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Régionnement du plan et optimisation linéaire
P.226

TP / TICE 1


Régionnement du plan et optimisation linéaire




Énoncé

Une entreprise fabrique deux objets à l’aide de trois machines.
La machine A ne peut travailler que 150 h par mois, la machine B que 210 h par mois et la machine C que 180 h par mois.
  • Le premier objet O1\text{O}_1 nécessite 1 h de la machine A, 1 h de la machine B puis il est vendu 300 € l’unité.
  • Le deuxième objet O2\text{O}_2 nécessite 1 h de la machine A, 3 h de la machine B et 3 h de la machine C puis il est vendu 500 € l’unité.
L’entreprise cherche à maximiser son gain de production.
Question préliminaire : En appelant xx et yy le nombre respectif d’objets O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 produits, expliquer pourquoi les contraintes de travail de la machine se traduisent chaque mois par :
  • x+y150x + y \leq 150
  • x+3y210x + 3y \leq 210
  • 3y1803y \leq 180

Une entreprise fabrique deux objets à l’aide de trois machines.

Objectif

Déterminer une production optimale avec une des deux méthodes de résolution.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

On cherche à écrire un programme avec Python permettant de balayer toutes les possibilités.
On considère l’algorithme suivant :

 gainmax 0 gain 0 xmax 0 ymax 0 Pour x allant de 0 aˋ 200: Pour y allant de 0 aˋ 200: Si x+y150 et  et : gain  Fin Si Si gain >gainmax:gainmaxgainxmaxxymaxyFin SiFin PourFin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { \text { gainmax } \leftarrow 0 } \\ \text { gain } \leftarrow 0 \\ \text { xmax } \leftarrow 0 \\ \text { ymax } \leftarrow 0 \\ \text{ Pour } x \text { allant de } 0 \text { à } 200 : \\ \quad \text { Pour y allant de } 0 \text { à } 200 : \\ \qquad \text { Si } x + y \leq 150 \text { et } \ldots \text { et } \ldots : \\ \qquad \quad \text { gain } \leftarrow \ldots \\ \qquad \text { Fin Si} \\ \qquad \text { Si gain } \gt \text{gainmax} : \\ \qquad \quad \text {gainmax} \leftarrow \text {gain} \\ \qquad \quad \text {xmax} \leftarrow \text {x} \\ \qquad \quad \text {ymax} \leftarrow \text {y} \\ \qquad \text {Fin Si} \\ \quad \text {Fin Pour} \\ \text {Fin Pour} \end{array} }
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1. À quelles quantités d’objets de chaque type choisit-on de se limiter dans cet algorithme ?

2. Interpréter le contenu des variables gainmax\text {gainmax}, xmax\text {xmax} et ymax\text {ymax} à la fin de l’exécution de l’algorithme.

3. Programmer cet algorithme à l’aide de
Python
et déterminer alors les valeurs finales des variables. Interpréter le résultat.
  
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA
Voir les réponses

Dans le module GeoGebra, représenter chacune des régions du plan telles que :
  • x+y>150x + y \gt 150
  • x+3y>210x + 3y \gt 210
  • 3y>1803y \gt 180
Pour cela, utiliser la fenêtre Calcul formel et l’instruction Résoudre :

1 Résoudre (<\lt Équation en xx >\gt)

Par exemple, pour la première inéquation, écrire :

1 Résoudre (x+y>150)( x + y \gt 150)

Il faut cliquer sur le rond apparaissant sous le numéro 1 pour que la région du plan correspondant soit représentée.

1. Commenter le graphique obtenu.

2. a. Montrer que pour un gain gg en euro, on a 300x+500y=g300x + 500y = g .

b. Créer un curseur gg (allant de 0 à 60 000, avec un pas de 1 000), puis construire la droite d’équation 300x+500y=g300x + 500y = g . Proposer trois productions permettant un gain de 40 000 €.

3. Quel est le gain maximal que l’on puisse faire ? À quelle production d’objets O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 cela correspond-il ? Justifier.

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