COURS 1


1
Vecteurs directeurs et équations cartésiennes




Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}).

Application et méthode


Méthode

1. On calcule les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.

2. La droite (BC)(\text{BC}) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffit d’en prendre un représentant d’origine A\text{A}.

Vecteur directeur d’une droite

Énoncé

Soient trois points A(1;5)\text{A}(1\:; 5) , B(3;2)\text{B}(-3\: ; 2) et C(2;1)\text{C}(2 \:; - 1) dans un repère orthonormé.

1. Déterminer un vecteur directeur de la droite (BC).(\text{BC}).
2. Détailler la construction de la parallèle à (BC)(\text{BC}) passant par (A).(\text{A}).

SOLUTION

1. Le vecteur BC(5;3)\overrightarrow{\text{BC}}(5 \:; - 3) est un vecteur directeur de la droite (BC)(\text{BC}).
2. Le vecteur BC(5;3)\overrightarrow{\text{BC}}(5\: ; - 3) est également un vecteur directeur de la parallèle à (BC)(\text{BC}) passant par A\text{A}. On construit le point A\text{A}' tel que AA=BC\overrightarrow{\text{AA}'} = \overrightarrow{\text{BC}}. Ainsi, xAxA=xCxBx_{\text{A}'} - x_{\text{A}} = x_{\text{C}} - x_{\text{B}} d'où xA=xCxB+xA=x_{\text{A}'} = x_{\text{C}} - x_{\text{B}} + x_{\text{A}} = 2(3)+1=6. 2 -(-3) + 1 = 6.
De même, on calcule yA=yCyB+yA=2y_{\text{A}'} = y_{\text{C}} - y_{\text{B}} + y_{\text{A}} = 2. On trouve A(6;2)\text{A}'(6\: ; 2). La droite (AA)(\text{AA}') est la droite cherchée.

Pour s'entraîner : exercices 20 p. 227, 36 et 37 p. 228

Application et méthode


Méthode

1. On calcule les coordonnées des vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}} et AM.\overrightarrow{\text{AM}}.

2. On utilise le déterminant xyxyxy' - x 'y de ces deux vecteurs. Ce déterminant est nul lorsque les points A\text{A}, B\text{B} et M\text{M} sont alignés.

3. On développe et on réduit l’expression pour obtenir la forme d’une équation cartésienne.
SOLUTION
Pour tout point M(x;y)\text{M}(x \:; y) de la droite (AB)(\text{AB}), AM\overrightarrow{\text{AM}} et AB\overrightarrow{\text{AB}} sont colinéaires. Les coordonnées de ces vecteurs sont AM(x2;y1)\overrightarrow{\text{AM}}(x-2\:;y-1) et AB(5;2).\overrightarrow{\text{AB}}(5\:;2).

Le déterminant de ces deux vecteurs est nul, donc on a : (x2)×25(y1)=0(x - 2) \times 2 - 5(y - 1) = 0 soit 2x45y+5=02x - 4 - 5y + 5 = 0 d’où 2x5y+1=0.2x - 5y + 1 = 0 .

Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 227, 40 et 41 p. 229

Énoncé

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(2;1\text{A}(2\: ; 1) et B(7;3).\text{B}(7\: ; 3).

A
Vecteur directeur d’une droite

Remarque

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

Définition

On appelle vecteur directeur d’une droite dd tout représentant du vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}}A\text{A} et B\text{B} sont deux points quelconques distincts de la droite dd.

Exemple

Dans l’image ci-contre, les vecteurs AB(2;1)\overrightarrow{\text{AB}} (2\:;1), u(2;1)\vec{u}(-2\: ; - 1) et v(4;2)\vec{v}(4\: ; 2) sont des vecteurs directeurs de la droite dd.

Vecteur directeur d’une droite

B
Équation cartésienne de droite


Théorème

Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points M(x;y)\text{M}(x \:; y) d'une droite vérifient une relation ax+by+c=0ax + by + c = 0 , où aa, bb et cc sont des nombres réels.

LOGIQUE

Réciproquement, si le vecteur (b;a)(-b \:; a) est un vecteur directeur de dd, alors une équation cartésienne de dd est ax+by+c=0ax + by + c = 0 (avec cc à déterminer).

Exemple

La droite (AB)(\text{AB}) a pour équation 5x+4y11=05x + 4y - 11 = 0 et le vecteur AB(4;5)\overrightarrow{\text{AB}}(-4 \:; 5) est un vecteur directeur.

DÉMONSTRATION
Voir Activité
B
p. 214
.

Remarque

Si a=0a=0 et b0b \neq 0 alors y=cby = - \dfrac { c } { b } et la droite est parallèle à l’axe des abscisses.
Si b=0b=0 et a0a \neq 0 alors x=cax = - \dfrac { c } { a } et la droite est parallèle à l’axe des ordonnées.

Remarque

Il existe une infinité d’équations cartésiennes d’une même droite.

Démonstration au programme


Propriété

Le vecteur (b;a)(-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d’équation ax+by+c=0.ax + by + c = 0.

Définition

La relation ax+by+c=0ax + by + c = 0 s’appelle équation cartésienne de la droite dd.

DÉMONSTRATION

Soient P(xP;yP)\mathrm { P } \left( x _ { \mathrm { P } } \:; y _ { \mathrm {P } } \right) et Q(xQ;yQ)\mathrm { Q } \left( x _ { \mathrm { Q } } \:; y _ { \mathrm { Q } } \right) deux points de dd.
Alors, pour tout point M(x;y)\mathrm { M } ( x \:; y ) appartenant à dd :
PM(xxP;yyP)\overrightarrow { \mathrm { PM } } \left( x - x _ { \mathrm{ P }} \:; y - y _ { \mathrm{ P }} \right) et PQ(xQxP;yQyP)\overrightarrow { \mathrm { PQ } } \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } }\: ; y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) sont colinéaires.
On a donc det(PM;PQ)=0\det ( \overrightarrow { \text{PM} }\: ; \overrightarrow { \text{PQ} } ) = 0
c'est-à-dire (xxP)(yQyP)(yyP)(xQxP)=0.\left( x - x _ { \mathrm { P } } \right) \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) - \left( y - y _ { \mathrm { P } } \right) \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) = 0.
Donc x(yQyP)xP(yQyP)y(xQxP)+yP(xQxP)=0.x \left( y _ { \mathrm{Q} } - y _ { \mathrm { P } } \right) - x _ { \mathrm { P } } \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) - y \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) + y _ { \mathrm { P } } \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) = 0.
Donc (yQyP)x+(xPxQ)y+(yPxQxPyQ)=0.\left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) x + \left( x _ { \mathrm { P } } - x _ { \mathrm { Q } } \right) y + \left( y _ { \mathrm { P } } x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } y _ { \mathrm { Q } } \right) = 0.
En posant a=yQyPa = y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } }, b=xpxQb = x _ { \mathrm { p } } - x _ { \mathrm { Q } }, et c=xQyPxPyQc = x _ { \mathrm{Q} } y _ { \mathrm { P } } - x _ { \mathrm { P } } y _ { \mathrm { Q } } on a donc ax+by+c=0a x + b y + c = 0.
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