Activités

On se place dans un repère orthonormé.
On considère une droite $d$. $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont quatre points de cette droite et $\text{E}$ et $\text{F}$ sont deux points qui n’appartiennent pas à $d$.

a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}.$

b) Calculer les déterminants de ces vecteurs pris deux par deux. Que constate-t-on ?

c) Ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de $d$. Proposer deux autres vecteurs directeurs de $d$.

d) Déterminer par le calcul quel vecteur de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $d$.

a) Calculer la valeur du réel $m$ tel que le vecteur $\vec{w}$ de coordonnées $(1 \:; m)$ soit un vecteur directeur de $d$.

b) Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite $d$ avec l’axe des ordonnées ? Justifier.


On considère sur la droite $d$ un point $\text{M}$ quelconque de coordonnées $(x\: ; y)$.
a) Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}$ en fonction de $x$ et $y.$ Pourquoi ce déterminant est-il nul ?

b) En déduire que le point $\text{M}$ vérifie la relation $x - 4y + 17 = 0$. Cette relation est appelée équation cartésienne de $d$.

c) En prenant le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{\text{BM}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$, établir une seconde équation cartésienne de $d$.

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels. On veut démontrer la proposition suivante : « Si une droite $d$ a pour équation $ax + by + c = 0$, alors le vecteur $(-b\: ; a)$ est un vecteur directeur de $d$. »
Dans un repère orthonormé, on considère donc une droite $d$ d’équation $ax + by + c = 0$, deux points $\text{P}(x_{\text{P}}\:; y_{\text{P}})$ et $\text{M}(x_{\text{M}} \:; y_{\text{M}})$ appartenant à $d$ et le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-b\: ; a).$


Pourquoi peut-on affirmer que $ax_{\text{M}} + by_{\text{M}} + c = 0$ ?

Quelle relation peut-on établir entre les coordonnées du point $\text{P}$ ?


En déduire la relation $a(x_{\text{M}} - x_{\text{P}}) + b(y_{\text{M}} - y_{\text{P}}) = 0.$


Traduire cette relation en termes de déterminant de deux vecteurs et conclure.

Un restaurateur réorganise sa salle. Il souhaite proposer à ses clients des tables pour deux personnes et des tables familiales pour six personnes.

Son fournisseur lui vend les tables « Duo » à 40 € et les tables « Famille » à 60 €.

Son objectif est d’atteindre exactement 60 couverts par repas. Pour cela, il dispose d’une subvention exceptionnelle de 900 € qu’il doit dépenser intégralement pour acheter les tables.

On appelle $x$ le nombre de tables « Duo » et $y$ le nombre de tables « Famille » à acheter.

Les contraintes du restaurateur sont-elles respectées lorsqu’il achète :
a) 6 tables « Duo » et 8 tables « Famille » ?

b) 12 tables « Duo » et 7 tables « Famille » ?


a) Montrer que $x$ et $y$ doivent vérifier simultanément les deux équations suivantes : $2x + 6y = 60$ et $2x + 3y = 45$.

b) Dans un repère orthogonal, on a représenté les équations ci-dessus par les droites $d$ et $d'$. Proposer une répartition des tables répondant au projet du restaurateur.


On souhaite résoudre le système d'inconnue $(x\:;y)$ suivant : $\begin{cases} 2x + 6y=60 \\ 2x + 3y=45 \end{cases}$
a) Justifier que tout couple $(x \:; y)$ vérifiant les deux équations de ce système vérifie aussi l’égalité $2x + 6y - (2x + 3y) = 15$.

b) En déduire la valeur de $y$ puis celle de $x$.

c) Conclure.


Lien avec le déterminant :
a) Déterminer deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u'}$, vecteurs directeurs respectifs de $d$ et $d'$.

b) Calculer leur déterminant. Pourquoi ne peut-il pas être nul ?