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Entrainement 3


Positions relatives de droites





76
[Raisonner.]
Dans chaque cas, déterminer si le point A(11;17)\mathrm { A } ( 11\: ; 17 ) appartient à la droite d1d_1, à la droite d2d_2 ou aux deux.
1. d1:y=3x+50d _ { 1 } : y = - 3 x + 50 et d2:y=2,75x13,75d _ { 2 } : y = 2\text{,}75 x - 13\text{,}75

2. d1:y=x+28d _ { 1 } : y = - x + 28 et d2:y=2x+41d _ { 2 } : y = - 2 x + 41

88
ALGO
[Effectuer.]
On considère deux droites sécantes dd et dd' d’équations ax+by+c=0ax + by + c = 0 et ax+by+c=0.a'x + b'y + c' = 0 .
1. Exprimer en fonction de aa, bb , cc , aa', bb' et cc' les coordonnées de leur point d’intersection.

2. Modifier le programme de l’exercice précédent pour qu’il affiche les coordonnées de l’intersection des deux droites lorsqu’elles sont sécantes.

def resolution(a, b, c, d, e, f):
	det = a*e-d*b
	if det == 0:
		return(True)
	else:
		return(False)

71
[Chercher.]
Voici une capture d’écran du logiciel GeoGebra.

Positions relatives de droites

Déterminer une équation de la droite (IJ).(\text{IJ}).

80
[Chercher.]
En détaillant la démarche, proposer deux équations de droites qui se coupent au point de coordonnées (3;1).(3\: ; 1).


67
[Calculer.]
Démontrer que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont alignés :
A(100;1500)\text{A}(100\:;1\, 500), B(180;1900)\text{B}(180\:;1\, 900) et C(198;1990).\text{C}(198\:;1\, 990).

83
[Représenter.]
Résoudre les systèmes suivants graphiquement.
1. {5xy=83x+2y=12\begin{cases} { 5x - y = 8 } \\ { - 3x + 2 y =12 } \end{cases}

2. {2x+y=101,5x+2y=13\begin{cases} { 2x + y = - 10 } \\ { -1\text{,}5x + 2 y = 13 } \end{cases}

74
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2;8)\mathrm { A } ( 2 \:; 8 ) , B(2;2)\mathrm { B } ( 2 \: ; - 2 ) , C(8;4) \mathrm { C } ( 8\: ; 4 ) et D(2;2).\mathrm { D } ( 2\: ; 2 ).
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées exactes du point E\text{E} tel que :
  • E\text{E} n'appartient pas à la droite (DC)(\text{DC}) ;
  • E\text{E} n'appartient pas au segment [DC][\text{DC}] ;
  • DEDC=23.\dfrac{\text{DE}}{\text{DC}} = \dfrac{2}{3}.


84
[Calculer.] ◉◉
On a réalisé cette capture d’écran du logiciel GeoGebra. Déterminer par le calcul les coordonnées des points A\text{A}, B\text{B} et C.\text{C}.
Positions relatives de droites

69
[Raisonner.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer en justifiant si les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont alignés :
1. A(4;4)\mathrm { A } ( - 4 \:; - 4 ), B(0;0) \mathrm { B } ( 0 \:; 0 ) et C(4;4)\mathrm { C } ( 4\: ; 4 )

2. A(2;3)\mathrm { A } ( - 2 \:; 3 ), B(1;0) \mathrm { B } ( 1\:; 0 ) et C(4;1)\mathrm { C } ( 4 \:; 1 )

3. A(5;2)\mathrm { A } ( 5 \:; 2 ), B(0;2) \mathrm { B } ( 0 \:; 2 ) et C(1;2)\mathrm { C } ( 1 \:; 2 )

4. A(4;2)\mathrm { A } ( 4 \:; - 2 ), B(4;3) \mathrm { B } ( 4\: ; 3 ) et C(0;3)\mathrm { C } ( 0 \:; 3 )

73
[Représenter.]
ABCD\text{ABCD} est un carré dont le côté mesure 4 cm. ABF\text{ABF} et BDE\text{BDE} sont des triangles équilatéraux.
Quelle est la nature du quadrilatère ACEF\text{ACEF} ? Justifier.

Positions relatives de droites

72
[Représenter.]
ABCD \text{ABCD} est un carré dont le côté mesure 4 cm. DFC\text{DFC} et BCH\text{BCH} sont des triangles équilatéraux.
Positions relatives de droites

AIDE : On pourra se placer dans un repère convenablement choisi.

1. Calculer la hauteur de chaque triangle équilatéral.

2. Démontrer que les points A\text{A}, H\text{H} et F\text{F} sont alignés.

78
[Représenter.] ◉◉
À l’aide d’un système, justifier que les droites d’équations xy+3=0x - y + 3 = 0 et 3x+4y19=03x + 4y - 19 = 0 sont sécantes et déterminer leur intersection.

82
[Représenter.]
Par lecture graphique, proposez le couple solution à chaque système. Vérifier par le calcul.

Positions relatives de droites
1. {xy=1x+7y=17\begin{cases} { x - y = - 1 } \\ { - x + 7 y = - 17 } \end{cases}

2. {5xy=13xy=1\begin{cases} { -5x - y = - 13 } \\ { x - y = - 1 } \end{cases}

3. {x+7y=175xy=13\begin{cases} { -x + 7y = - 17 } \\ { - 5x - y = - 13 } \end{cases}

79
[Représenter.]
Déterminer à l’aide d’un argument graphique si les systèmes suivants possèdent zéro, une ou une infinité de solutions :
1. {3x+y=43xy=1\begin{cases} { 3 x + y = 4 } \\ { 3 x - y = 1 } \end{cases}
2. {x+2y=00,5x+y=1\begin{cases} { - x + 2 y = 0 } \\ { - 0\text{,}5 x + y = 1 } \end{cases}
3. {4x+7y=22x3,5y=1\begin{cases} { 4 x + 7 y = - 2 } \\ { - 2 x - 3\text{,}5 y = 1 } \end{cases}
4. {2x+3y=53x2y=5\begin{cases} { - 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{cases}

87
PYTHON
[Calculer.] ◉◉
Voici un programme réalisé avec Python :

def resolution(a, b, c, d, e, f):
	det = a*e-d*b
	if det == 0:
		return(True)
	else:
		return(False)

1. Quel est le rôle de la variable « det » ?

2. À quoi sert ce programme ?

3. Exécuter ce programme avec les valeurs suivantes :
a=3a = 3 , b=6b = 6 , c=1c = -1 , d=2d = 2 , e=4e = 4 , et f=7.f = -7 .
4. Que peut-on déduire de ce résultat ?

65
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite dd' parallèle à la droite dd et passant par le point (AB)( \mathrm { AB } ) :
1. d:2x+y+3=0d : 2 x + y + 3 = 0 et A(1;5)\mathrm { A } ( - 1 \:; 5 )

2. d:x+y=0d : x + y = 0 et A(7;1)\mathrm { A } ( 7 \:; 1 )

3. d:x=4d : x = 4 et A(3;0)\mathrm { A } ( 3\: ; 0 )

4. d:y=12x14d : y = \dfrac { 1 } { 2 } x - \dfrac { 1 } { 4 } et A(3;2)\mathrm { A } ( - 3\: ; 2 )

81
[Chercher.] ◉◉◉
Dans un repère, les droites d’équations d1:2xy5=0d _ { 1 } : 2 x - y - 5 = 0, d2:x+4y25=0d _ { 2 } : x + 4 y - 25 = 0 et d3:x5y+11=0d _ { 3 } : x - 5 y + 11 = 0 se coupent en formant un triangle ABC.\text{ABC}.
Positions relatives de droites

1. Associer aux coordonnées de chaque sommet le couple solution de chacun des systèmes suivants :
S1:{x+4y=252x+y=5\mathrm { S } _ { 1 } : \begin{cases} { x + 4 y = 25 } \\ { - 2 x + y = - 5 } \end{cases}

S2:{2x+y=5x5y=11\mathrm { S } _ { 2 } : \begin{cases} { - 2 x + y = - 5 } \\ { x - 5 y = - 11 } \end{cases}

S3:{x5y=11x+4y=25\mathrm { S } _ { 3 } : \begin{cases} { x - 5 y = - 11 } \\ { x + 4 y = 25 } \end{cases}
2. Vérifier les résultats par le calcul.

75
PYTHON
[Représenter.]
On considère deux droites d1d _ { 1 } et d2d _ { 2 } d'équations a1x+b1y+c1=0a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } = 0 et a2x+b2y+c2=0a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } = 0 et le programme Python suivant :

def determinant(a1,b1,a2,b2):
	return(a1*b2 - a2*b1)

1. On souhaite compléter le programme pour savoir si les droites d1d_1 et d2d_2 sont parallèles. Quel test doit-on effectuer pour le savoir ?
2. On souhaite compléter le programme pour savoir ensuite si les droites d1d_1 et d2d_2 sont strictement parallèles ou confondues. Quel test doit-on effectuer ?

85
[Raisonner.]
On a réalisé cette feuille de calcul qui donne l’ordonnée des points de deux droites pour différentes valeurs de x.x.
Positions relatives de droites tableur

1. Que doit-on entrer comme formule dans les cellules B2 et C2 puis étirer vers le bas ?

2. Les droites d’équations y=0,5x+1,5y = -0\text{,}5x + 1\text{,}5 et y=1,5x0,5y = 1\text{,}5x - 0\text{,}5 sont-elles sécantes ? Si oui, quelles sont les coordonnées de leur point d’intersection ?

77
[Raisonner.]
Les droites d’équations y=πx+1y = \pi x + 1 et y=227x1y = \dfrac { 22 } { 7 } x - 1 sont-elles sécantes ?
Remarque : le 14 mars est le jour de π \pi (car en anglais le 14 mars s’écrit 3.14) et le 22 juillet est le jour d’approximation de π \pi (car en français on peut écrire 22/7).

68
[Calculer.]
Démontrer que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont alignés :
A(0;43+1)\text{A}(0\:;- 4 \sqrt { 3 } + 1), B(33;1043)\text{B}(3 \sqrt { 3 }\: ; 10 - 4 \sqrt { 3 }) et C(1;153).\text{C}(- 1 \:; 1 - 5 \sqrt { 3 }).

86
[Communiquer.]
On a réalisé la figure ci-dessous sous GeoGebra.

Positions relatives de droites geogebra

1. Que représentent les droites dd et dd' pour le triangle ABC\text{ABC} ?

2. On a réalisé la feuille de calcul ci-dessous.

Positions relatives de droites geogebra tableur

Expliquer comment lire les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC.\text{ABC}.

66
ALGO
[Représenter.]
On considère une droite dd d’équation y=mx+py = mx + p et un point A\text{A} de coordonnées (xA;yA).(x_\text{A} \: ; y_\text{A}).
Écrire un algorithme qui donne l’équation de la droite dd' parallèle à dd et passant par A\text{A}.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 39 ; 48 ; 57 ; 61 et 78
◉◉ Parcours 2 : exercices 49 ; 62 ; 69 ; 84 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 63 ; 81 et 95

70
[Chercher.]
Sans calculer de longueur, démontrer que le quadrilatère ABCD\mathrm {ABCD} est un parallélogramme.

Positions relatives de droites

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