On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite d. A, B, C et D sont quatre points de cette droite et E et F sont deux points qui n’appartiennent pas à d.
1
a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC et EF.
b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?
c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de d. Proposer deux autres vecteurs directeurs de d.
d) Déterminer par le calcul quel vecteur de u et v est un vecteur directeur de d.
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AIDE
1
b)
Le déterminant de deux vecteurs (x;y) et (x′;y′) est égal à xy′−x′y.
2
a) Calculer la valeur du réel m tel que le vecteur w de coordonnées (1;m) soit un vecteur directeur de d.
b) Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite d avec l’axe des ordonnées ? Justifier.
3
On considère sur la droite d un point M quelconque de coordonnées (x;y).
a) Calculer le déterminant des vecteurs AM et AB en fonction de x et y. Pourquoi ce déterminant est-il nul ?
b) En déduire que le point M vérifie la relation x−4y+17=0. Cette relation est appelée équation cartésienne de d.
c) En prenant le déterminant des vecteurs BM et AC, établir une seconde équation cartésienne de d.
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Bilan
Qu’est-ce qu’un vecteur directeur d’une droite et une équation cartésienne de droite ?
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B
Vecteur directeur et équation de droite
Objectif
Démontrer une propriété.
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Soient a, b et c trois nombres réels. On veut démontrer la proposition suivante : « Si une droite d a pour équation ax+by+c=0, alors le vecteur (−b;a) est un vecteur directeur de d. »
Dans un repère orthonormé, on considère donc une droite d d’équation ax+by+c=0, deux points P(xP;yP) et M(xM;yM) appartenant à d et le vecteur u de coordonnées (−b;a).
1
Pourquoi peut-on affirmer que axM+byM+c=0 ?
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AIDE
1
Si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.
2
Quelle relation peut-on établir entre les coordonnées du point P ?
3
En déduire la relation a(xM−xP)+b(yM−yP)=0.
4
Traduire cette relation en termes de déterminant de deux vecteurs et conclure.
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Bilan
Quel lien peut-on faire entre équation de droite et vecteur directeur ?
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LOGIQUE
Il s’agirait pour être complet de démontrer qu’à tout vecteur (−b;a) on peut associer une équation de droite du type ax+by+c=0.
C
Droites sécantes
Objectif
Déterminer l’intersection de deux droites.
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Un restaurateur réorganise sa salle. Il souhaite proposer à ses clients des tables pour deux personnes et des tables familiales pour six personnes.
Son fournisseur lui vend les tables « Duo » à 40 € et les tables « Famille » à 60 €.
Son objectif est d’atteindre exactement 60 couverts par repas. Pour cela, il dispose d’une subvention exceptionnelle de 900 € qu’il doit dépenser intégralement pour acheter les tables.
On appelle x le nombre de tables « Duo » et y le nombre de tables « Famille » à acheter.
1
Les contraintes du restaurateur sont-elles respectées lorsqu’il achète : a) 6 tables « Duo » et 8 tables « Famille » ?
b) 12 tables « Duo » et 7 tables « Famille » ?
2
a) Montrer que x et y doivent vérifier simultanément les deux équations suivantes : 2x+6y=60 et 2x+3y=45.
b) Dans un repère orthogonal, on a représenté les
équations ci-dessus par les droites d et d′. Proposer une répartition des tables répondant au projet du restaurateur.
3
On souhaite résoudre le système d'inconnue (x;y) suivant :
{2x+6y=602x+3y=45 a) Justifier que tout couple (x;y) vérifiant les deux équations de ce système vérifie aussi l’égalité 2x+6y−(2x+3y)=15.
b) En déduire la valeur de y puis celle de x.
c) Conclure.
4
Lien avec le déterminant :
a) Déterminer deux vecteurs u et u′, vecteurs directeurs respectifs de d et d′.
b) Calculer leur déterminant. Pourquoi ne peut-il pas être nul ?
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Bilan
Comment déterminer par le calcul l’existence et les coordonnées de l’intersection de deux droites ?
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