Mathématiques 2de
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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 8
Activités
Équations de droites
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AVecteur directeur d'une droite
Découvrir la notion de vecteur directeur
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On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite d. \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont quatre points de cette droite et \text{E} et \text{F} sont deux points qui n'appartiennent pas à d.
On considère une droite d. \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} sont quatre points de cette droite et \text{E} et \text{F} sont deux points qui n'appartiennent pas à d.
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1
a) Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}} et \overrightarrow{\text{EF}}.
b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?
Aide
Le déterminant de deux vecteurs (x\,;y) et (x'\,;y') est égal à xy' - x'y .
c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de d. Proposer deux autres vecteurs directeurs de d.
d) Déterminer par le calcul quel vecteur de \vec{u} et \vec{v} est un vecteur directeur de d.
2
a) Calculer la valeur du réel m tel que le vecteur \vec{w} de coordonnées (1 \:; m) soit un vecteur directeur de d.
b) Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d avec l'axe des ordonnées ? Justifier.
3
On considère sur la droite d un point \text{M} quelconque de coordonnées (x\: ; y).
a) Calculer le déterminant des vecteurs \overrightarrow{\text{AM}} et \overrightarrow{\text{AB}} en fonction de x et y. Pourquoi ce déterminant est-il nul ?
b) En déduire que le point \text{M} vérifie la relation x - 4y + 17 = 0. Cette relation est appelée équation cartésienne de d.
c) En prenant le déterminant des vecteurs \overrightarrow{\text{BM}} et \overrightarrow{\text{AC}}, établir une seconde équation cartésienne de d.
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BilanQu'est-ce qu'un vecteur directeur d'une droite et une équation cartésienne de droite ?
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BVecteur directeur et équation de droite
Démontrer une propriété.
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Soient a, b et c trois nombres réels. On veut démontrer la proposition suivante : « Si une droite d a pour équation ax + by + c = 0, alors le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de d. »
Dans un repère orthonormé, on considère donc une droite d d'équation ax + by + c = 0, deux points \text{P}(x_{\text{P}}\:; y_{\text{P}}) et \text{M}(x_{\text{M}} \:; y_{\text{M}}) appartenant à d et le vecteur \vec{u} de coordonnées (-b\: ; a).
Dans un repère orthonormé, on considère donc une droite d d'équation ax + by + c = 0, deux points \text{P}(x_{\text{P}}\:; y_{\text{P}}) et \text{M}(x_{\text{M}} \:; y_{\text{M}}) appartenant à d et le vecteur \vec{u} de coordonnées (-b\: ; a).
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1
Pourquoi peut-on affirmer que ax_{\text{M}} + by_{\text{M}} + c = 0 ?
Aide
Si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
2
Quelle relation peut-on établir entre les coordonnées du point \text{P} ?
3
En déduire la relation a(x_{\text{M}} - x_{\text{P}}) + b(y_{\text{M}} - y_{\text{P}}) = 0.
4
Traduire cette relation en termes de déterminant de deux vecteurs et conclure.
Logique
Il s'agirait pour être complet de démontrer qu'à tout vecteur (-b \:; a) on peut associer une équation de droite du type ax + by + c = 0.Ressource affichée de l'autre côté.
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BilanQuel lien peut-on faire entre équation de droite et vecteur directeur ?
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CDroites sécantes
Déterminer l'intersection de deux droites.
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Un restaurateur réorganise sa salle. Il souhaite proposer à ses clients des tables pour deux personnes et des tables familiales pour six personnes.
Son fournisseur lui vend les tables « Duo » à 40 € et les tables « Famille » à 60 €.
Son objectif est d'atteindre exactement 60 couverts par repas. Pour cela, il dispose d'une subvention exceptionnelle de 900 € qu'il doit dépenser intégralement pour acheter les tables.
On appelle x le nombre de tables « Duo » et y le nombre de tables « Famille » à acheter.
Son fournisseur lui vend les tables « Duo » à 40 € et les tables « Famille » à 60 €.
Son objectif est d'atteindre exactement 60 couverts par repas. Pour cela, il dispose d'une subvention exceptionnelle de 900 € qu'il doit dépenser intégralement pour acheter les tables.
On appelle x le nombre de tables « Duo » et y le nombre de tables « Famille » à acheter.
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1
Les contraintes du restaurateur sont-elles respectées lorsqu'il achète :a) 6 tables « Duo » et 8 tables « Famille » ?
b) 12 tables « Duo » et 7 tables « Famille » ?
2
a) Montrer que x et y doivent vérifier simultanément les deux équations suivantes : 2x + 6y = 60 et 2x + 3y = 45.
b) Dans un repère orthogonal, on a représenté les équations ci-dessus par les droites d et d'. Proposer une répartition des tables répondant au projet du restaurateur.
3
On souhaite résoudre le système d'inconnue (x\:;y) suivant :
\begin{cases}
2x + 6y=60 \\
2x + 3y=45
\end{cases}
a) Justifier que tout couple (x \:; y) vérifiant les deux équations de ce système vérifie aussi l'égalité 2x + 6y - (2x + 3y) = 15.
b) En déduire la valeur de y puis celle de x.
c) Conclure.
4
Lien avec le déterminant :
a) Déterminer deux vecteurs \vec{u} et \vec{u'}, vecteurs directeurs respectifs de d et d'.
b) Calculer leur déterminant. Pourquoi ne peut-il pas être nul ?
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Bilan Comment déterminer par le calcul l'existence et les coordonnées de l'intersection de deux droites ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
