Régionnement du plan et optimisation linéaire

Déterminer une production optimale avec une des deux méthodes de résolution.

On cherche à écrire un programme avec Python permettant de balayer toutes les possibilités.
On considère l'algorithme suivant :

$\boxed{\begin{array}{l}\text{ gainmax }\leftarrow 0\\ \text{ gain }\leftarrow 0\\ \text{ xmax }\leftarrow 0\\ \text{ ymax }\leftarrow 0\\ \text{ Pour }x\text{ allant de }0\text{ aˋ }200:\\ \text{ Pour y allant de }0\text{ aˋ }200:\\ \text{ Si }x+y\le 150\text{ et }\dots \text{ et }\dots :\\ \text{ gain }\leftarrow \dots \\ \text{ Fin Si}\\ \text{ Si gain }>\text{gainmax}:\\ \text{gainmax}\leftarrow \text{gain}\\ \text{xmax}\leftarrow \text{x}\\ \text{ymax}\leftarrow \text{y}\\ \text{Fin Si}\\ \text{Fin Pour}\\ \text{Fin Pour}\end{array}}$

1. À quelles quantités d'objets de chaque type choisit-on de se limiter dans cet algorithme ?

Insérer une formule mathématique

2. Interpréter le contenu des variables $\text{gainmax}$, $\text{xmax}$ et $\text{ymax}$ à la fin de l'exécution de l'algorithme.

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3. Programmer cet algorithme à l'aide de et déterminer alors les valeurs finales des variables. Interpréter le résultat.

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Dans

le module GeoGebra

, représenter chacune des régions du plan telles que :

• $x+y>150$
• $x+3y>210$
• $3y>180$

Pour cela, utiliser la fenêtre Calcul formel et l'instruction Résoudre :


Par exemple, pour la première inéquation, écrire :


Il faut cliquer sur le rond apparaissant sous le numéro 1 pour que la région du plan correspondant soit représentée.

1. Commenter le graphique obtenu.

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2. a. Montrer que pour un gain $g$ en euro, on a $300x+500y=g$.

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b. Créer un curseur $g$ (allant de 0 à 60 000, avec un pas de 1 000), puis construire la droite d'équation $300x+500y=g$. Proposer trois productions permettant un gain de 40 000 €.

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3. Quel est le gain maximal que l'on puisse faire ? À quelle production d'objets ${\text{O}}_1$ et ${\text{O}}_2$ cela correspond-il ? Justifier.

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