TP / TICE 1


Régionnement du plan et optimisation linéaire




MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA

Lancer le module Geogebra
Voir les réponses

Dans le module GeoGebra, représenter chacune des régions du plan telles que :
  • x+y>150x + y \gt 150
  • x+3y>210x + 3y \gt 210
  • 3y>1803y \gt 180
Pour cela, utiliser la fenêtre Calcul formel et l’instruction Résoudre :

1 Résoudre (<\lt Équation en xx >\gt)

Par exemple, pour la première inéquation, écrire :

1 Résoudre (x+y>150)( x + y \gt 150)

Il faut cliquer sur le rond apparaissant sous le numéro 1 pour que la région du plan correspondant soit représentée.

1. Commenter le graphique obtenu.

2. a. Montrer que pour un gain gg en euro, on a 300x+500y=g300x + 500y = g .

b. Créer un curseur gg (allant de 0 à 60 000, avec un pas de 1 000), puis construire la droite d’équation 300x+500y=g300x + 500y = g . Proposer trois productions permettant un gain de 40 000 €.

3. Quel est le gain maximal que l’on puisse faire ? À quelle production d’objets O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 cela correspond-il ? Justifier.

Une entreprise fabrique deux objets à l’aide de trois machines.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

On cherche à écrire un programme avec Python permettant de balayer toutes les possibilités.
On considère l’algorithme suivant :

 gainmax 0 gain 0 xmax 0 ymax 0 Pour x allant de 0 aˋ 200: Pour y allant de 0 aˋ 200: Si x+y150 et  et : gain  Fin Si Si gain >gainmax:gainmaxgainxmaxxymaxyFin SiFin PourFin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { \text { gainmax } \leftarrow 0 } \\ { \text { gain } \leftarrow 0 } \\ { \text { xmax } \leftarrow 0 } \\ { \text { ymax } \leftarrow 0 } \\ \text{ Pour } x \text { allant de } 0 \text { à } 200 :\\ \quad \text { Pour y allant de } 0 \text { à } 200 : \\ \qquad \text { Si } x + y \leq 150 \text { et } \ldots \text { et } \ldots : \\ \qquad \quad \text { gain } \leftarrow \ldots \\ \qquad \text { Fin Si} \\ \qquad \text { Si gain } \gt \text{gainmax} : \\ \qquad \quad \text {gainmax} \leftarrow \text {gain} \\ \qquad \quad \text {xmax} \leftarrow \text {x} \\ \qquad \quad \text {ymax} \leftarrow \text {y} \\ \qquad \text {Fin Si} \\ \quad \text {Fin Pour} \\ \text {Fin Pour} \end{array} }
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1. À quelles quantités d’objets de chaque type choisit-on de se limiter dans cet algorithme ?

2. Interpréter le contenu des variables gainmax\text {gainmax}, xmax\text {xmax} et ymax\text {ymax} à la fin de l’exécution de l’algorithme.

3. Programmer cet algorithme à l’aide de
Python
et déterminer alors les valeurs finales des variables. Interpréter le résultat.
  

Objectif

Déterminer une production optimale avec une des deux méthodes de résolution.

Énoncé

Une entreprise fabrique deux objets à l’aide de trois machines.
La machine A ne peut travailler que 150 h par mois, la machine B que 210 h par mois et la machine C que 180 h par mois.
  • Le premier objet O1\text{O}_1 nécessite 1 h de la machine A, 1 h de la machine B puis il est vendu 300 € l’unité.
  • Le deuxième objet O2\text{O}_2 nécessite 1 h de la machine A, 3 h de la machine B et 3 h de la machine C puis il est vendu 500 € l’unité.
L’entreprise cherche à maximiser son gain de production.
Question préliminaire : En appelant xx et yy le nombre respectif d’objets O1\text{O}_1 et O2\text{O}_2 produits, expliquer pourquoi les contraintes de travail de la machine se traduisent chaque mois par :
  • x+y150x + y \leq 150
  • x+3y210x + 3y \leq 210
  • 3y1803y \leq 180
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