. On développe et on réduit l'expression pour obtenir la forme d'une équation cartésienne.