Chapitre 8
Entraînement 1
Vecteurs directeurs et équations cartésiennes
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Pour l'ensemble des exercices, lorsque rien n'est précisé, on se placera dans un repère orthonormé du plan ( \text{O} ; \vec { i } , \vec { j } ).
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36
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, indiquer si le vecteur \vec{u} est un vecteur directeur de la droite ( \mathrm { AB } ).
1. \mathrm { A } ( 1\: ; 0 ) et \mathrm { B } ( 0 \:; 1 ) ; \vec { u }\begin{pmatrix}{ 1 } \\ { 1 } \end{pmatrix}
2. \mathrm { A } ( 2 \:; 3 ) et \mathrm { B } ( -3\: ; 4 ) ; \vec { u }\begin{pmatrix}{ 5 } \\ { -1 } \end{pmatrix}
3. \mathrm { A } ( -1\: ; 4 ) et \mathrm { B } ( -2\: ; 6 ) ; \vec { u }\begin{pmatrix}{ 2 } \\ { 1 } \end{pmatrix}
4. \mathrm { A } ( 4\: ; -2 ) et \mathrm { B } ( 1\: ; 1 ) ; \vec { u }\begin{pmatrix}{ 1 } \\ { -1 } \end{pmatrix}
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37
[Chercher.] On se place dans un repère orthonormé du plan ( \text{O} ; \vec { i } , \vec { j } ).
Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur pour chacune des droites représentées dans le repère.
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38
[Représenter.]
Représenter dans un repère la droite passant par le point \text{A} et de vecteur directeur \vec{u}.
1. Droite d _ { 1 } : \mathrm { A } ( 1\: ; 1 ) et \vec { u } ( - 1 \:; 3 )
2. Droite d _ { 2 } : \mathrm { A } ( - 2 \:; 1 ) et \vec { u } ( 5 \: ; 1 )
3. Droite d _ { 3 } : \mathrm { A } ( 0 \:; 3 ) et \vec { u } ( 3 \:; 0 )
4. Droite d _ { 4 } : \mathrm {A} ( - 4 \:; 0 ) et \vec { u } ( 0\: ; 5 )
GeoGebra
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39
[Représenter.] Représenter dans le repère chacune des droites suivantes dont on donne une équation cartésienne.
1. d _ { 1 } : x + y + 1 = 0
2. d _ { 2 } : 2 x - y - 2 = 0
3. d _ { 3 } : - x + 2 y + 3 = 0
4. d _ { 4 } : 3 x - 2 y + 3 = 0
5. d _ { 5 } : 2 x + 3 y - 4 = 0
GeoGebra
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40
[Chercher.]
Par lecture graphique, déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites représentées dans le repère.
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41
[Communiquer.]
Dans chaque cas, démontrer que l'équation de droite écrite est une équation de la droite ( \mathrm { AB } ).
1. y = - 23 x + 18, \mathrm {A} ( 2 \:; - 28 ) et \mathrm {B} ( - 1 \:; 41 )
2. y = - x \sqrt { 2 } + 4, \mathrm {A} ( \sqrt { 2 } \:; 2 ) et \mathrm { B } ( - \sqrt { 2 }\: ; 6 )
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42
[Calculer.]
Parmi les équations suivantes, quelles sont celles qui sont des équations de droites ?
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43
[Calculer.]
Parmi les équations suivantes, quelles sont celles qui sont des équations de droites ?
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44
[Raisonner.]
Dans chaque cas, déterminer en justifiant si le point \text{A} appartient à la droite d.
1. d : x + 4 y - 20 = 0 et \text{A} ( - 4\: ; 9 )
2. d : 2 x - 3 y - 1 = 0 et \text{A} ( 12 \:; 5 )
3. d : \dfrac { - 2 } { 3 } x + 2 y - \dfrac { 2 } { 3 } = 0 et \mathrm { A } \left( 1 \:; \dfrac { 2 } { 3 } \right)
4. d : \dfrac { - 4 } { 5 } x - \dfrac { 1 } { 2 } y - 1 = 0 et \mathrm { A } \left( \dfrac { 1 } { 2 }\: ; 3 \right)
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45
[Calculer.]
Calculer l'ordonnée du point \text{A} pour qu'il appartienne à la droite d :
1. \text{A} a pour abscisse -5 et d a pour équation 3 x - y - 2 = 0.
2. \text{A} a pour abscisse \dfrac{1}{2} et d a pour équation 7 x + y - 1 = 0.
3. \text{A} a pour abscisse \dfrac{4}{3} et d a pour équation \dfrac { 1 } { 2 } x + \dfrac { 1 } { 3 } y + \dfrac { 1 } { 4 } = 0.
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46
[Calculer.]
Calculer l'abscisse du point \text{A} pour qu'il appartienne à la droite d :
1. \text{A} a pour ordonnée \dfrac{-3}{2} et d a pour équation 3 x - y - 2 = 0.
2. \text{A} a pour ordonnée \dfrac{1}{2} et d a pour équation -7 x - y +1 = 0.
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47
[Calculer.]
Calculer l'abcisse du point \text{A} pour qu'il appartienne à la droite d :
1. \text{A} a pour ordonnée 4 et d a pour équation \dfrac { 1 } { 3 } x + \dfrac { 2 } { 5 } y - 1 = 0.
2. \text{A} a pour ordonnée \sqrt{2} et d a pour équation \dfrac { 3 } { \sqrt { 2 } } x + 5 y - \sqrt { 2 } = 0.
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48
[Chercher.]Soit d une droite passant par le point \text{A} et de vecteur directeur \vec{u}.
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite d :
1. \text{A} ( 0\: ; 0 ) et \vec { u } \begin{pmatrix} { 1 } \\ { 1 } \end{pmatrix}
2. \text{A} ( 1\: ; 2 ) et \vec { u } \begin{pmatrix} { 1 } \\ { -2 } \end{pmatrix}
3. \text{A} ( -3\: ; -1 ) et \vec { u } \begin{pmatrix} { -\sqrt{2} } \\ { 1 } \end{pmatrix}
4. \text{A} ( \dfrac{1}{2} \:; \dfrac{1}{2} ) et \vec { u } \begin{pmatrix} { -3 } \\ { -1 } \end{pmatrix}
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49
[Calculer.] Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite ( \mathrm { AB } ).
1. \mathrm { A } ( 0 \:; 1 ) et \mathrm { B } ( 1\: ; 0 )
2. \mathrm { A } ( 2\: ; 1 ) et \mathrm { B } ( -1 \:; 6 )
3. \mathrm { A } ( \dfrac{2}{3}\:; -\dfrac{1}{2} ) et \mathrm { B } ( \dfrac{-1}{3}\:; -\dfrac{3}{2} )
4. \mathrm { A } ( -\sqrt{2} \:; -2\sqrt{3} ) et \mathrm { B } ( 3\sqrt{2}\: ; \sqrt{3} )
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[Calculer.] Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite d parallèle à la droite ( \mathrm { AB } ) et passant par le point \mathrm { C }.
1. \mathrm { A } ( 1\: ;0 ), \mathrm { B } ( 0 \:;1 ) et \mathrm { C } (3\: ; -2)
2. \mathrm { A } ( 1 \:; -3 ), \mathrm { B } ( 2 \:; 1 ) et \mathrm { C } (1\: ; 1)
3. \mathrm { A } ( -2\: ; -2 ), \mathrm { B } ( 1 \:; -5 ) et \mathrm { C } (-6 \:; 2)
4. \mathrm { A } ( -5 \:; 1 ), \mathrm { B } ( -1 \:;-1 ) et \mathrm { C } (-2\: ; -2)
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51
Algo
[Calculer.]
d est une droite de vecteur directeur \vec{u} de coordonnées \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} et passant par un point \mathrm { A } ( x\: ; y ) où \alpha, \beta, x et y sont des réels saisis par l'utilisateur.
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui donne les coefficients a, b et c d'une équation cartésienne de la droite d.
2. Le traduire en langage Python.
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52
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « L'ensemble des points du plan de coordonnées (x\:;y) tels que 2 x ( y + 1 ) -( x + 1 ) ( 2 y + 1 ) = 2 est une droite. »
2. « Le vecteur \vec { v } \begin{pmatrix} { 3 } \\ { - 2 } \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite d d'équation cartésienne 6x + 9y - 1 = 0 . »
3. « Les droites d'équation cartésienne 4x + 8y - 3 = 0 et -5x + 10y + 7 = 0 sont parallèles. »
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53
[Représenter.]
Dans un jeu de cartes sur ordinateur, on reçoit 1 000 gemmes à la première utilisation et chaque mission quotidienne rapporte 300 gemmes.
1. Compléter le tableau suivant qui donne le gain quotidien :
2. Dans un repère orthogonal, représenter le tableau ci-dessus par un nuage de points (on prendra 1 cm pour 2 jours en abscisses et 1 cm pour 500 gemmes en ordonnées).
| Jours de jeu | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gemmes en possession |
|
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|
2. Dans un repère orthogonal, représenter le tableau ci-dessus par un nuage de points (on prendra 1 cm pour 2 jours en abscisses et 1 cm pour 500 gemmes en ordonnées).
3. Expliquer pourquoi les points sont alignés et déterminer une équation de la droite passant par ces points.
4. Combien de jours minimum faut-il jouer pour se payer l'inscription à un tournoi à 4 800 gemmes ?
4. Combien de jours minimum faut-il jouer pour se payer l'inscription à un tournoi à 4 800 gemmes ?
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54
[Représenter.]
On construit une suite de carrés tronqués à chaque sommet comme dans la figure ci-dessous. On note n la longueur du côté du carré exprimée en cm (n supérieur ou égal à 2).
1. Quel est le périmètre du premier polygone (le plus petit) ? Et du deuxième ?
2. Exprimer le périmètre \text{P}_n du n-ième polygone en fonction de n.
2. Exprimer le périmètre \text{P}_n du n-ième polygone en fonction de n.
3. Représenter graphiquement les points (n \:; y) où y = \text{P}_n dans un repère orthogonal donc on choisira bien l'unité.
4. Que constate-t-on ?
5. Établir les dimensions du polygone dont le périmètre dépasse 1 m. Vérifier par le calcul.
GeoGebra
4. Que constate-t-on ?
5. Établir les dimensions du polygone dont le périmètre dépasse 1 m. Vérifier par le calcul.
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Algo
[Représenter.]
Une ville \text{A} compte 6 000 habitants au 1er janvier 2018 et sa démographie montre une augmentation de 150 habitants en moyenne par an.
Une ville \text{B} qui compte 8 000 habitants perd 80 habitants par an.
On souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population de la ville \text{A} aura dépassé la population de la ville \text{B}.
1. Représenter graphiquement l'évolution des deux populations et conjecturer graphiquement la réponse au problème posé.
2. a. Recopier et compléter l'algorithme suivant :
\boxed{
\begin{array} { l }
6 \, 000 \leftarrow \mathrm { A } \\
8 \, 000 \leftarrow \mathrm { B } \\
2 \, 018 \leftarrow \mathrm { N } \\
\text{Tant que} \ldots \\
\quad \mathrm { A } \leftarrow \ldots \\
\quad \mathrm { B } \leftarrow \ldots \\
\quad \mathrm { N } \leftarrow \mathrm { N + 1 } \\
\text{Fin Tant que}
\end{array}
}
b. Quelles seront les valeurs prises par \mathrm { A }, \mathrm { B } et \mathrm { C } lorsque l'algorithme s'arrêtera ?
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Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
