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Synthèse





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 39 ; 48 ; 57 ; 61 et 78
◉◉ Parcours 2 : exercices 49 ; 62 ; 69 ; 84 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 63 ; 81 et 95

89
[Calculer.]
Les points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} sont les milieux des côtés [AB][ \mathrm { AB } ], [AC][ \mathrm { AC } ] et [BC][ \mathrm { BC } ].
Synthèse équations de droites

1. Déterminer les équations réduites des droites (AK)( \mathrm { AK } ) et (BJ)( \mathrm { BJ } ).

2. En déduire les coordonnées de leur point d’intersection G\mathrm {G}.

3. Démontrer que G\mathrm{G} appartient aussi à la droite (CI)( \mathrm{ CI } ).

90
[Chercher.]
On a représenté dans le repère ci-dessous une maison vue de côté. L’unité est le mètre.
Les coordonnées des points représentés sont les suivantes : A(1;0),\mathrm { A } ( 1\: ; 0 ) , B(1;4),\mathrm { B } ( 1\: ; 4 ) , C(3;5,5),\mathrm { C } ( 3\: ; 5\text{,} 5 ) , E(4;5,5),\mathrm { E } ( 4\: ; 5\text{,} 5 ) , F(7;4)\mathrm { F } ( 7\: ; 4 ) et G(7;0)\mathrm { G } ( 7\: ; 0 ). Le point D\text{D} est à l’intersection des droites (BC)( \mathrm{BC} ) et (EF).( \mathrm { EF } ).
Synthèse équations de droites

1. Calculer la pente de la partie gauche du toit.

2. Calculer la pente de la partie droite du toit.

3. En déduire les coordonnées du point D\mathrm{D}.


Dans la vie professionnelle : les calculs d’un architecte pour les plans d’un logement font systématiquement appel aux mesures et aux pentes (toit d’un entrepôt par exemple).
Dans la vie professionnelle : les calculs d’un architecte

91
[Calculer.]
Dans le repère ci-dessous, I\mathrm{I} est le milieu du segment [AB][ \mathrm { AB } ].
Synthèse équations de droites

1. Déterminer une équation de chacune des droites (AC)( \mathrm { AC } ) et (BC).( \mathrm { BC } ).

2. Déterminer une équation de la droite Δ\Delta parallèle à (BC)\mathrm{(BC)} passant par I\mathrm{I}.

3. Calculer les coordonnées du point d’intersection J\mathrm{J} des droites Δ\Delta et (AC)( \mathrm { AC } ). Que représente ce point pour le segment [AC][ \mathrm { AC } ] ? Justifier.

92
[Représenter.]
Paul achète un arbuste qui mesure 75 cm. L’horticulteur lui dit qu’avec un arrosage régulier, sa plante gagnera 5 mm à la fin d’une journée en moyenne. On admet que la croissance se fait de façon continue tout au long de la journée.
1. Représenter dans un repère bien choisi l’évolution de la taille de la plante.
2. Une autre plante, plus petite mais vivace, mesurait 60 cm lorsque Paul l’a achetée, et grandira de 8 mm par jour en moyenne. Combien de temps faudra-t-il à cette plante pour atteindre la même taille que l’autre ?


93
[Calculer.]
On souhaite déterminer par le calcul les coefficients mm et pp de l’équation réduite y=mx+py = mx + p de la droite (AB)\mathrm{(AB)} dans le cas général. Pour cela, on note (xA;yA)\left( x _ { \mathrm { A } }\: ; y _ { \mathrm { A } } \right) les coordonnées de A\mathrm { A } et (xB;yB)\left( x _ { \mathrm { B } } \:; y _ { \mathrm { B } } \right) les coordonnées de B\mathrm{B} , avec xAxBx _ { \mathrm { A } } \neq x _ { \mathrm { B } } .
1. Montrer que cela revient à résoudre le système d’inconnues mm et pp suivant :
 (S) {mxA+p=yAmxB+p=yB\text { (S) } \begin{cases} { m x _ { \mathrm { A } } + p = y _ { \mathrm { A } } } \\ { m x _ { \mathrm { B } } + p = y _ { \mathrm { B } } } \end{cases}

2. En déduire l’expression de mm et pp en fonction des coordonnées de A\mathrm{A} et B\mathrm{B}.

3. Programmer sur Python la fonction « Droite (aa, bb, cc et dd) » qui donne l’équation réduite d’une droite où aa, bb, cc et dd sont les coordonnées de deux points.



94
EN SVT
[Représenter.]
Échanges gazeux.
Un entomologiste étudie les échanges gazeux entre plantes dans une culture sous serre. Il obtient les résultats suivants :
  • Une plantation de 80 ficus et 50 caoutchouc relâchent 75 m3 d’O2\text{O}_2 en une nuit.
  • Une plantation de 30 ficus et 60 caoutchouc relâchent 57 m3 d’O2\text{O}_2 en une nuit.
Évaluer la production de chaque plante individuellement.

95
[Chercher.] ◉◉◉
Aileen organise une chasse au trésor dans son jardin pour l’anniversaire de son petit frère. Elle a creusé un trou et caché des paquets de bonbons. Pour pouvoir aider les amis de son frère, elle dessine un plan de la cachette à l’échelle 1 unité = 1 mètre.
Elle note que le trésor est aligné avec le chêne (appelé C\mathrm{C}) et l’acacia (appelé A\mathrm{A}), et qu’il est exactement à mètres du rosier grimpant (appelé R\mathrm{R}).
Synthèse équations de droites
Retrouver la position exacte du trésor, appelé T\mathrm{T}, sur la carte d’Aileen.


96
[Calculer.]
(O;i,j)( \mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } )est un repère orthonormé du plan. On place un point M\mathrm{M} sur l'axe des abscisses et un point N\mathrm{N} sur l'axe des ordonnées. On appelle α\alpha l'abscisse de M\mathrm{M} et β\beta l'ordonnée de N\mathrm{N}. On suppose que α\alpha et β\beta sont tous les deux non nuls. Soit dd et dd' les droites d'équation respective xy+1=0x - y + 1 = 0 et y=2xy = 2 x.

1. Déterminer, en fonction de α\alpha et β\beta , une équation cartésienne de la droite (MN).( \mathrm{M N} ).

2. Déterminer une condition sur les réels α\alpha et β\beta pour que la droite (MN)( \mathrm{M N} ) soit parallèle à la droite dd.

3. a. Déterminer une condition sur les réels α\alpha et β\beta pour que la droite (MN)( \mathrm{M N} ) soit sécante à la droite dd'.

b. On suppose 2α+β02 \alpha + \beta \neq 0 . Exprimer en fonction de α\alpha et β\beta les coordonnées du point d’intersection T\mathrm{T} des droites (MN)( \mathrm{M N} ) et dd'.

97
[Chercher.]
Soit (O;i,j)( \mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } ) un repère du plan. Soit kk un réel et soit dkd_k la droite d'équation cartésienne 2kx+(1k)y+3k1=02 k x + ( 1 - k ) y + 3 k - 1 = 0.

1. a. Donner une équation cartésienne de la droite d0d_0 et la tracer dans le repère.

b. Donner une équation cartésienne de la droite d1d_1 et la tracer dans le repère.

c. Tracer dans le repère les droites d1,d_{-1}, d2d_{2} et d2.d_{-2}.
d. Quelle conjecture peut-on émettre pour les droites dkd_k ?

2. Démontrer que les droites dkd_k sont concourantes en un point C\mathrm{C} dont on calculera les coordonnées.

3. Déterminer les éventuelles valeurs de k pour lesquelles :
a. dkd_k passe par le point A(3;4)\mathrm{A} ( - 3\: ; - 4 ) ?

b. dkd_k est parallèle à la droite Δ\Delta d’équation 6x4y+1=06x-4y+1=0 ?

98
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
En optique, on rappelle les règles de construction des rayons lumineux traversant une lentille convergente de foyers F\mathrm{F} et F,\mathrm{F}', et de centre optique O\mathrm{O} :
  • les rayons passant par le centre optique ne sont pas déviés ;
  • les rayons parallèles à l'axe des foyers sortent de la lentille en passant par F\mathrm{F}
  • les rayons passant par F\mathrm{F} sortent de la lentille en passant à l’axe des foyers.
L’image d’un objet AB\mathrm{AB} placé parallèlement à la lentille est obtenue comme l’indique le schéma suivant.
On a : OF=OF=f\mathrm{OF} = \mathrm{OF'} = f' ; ff' est la distance focale de la lentille.
On choisit le point O\mathrm{O} comme origine d’un repère orthonormé, l’axe des abscisses étant la droite (FF)(\mathrm{FF'}).
Optique en physique, modéliser
Optique en physique, modéliser

1. Déterminer les coordonnées des foyers F\mathrm{F} et F\mathrm{F'}.

2. On note xAx _ { \mathrm { A } } l’abscisse de A\mathrm{A} avec xA0x _ { \mathrm { A } } \neq 0 et yBy _ { \mathrm { B } } l’ordonnée de B\mathrm{B} .
a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (OB)( \mathrm { OB } ).

b. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BF)( \mathrm { BF } ).

3. En déduire les coordonnées des points A\mathrm{A'} et B\mathrm{B'} en fonction de ff' , de xAx _ { \mathrm { A } } et de yBy _ { \mathrm { B } } .

4. Retrouver la relation suivante, appelée « relation de conjugaison » : 1xA1xA=1f\dfrac { 1 } { x _ { \mathrm { A } } ^ { \prime } } - \dfrac { 1 } { x _ { \mathrm { A } } } = \dfrac { 1 } { f ^ { \prime } }\cdot

Histoire des maths

Christiaan Huygens
Christiaan Huygens, enveloppes de courbes

Astronome et mathématicien hollandais du XVIIe siècle, Christiaan Huygens (1629-1695) développa de nouveaux objets lors de ses travaux en optique. En particulier, il étudia les enveloppes de courbes, obtenues en traçant la famille des droites tangentes en chaque point de la courbe. Ici, l’enveloppe de la fonction inverse (sur l’intervalle des réels positifs).

Club de Maths


99
DÉFI

On souhaite déterminer le nombre de points à co0rdonnées entières sur une droite dans un intervalle donné.

1. On considère la droite dd d’équation y=34x+1y = \dfrac { 3 } { 4 } x + 1.

a. Montrer que le point (0;1)( 0 \:; 1 ) appartient à cette droite.

b. Combien y a-t-il de points à coordonnées entières sur la droite pour xx variant dans l’intervalle [10;10][ - 10 \:; 10 ] ? dans l’intervalle [100;200][ 100 \:; 200 ] ?

c. Quelle est l’amplitude minimale d’un intervalle sur lequel on comptera au moins 100 points à coordonnées entières ?

2. Reprendre l’exercice avec la droite d’équation y=34x+12y = \dfrac { 3 } { 4 } x + \dfrac { 1 } { 2 }

3. Reprendre l’exercice avec la droite d’équation y=34x+13y = \dfrac { 3 } { 4 } x + \dfrac { 1 } { 3 }

100
ÉNIGME

Un paysan élève des poulets et des lapins. Au total, il y a 50 têtes et 136 pattes. Combien a-t-il de poulets et de lapins ?

101
CASSE-TÊTE
Équations de droites, casse-tête

Dans un quadrillage, on dessine un rectangle de longueur aa et de largeur bb (donc a>ba>b).

1. Combien de carreaux sont coupés par la diagonale du rectangle ?

2. Proposer un algorithme qui compte le nombre de carreaux coupés par la diagonale du rectangle.

  

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

Illustrations Exercices transversaux
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