Mathématiques 2de

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Chapitre 8
Cours 1

Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

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Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}).
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A
Vecteur directeur d'une droite

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Définition
On appelle vecteur directeur d'une droite d tout représentant du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}\text{A} et \text{B} sont deux points quelconques distincts de la droite d.
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Exemple
Dans l'image ci‑contre, les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} (2\:;1), \vec{u}(-2\: ; - 1) et \vec{v}(4\: ; 2) sont des vecteurs directeurs de la droite d.

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Remarque

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs.
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Application et méthode
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Énoncé
Soient trois points \text{A}(1\:; 5) , \text{B}(-3\: ; 2) et \text{C}(2 \:; - 1) dans un repère orthonormé.
1. Déterminer un vecteur directeur de la droite (\text{BC}).
2. Détailler la construction de la parallèle à (\text{BC}) passant par (\text{A}).
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Méthode

1. On calcule les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

2. La droite (\text{BC}) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffit d'en prendre un représentant d'origine \text{A}.
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Solution
1. Le vecteur \overrightarrow{\text{BC}}(5 \:; - 3) est un vecteur directeur de la droite (\text{BC}).
2. Le vecteur \overrightarrow{\text{BC}}(5\: ; - 3) est également un vecteur directeur de la parallèle à (\text{BC}) passant par \text{A}. On construit le point \text{A}' tel que \overrightarrow{\text{AA}'} = \overrightarrow{\text{BC}}. Ainsi, x_{\text{A}'} - x_{\text{A}} = x_{\text{C}} - x_{\text{B}} d'où x_{\text{A}'} = x_{\text{C}} - x_{\text{B}} + x_{\text{A}} = 2 -(-3) + 1 = 6.
De même, on calcule y_{\text{A}'} = y_{\text{C}} - y_{\text{B}} + y_{\text{A}} = 2. On trouve \text{A}'(6\: ; 2). La droite (\text{AA}') est la droite cherchée.

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Pour s'entraîner
Exercices p. 227, et p. 228
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B
Équation cartésienne de droite

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Théorème
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points \text{M}(x \:; y) d'une droite vérifient une relation ax + by + c = 0 , où a, b et c sont des nombres réels.
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Remarque

Si a=0 et b \neq 0 alors y = - \dfrac { c } { b } et la droite est parallèle à l'axe des abscisses. Si b=0 et a \neq 0 alors x = - \dfrac { c } { a } et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
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Démonstration
Soient \mathrm { P } \left( x _ { \mathrm { P } } \:; y _ { \mathrm {P } } \right) et \mathrm { Q } \left( x _ { \mathrm { Q } } \:; y _ { \mathrm { Q } } \right) deux points de d.
Alors, pour tout point \mathrm { M } ( x \:; y ) appartenant à d :
\overrightarrow { \mathrm { PM } } \left( x - x _ { \mathrm{ P }} \:; y - y _ { \mathrm{ P }} \right) et \overrightarrow { \mathrm { PQ } } \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } }\: ; y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) sont colinéaires.
On a donc \det ( \overrightarrow { \text{PM} }\: ; \overrightarrow { \text{PQ} } ) = 0
c'est-à-dire \left( x - x _ { \mathrm { P } } \right) \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) - \left( y - y _ { \mathrm { P } } \right) \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) = 0.
Donc x \left( y _ { \mathrm{Q} } - y _ { \mathrm { P } } \right) - x _ { \mathrm { P } } \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) - y \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) + y _ { \mathrm { P } } \left( x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } \right) = 0.
Donc \left( y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } } \right) x + \left( x _ { \mathrm { P } } - x _ { \mathrm { Q } } \right) y + \left( y _ { \mathrm { P } } x _ { \mathrm { Q } } - x _ { \mathrm { P } } y _ { \mathrm { Q } } \right) = 0.
En posant a = y _ { \mathrm { Q } } - y _ { \mathrm { P } }, b = x _ { \mathrm { p } } - x _ { \mathrm { Q } }, et c = x _ { \mathrm{Q} } y _ { \mathrm { P } } - x _ { \mathrm { P } } y _ { \mathrm { Q } } on a donc a x + b y + c = 0.
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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

Démonstration

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Genially

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Définition
La relation ax + by + c = 0 s'appelle équation cartésienne de la droite d.
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Remarque

Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite.
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Propriété


Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0.
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Logique

Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
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Démonstration
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Exemple
Si la droite d a pour équation 5x+4y-11=0, alors le vecteur \overrightarrow{u}\left(-4;5\right) est un vecteur directeur de cette droite.
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EXCLU. PREMIUM 2023

Vecteur directeur et équation de droite

Déplacer les points \mathrm{A} et \mathrm{B} pour modifier la droite.

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Application et méthode
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Énoncé
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \text{A}(2\: ; 1) et \text{B}(7\: ; 3).
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Méthode

1. On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AM}}.

2. On utilise le déterminant xy' - x 'y de ces deux vecteurs. Ce déterminant est nul lorsque les points \text{A}, \text{B} et \text{M} sont alignés.

3. On développe et on réduit l'expression pour obtenir la forme d'une équation cartésienne.
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Solution
Pour tout point \text{M}(x \:; y) de la droite (\text{AB}), \overrightarrow{\text{AM}} et \overrightarrow{\text{AB}} sont colinéaires. Les coordonnées de ces vecteurs sont \overrightarrow{\text{AM}}(x-2\:;y-1) et \overrightarrow{\text{AB}}(5\:;2).
Le déterminant de ces deux vecteurs est nul, donc on a : (x - 2) \times 2 - 5(y - 1) = 0 soit 2x - 4 - 5y + 5 = 0 d'où 2x - 5y + 1 = 0 .

Pour s'entraîner

Exercices et p. 227, et p. 229

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