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Activités




B
Vecteur directeur et équation de droite

LOGIQUE

Il s’agirait pour être complet de démontrer qu’à tout vecteur (−b ;a)(-b \:; a) on peut associer une équation de droite du type ax+by+c=0ax + by + c = 0.

AIDE

1
Si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.


Objectif
Démontrer une propriété.



Démontrer une propriété

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Soient aa, bb et cc trois nombres réels. On veut démontrer la proposition suivante : « Si une droite dd a pour équation ax+by+c=0ax + by + c = 0, alors le vecteur (−b ;a)(-b\: ; a) est un vecteur directeur de dd. »
Dans un repère orthonormé, on considère donc une droite dd d’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0, deux points P(xP ;yP)\text{P}(x_{\text{P}}\:; y_{\text{P}}) et M(xM ;yM)\text{M}(x_{\text{M}} \:; y_{\text{M}}) appartenant à dd et le vecteur u⃗\vec{u} de coordonnées (−b ;a).(-b\: ; a).


1
Pourquoi peut-on affirmer que axM+byM+c=0ax_{\text{M}} + by_{\text{M}} + c = 0 ?


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Bilan
Quel lien peut-on faire entre équation de droite et vecteur directeur ?


2
Quelle relation peut-on établir entre les coordonnées du point P\text{P} ?


3
En déduire la relation a(xM−xP)+b(yM−yP)=0.a(x_{\text{M}} - x_{\text{P}}) + b(y_{\text{M}} - y_{\text{P}}) = 0.


4
Traduire cette relation en termes de déterminant de deux vecteurs et conclure.

C
Droites sécantes


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Un restaurateur réorganise sa salle. Il souhaite proposer à ses clients des tables pour deux personnes et des tables familiales pour six personnes.

Son fournisseur lui vend les tables « Duo » à 40 € et les tables « Famille » à 60 €.

Son objectif est d’atteindre exactement 60 couverts par repas. Pour cela, il dispose d’une subvention exceptionnelle de 900 € qu’il doit dépenser intégralement pour acheter les tables.

On appelle xx le nombre de tables « Duo » et yy le nombre de tables « Famille » à acheter.

1
Les contraintes du restaurateur sont-elles respectées lorsqu’il achète :
a) 6 tables « Duo » et 8 tables « Famille » ?

b) 12 tables « Duo » et 7 tables « Famille » ?


2
a) Montrer que xx et yy doivent vérifier simultanément les deux équations suivantes : 2x+6y=602x + 6y = 60 et 2x+3y=452x + 3y = 45.

b) Dans un repère orthogonal, on a représenté les équations ci-dessus par les droites dd et d′d'. Proposer une répartition des tables répondant au projet du restaurateur.


3
On souhaite résoudre le système d'inconnue (x ;y)(x\:;y) suivant : {2x+6y=602x+3y=45\begin{cases} 2x + 6y=60 \\ 2x + 3y=45 \end{cases}
a) Justifier que tout couple (x ;y)(x \:; y) vérifiant les deux équations de ce système vérifie aussi l’égalité 2x+6y−(2x+3y)=152x + 6y - (2x + 3y) = 15.

b) En déduire la valeur de yy puis celle de xx.

c) Conclure.


4
Lien avec le déterminant :
a) Déterminer deux vecteurs u⃗\vec{u} et u′⃗\vec{u'}, vecteurs directeurs respectifs de dd et d′d'.

b) Calculer leur déterminant. Pourquoi ne peut-il pas être nul ?


Objectif
Déterminer l’intersection de deux droites.



Tables au restaurant


Déterminer l’intersection de deux droites
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Bilan
Comment déterminer par le calcul l’existence et les coordonnées de l’intersection de deux droites ?

A
Vecteur directeur d’une droite



Découvrir la notion de vecteur directeur
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Bilan
Qu’est-ce qu’un vecteur directeur d’une droite et une équation cartésienne de droite ?



Objectif
Découvrir la notion de vecteur directeur.

AIDE

1
b) Le déterminant de deux vecteurs (x ;y)(x\,;y) et (x′ ;y′)(x'\,;y') est égal à xy′−x′y.xy' - x'y .

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On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite dd. A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} sont quatre points de cette droite et E\text{E} et F\text{F} sont deux points qui n’appartiennent pas à dd.

1
a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{\text{AB}}, AC→\overrightarrow{\text{AC}} et EF→.\overrightarrow{\text{EF}}.

b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?

c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de dd. Proposer deux autres vecteurs directeurs de dd.

d) Déterminer par le calcul quel vecteur de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est un vecteur directeur de dd.

2
a) Calculer la valeur du réel mm tel que le vecteur w⃗\vec{w} de coordonnées (1 ;m)(1 \:; m) soit un vecteur directeur de dd.

b) Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite dd avec l’axe des ordonnées ? Justifier.


3
On considère sur la droite dd un point M\text{M} quelconque de coordonnées (x ;y)(x\: ; y).
a) Calculer le déterminant des vecteurs AM→\overrightarrow{\text{AM}} et AB→\overrightarrow{\text{AB}} en fonction de xx et y.y. Pourquoi ce déterminant est-il nul ?

b) En déduire que le point M\text{M} vérifie la relation x−4y+17=0x - 4y + 17 = 0. Cette relation est appelée équation cartésienne de dd.

c) En prenant le déterminant des vecteurs BM→\overrightarrow{\text{BM}} et AC→\overrightarrow{\text{AC}}, établir une seconde équation cartésienne de dd.
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