Exercices de synthèse

Différenciation

Parcours 1 : exercices

37

;

39

;

48

;

57

;

61

et

78

Parcours 2 : exercices

49

;

62

;

69

;

84

et

87

Parcours 3 : exercices

50

;

63

;

81

et

95

94

En SVT

[Représenter.]
Échanges gazeux.
Un entomologiste étudie les échanges gazeux entre plantes dans une culture sous serre. Il obtient les résultats suivants :

• Une plantation de 80 ficus et 50 caoutchouc relâchent 75 m³ d'${\text{O}}_2$ en une nuit.
• Une plantation de 30 ficus et 60 caoutchouc relâchent 57 m³ d'${\text{O}}_2$ en une nuit.

Évaluer la production de chaque plante individuellement.

95

[Chercher.]
Aileen organise une chasse au trésor dans son jardin pour l'anniversaire de son petit frère. Elle a creusé un trou et caché des paquets de bonbons. Pour pouvoir aider les amis de son frère, elle dessine un plan de la cachette à l'échelle 1 unité = 1 mètre.
Elle note que le trésor est aligné avec le chêne (appelé $\mathrm{C}$) et l'acacia (appelé $\mathrm{A}$), et qu'il est exactement à $\sqrt{5}$ mètres du rosier grimpant (appelé $\mathrm{R}$).

Retrouver la position exacte du trésor, appelé $\mathrm{T}$, sur la carte d'Aileen.

96

[Calculer.]
$(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$est un repère orthonormé du plan. On place un point $\mathrm{M}$ sur l'axe des abscisses et un point $\mathrm{N}$ sur l'axe des ordonnées. On appelle $\alpha$ l'abscisse de $\mathrm{M}$ et $\beta$ l'ordonnée de $\mathrm{N}$. On suppose que $\alpha$ et $\beta$ sont tous les deux non nuls. Soit $d$ et $d^{\prime }$ les droites d'équation respective $x-y+1=0$ et $y=2x$.

1. Déterminer, en fonction de $\alpha$ et $\beta$ , une équation cartésienne de la droite $(\mathrm{MN}).$

2. Déterminer une condition sur les réels $\alpha$ et $\beta$ pour que la droite $(\mathrm{MN})$ soit parallèle à la droite $d$.

3. a. Déterminer une condition sur les réels $\alpha$ et $\beta$ pour que la droite $(\mathrm{MN})$ soit sécante à la droite $d^{\prime }$.

b. On suppose $2\alpha +\beta \ne 0$ . Exprimer en fonction de $\alpha$ et $\beta$ les coordonnées du point d'intersection $\mathrm{T}$ des droites $(\mathrm{MN})$ et $d^{\prime }$.

97

[Chercher.]
Soit $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère du plan. Soit $k$ un réel et soit $d_k$ la droite d'équation cartésienne $2kx+(1-k)y+3k-1=0$.

1. a. Donner une équation cartésienne de la droite $d_0$ et la tracer dans le repère.

b. Donner une équation cartésienne de la droite $d_1$ et la tracer dans le repère.

c. Tracer dans le repère les droites $d_{-1},$ $d_2$et $d_{-2}.$
d. Quelle conjecture peut-on émettre pour les droites $d_k$ ?

2. Démontrer que les droites $d_k$ sont concourantes en un point $\mathrm{C}$ dont on calculera les coordonnées.

3. Déterminer les éventuelles valeurs de k pour lesquelles :
a. $d_k$ passe par le point $\mathrm{A}(-3;-4)$ ?

b. $d_k$ est parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $6x-4y+1=0$ ?

99

Défi

On souhaite déterminer le nombre de points à co0rdonnées entières sur une droite dans un intervalle donné.

1. On considère la droite $d$ d'équation $y=\frac{3}{4}x+1$.

a. Montrer que le point $(0;1)$ appartient à cette droite.

b. Combien y a-t-il de points à coordonnées entières sur la droite pour $x$ variant dans l'intervalle $[-10;10]$ ? dans l'intervalle $[100;200]$ ?

c. Quelle est l'amplitude minimale d'un intervalle sur lequel on comptera au moins 100 points à coordonnées entières ?

2. Reprendre l'exercice avec la droite d'équation $y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$

3. Reprendre l'exercice avec la droite d'équation $y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{3}$

100

Énigme

Un paysan élève des poulets et des lapins. Au total, il y a 50 têtes et 136 pattes. Combien a-t-il de poulets et de lapins ?

101

Casse-tête

Dans un quadrillage, on dessine un rectangle de longueur $a$ et de largeur $b$ (donc $a>b$).

1. Combien de carreaux sont coupés par la diagonale du rectangle ?

2. Proposer un algorithme qui compte le nombre de carreaux coupés par la diagonale du rectangle.