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Exclu. numérique 2023
Chapitre 8

Équations de droites

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Exclu. numérique 2023

Vidéo « À quoi ça sert les maths ? »

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Placeholder pour Photographie d'architecture moderne: structure géométrique avec lignes bleues et blanches reflétant le ciel.Photographie d'architecture moderne: structure géométrique avec lignes bleues et blanches reflétant le ciel.
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Capacités attendues

1. Déterminer une équation de droite.
2. Déterminer la pente ou un vecteur directeur d'une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.
3. Tracer une droite connaissant une équation cartésienne ou réduite.
4. Établir si trois points sont alignés ou non.
5. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
6. Déterminer le point d'intersection de deux droites sécantes.
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L'architecture utilise une grande variété de formes géométriques pour exprimer des volumes. La ligne droite est un outil privilégié, tant en intérieur pour donner une impression d'espace, qu'en extérieur pour harmoniser un ensemble.
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Avant de commencer

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Prérequis

1. Savoir étudier la position relative de deux droites dans le plan.
2. Connaître les notions de vecteur et de repérage dans le plan.
3. Savoir calculer le déterminant de deux vecteurs.
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Anecdote

En géométrie projective, deux droites d'un plan sont toujours sécantes.
Placeholder pour Route asphaltée traversant champs de colza, perspective linéaire vers horizon bleu. Paysage printanier.Route asphaltée traversant champs de colza, perspective linéaire vers horizon bleu. Paysage printanier.
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1
Démontrer que des droites sont parallèles

On munit le plan d'un repère orthonormé ( \mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } ). On considère le quadrilatère \mathrm { ABCD } dans ce repère tel que \mathrm{A} ( - 3 \,; 1 ), \mathrm{B} ( 1\,; 3 ), \mathrm{C} ( 4\, ; 1 ) et \mathrm{D} ( 0\, ; -1 ).
Démontrer que ce quadrilatère est un parallélogramme :
1. en utilisant les vecteurs ;

2. en utilisant des calculs de longueurs ;

3. en utilisant les diagonales.
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2
Lire les coordonnées des vecteurs de la figure.

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Lire les coordonnées des vecteurs de la figure
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3
Calculer des coordonnées de vecteurs

Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} dans chacun des cas suivants :

1. \text{A} ( - 1\,; 1 ) et \text{B} ( 4\,; - 3 )

2. \mathrm { A } \left( \dfrac { 2 } { 3 }\,; \dfrac { 1 } { 9 } \right) et \mathrm { B } \left( 1\,; - \dfrac { 8 } { 9 } \right)

3. \mathrm {A} ( - 0\text{,}6\,; 1\text{,}1 ) et \mathrm { B } ( 0\text{,}6\,; 0\text{,}7 )
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4
Calculer le déterminant de deux vecteurs

Calculer le déterminant des vecteurs \vec{u} et \vec{v} dans chacun des cas suivants :
1. \vec { u } ( - 3\,; 1 ) et \vec { v } ( 2\,; 2 )

2. \vec { u } ( 3\,; 8 ) et \vec { v } ( - 9;\, - 24 )

3. \vec { u } ( 4\,; - 7 ) et \vec { v } ( 0\,; - 7 )

4. \vec { u } ( - 0\text{,}4\,; 1\text{,}1 ) et \vec { v } ( 8\text{,}6\,; - 1\text{,}6 )

5. \vec { u } \left( \dfrac { 1 } { 2 }\,; \dfrac { 5 } { 4 } \right) et \vec { v } \left( - \dfrac { 1 } { 4 }\,; \dfrac { 3 } { 4 } \right)

6. \vec { u } \left( - \dfrac { 2 } { 3 } \,; \dfrac { 3 } { 2 } \right) et \vec { v } \left( \dfrac { 1 } { 6 } \,; \dfrac { 3 } { 4 } \right)
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5
Tester la colinéarité de vecteurs

Parmi les vecteurs \vec { u } ( - 6\, ; 1\text{,}5 ) , \vec { v } ( 3\,; - 2 ) et \vec { w } ( 4\, ; - 1 ), quels sont les deux vecteurs colinéaires ?
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6
Problème

\text{ABCD} est un rectangle de longueur 1,5 et de largeur 1. \text{B} est le milieu de [\text{AE}]. \text{BEFG} et \text{DCHI } sont des carrés. On se place dans le repère ( \mathrm { B } ; \overrightarrow { \mathrm { BG } } , \overrightarrow { \mathrm { BA } } ).
1. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.

2. Démontrer que les droites ( \mathrm { EG }) et (\mathrm{CI}) sont parallèles.

3. Les points \mathrm { I }, \mathrm { C } et \mathrm { F } sont-ils alignés ? Justifier par le calcul.


Placeholder pour Schéma géométrique: deux rectangles, diagonale reliant coins opposés. Équations de droites.Schéma géométrique: deux rectangles, diagonale reliant coins opposés. Équations de droites.
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