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P.216-217

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A
Vecteur directeur d’une droite



Objectif
Découvrir la notion de vecteur directeur.



Découvrir la notion de vecteur directeur

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On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite . , , et sont quatre points de cette droite et et sont deux points qui n’appartiennent pas à .

1
a) Calculer les coordonnées des vecteurs , et

b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?

c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de . Proposer deux autres vecteurs directeurs de .

d) Déterminer par le calcul quel vecteur de et est un vecteur directeur de .
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AIDE

1
b) Le déterminant de deux vecteurs et est égal à

2
a) Calculer la valeur du réel tel que le vecteur de coordonnées soit un vecteur directeur de .

b) Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées ? Justifier.


3
On considère sur la droite un point quelconque de coordonnées .
a) Calculer le déterminant des vecteurs et en fonction de et Pourquoi ce déterminant est-il nul ?

b) En déduire que le point vérifie la relation . Cette relation est appelée équation cartésienne de .

c) En prenant le déterminant des vecteurs et , établir une seconde équation cartésienne de .
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Bilan
Qu’est-ce qu’un vecteur directeur d’une droite et une équation cartésienne de droite ?

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B
Vecteur directeur et équation de droite



Objectif
Démontrer une propriété.



 Démontrer une propriété

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Soient , et trois nombres réels. On veut démontrer la proposition suivante : « Si une droite a pour équation , alors le vecteur est un vecteur directeur de . »
Dans un repère orthonormé, on considère donc une droite d’équation , deux points et appartenant à et le vecteur de coordonnées


1
Pourquoi peut-on affirmer que ?


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AIDE

1
Si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.

2
Quelle relation peut-on établir entre les coordonnées du point ?


3
En déduire la relation


4
Traduire cette relation en termes de déterminant de deux vecteurs et conclure.
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Bilan
Quel lien peut-on faire entre équation de droite et vecteur directeur ?

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LOGIQUE

Il s’agirait pour être complet de démontrer qu’à tout vecteur on peut associer une équation de droite du type .

C
Droites sécantes



Objectif
Déterminer l’intersection de deux droites.



Tables au restaurant


 Déterminer l’intersection de deux droites

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Un restaurateur réorganise sa salle. Il souhaite proposer à ses clients des tables pour deux personnes et des tables familiales pour six personnes.

Son fournisseur lui vend les tables « Duo » à 40 € et les tables « Famille » à 60 €.

Son objectif est d’atteindre exactement 60 couverts par repas. Pour cela, il dispose d’une subvention exceptionnelle de 900 € qu’il doit dépenser intégralement pour acheter les tables.

On appelle le nombre de tables « Duo » et le nombre de tables « Famille » à acheter.

1
Les contraintes du restaurateur sont-elles respectées lorsqu’il achète :
a) 6 tables « Duo » et 8 tables « Famille » ?

b) 12 tables « Duo » et 7 tables « Famille » ?


2
a) Montrer que et doivent vérifier simultanément les deux équations suivantes : et .

b) Dans un repère orthogonal, on a représenté les équations ci-dessus par les droites et . Proposer une répartition des tables répondant au projet du restaurateur.


3
On souhaite résoudre le système d'inconnue suivant :
a) Justifier que tout couple vérifiant les deux équations de ce système vérifie aussi l’égalité .

b) En déduire la valeur de puis celle de .

c) Conclure.


4
Lien avec le déterminant :
a) Déterminer deux vecteurs et , vecteurs directeurs respectifs de et .

b) Calculer leur déterminant. Pourquoi ne peut-il pas être nul ?
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Bilan
Comment déterminer par le calcul l’existence et les coordonnées de l’intersection de deux droites ?

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