Entrainement 1


Vecteurs directeurs et équations cartésiennes




Pour l’ensemble des exercices, lorsque rien n’est précisé, on se placera dans un repère orthonormé du plan (O;i,j).( \text{O} ; \vec { i } , \vec { j } ).


46
[Calculer.]
Calculer l’ordonnée du point A \text{A} pour qu’il appartienne à la droite dd :
1. A \text{A} a pour ordonnée 32\dfrac{-3}{2} et dd a pour équation 3xy2=0.3 x - y - 2 = 0.

2. A \text{A} a pour ordonnée 12\dfrac{1}{2} et dd a pour équation 7xy+1=0.-7 x - y +1 = 0.

44
[Raisonner.]
Dans chaque cas, déterminer en justifiant si le point A\text{A} appartient à la droite dd.
1. d:x+4y20=0d : x + 4 y - 20 = 0 et A(4;9)\text{A} ( - 4\: ; 9 )

2. d:2x3y1=0d : 2 x - 3 y - 1 = 0 et A(12;5)\text{A} ( 12 \:; 5 )

3. d:23x+2y23=0d : \dfrac { - 2 } { 3 } x + 2 y - \dfrac { 2 } { 3 } = 0 et A(1;23)\mathrm { A } \left( 1 \:; \dfrac { 2 } { 3 } \right)

4. d:45x12y1=0d : \dfrac { - 4 } { 5 } x - \dfrac { 1 } { 2 } y - 1 = 0 et A(12;3)\mathrm { A } \left( \dfrac { 1 } { 2 }\: ; 3 \right)

53
[Représenter.]
Dans un jeu de cartes sur ordinateur, on reçoit 1 000 gemmes à la première utilisation et chaque mission quotidienne rapporte 300 gemmes.

Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

1. Compléter le tableau suivant qui donne le gain quotidien :

Jours de jeu 0 1 2 3 10 15 20
Gemmes en possession

2. Dans un repère orthogonal, représenter le tableau ci-dessus par un nuage de points (on prendra 1 cm pour 2 jours en abscisses et 1 cm pour 500 gemmes en ordonnées).

3. Expliquer pourquoi les points sont alignés et déterminer une équation de la droite passant par ces points.

4. Combien de jours minimum faut-il jouer pour se payer l’inscription à un tournoi à 4 800 gemmes ?

52
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. « L’ensemble des points du plan de coordonnées (x;y)(x\:;y) tels que 2x(y+1)(x+1)(2y+1)=22 x ( y + 1 ) -( x + 1 ) ( 2 y + 1 ) = 2 est une droite. »

2. « Le vecteur v(32)\vec { v } \begin{pmatrix} { 3 } \\ { - 2 } \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite dd d’équation cartésienne 6x+9y1=0.6x + 9y - 1 = 0 . »

3. « Les droites d’équation cartésienne 4x+8y3=04x + 8y - 3 = 0 et 5x+10y+7=0-5x + 10y + 7 = 0 sont parallèles. »

55
ALGO
[Représenter.]
Une ville A\text{A} compte 6 000 habitants au 1er janvier 2018 et sa démographie montre une augmentation de 150 habitants en moyenne par an.
Une ville B\text{B} qui compte 8 000 habitants perd 80 habitants par an.
On souhaite déterminer le nombre d’années au bout duquel la population de la ville A\text{A} aura dépassé la population de la ville B\text{B}.
1. Représenter graphiquement l’évolution des deux populations et conjecturer graphiquement la réponse au problème posé.
a. Compléter l’algorithme suivant :

6000A8000B2018NTant queABNN+1Fin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } 6 \, 000 \leftarrow \mathrm { A } \\ 8 \, 000 \leftarrow \mathrm { B } \\ 2 \, 018 \leftarrow \mathrm { N } \\ \text{Tant que} \ldots \\ \quad \mathrm { A } \leftarrow \ldots \\ \quad \mathrm { B } \leftarrow \ldots \\ \quad \mathrm { N } \leftarrow \mathrm { N + 1 } \\ \text{Fin Tant que} \end{array} }
b. Quelles seront les valeurs prises par A\mathrm { A }, B\mathrm { B } et C\mathrm { C } lorsque l’algorithme s’arrêtera ?

47
[Calculer.]
Calculer l’ordonnée du point A \text{A} pour qu’il appartienne à la droite dd :
1. A \text{A} a pour ordonnée 44 et dd a pour équation 13x+25y1=0.\dfrac { 1 } { 3 } x + \dfrac { 2 } { 5 } y - 1 = 0.

2. A \text{A} a pour ordonnée 2\sqrt{2} et dd a pour équation 32x+5y2=0.\dfrac { 3 } { \sqrt { 2 } } x + 5 y - \sqrt { 2 } = 0.

41
[Communiquer.]
Dans chaque cas, démontrer que l’équation de droite écrite est une équation de la droite (AB).( \mathrm { AB } ).
1. y=23x+18y = - 23 x + 18, A(2;28)\mathrm {A} ( 2 \:; - 28 ) et B(1;41) \mathrm {B} ( - 1 \:; 41 )

2. y=x2+4y = - x \sqrt { 2 } + 4, A(2;2)\mathrm {A} ( \sqrt { 2 } \:; 2 ) et B(2;6)\mathrm { B } ( - \sqrt { 2 }\: ; 6 )

45
[Calculer.]
Calculer l’ordonnée du point A \text{A} pour qu’il appartienne à la droite dd :
1. A \text{A} a pour abscisse 5-5 et dd a pour équation 3xy2=0.3 x - y - 2 = 0.

2. A \text{A} a pour abscisse 12\dfrac{1}{2} et dd a pour équation 7x+y1=0.7 x + y - 1 = 0.

3. A \text{A} a pour abscisse 43\dfrac{4}{3} et dd a pour équation 12x+13y+14=0.\dfrac { 1 } { 2 } x + \dfrac { 1 } { 3 } y + \dfrac { 1 } { 4 } = 0.

36
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, indiquer si le vecteur u\vec{u} est un vecteur directeur de la droite (AB)( \mathrm { AB } ).
1. A(1;0)\mathrm { A } ( 1\: ; 0 ) et B(0;1)\mathrm { B } ( 0 \:; 1 ) ; u(11)\vec { u }\begin{pmatrix}{ 1 } \\ { 1 } \end{pmatrix}

2. A(2;3)\mathrm { A } ( 2 \:; 3 ) et B(3;4)\mathrm { B } ( -3\: ; 4 ) ; u(51)\vec { u }\begin{pmatrix}{ 5 } \\ { -1 } \end{pmatrix}

3. A(1;4)\mathrm { A } ( -1\: ; 4 ) et B(2;6)\mathrm { B } ( -2\: ; 6 ) ; u(21)\vec { u }\begin{pmatrix}{ 2 } \\ { 1 } \end{pmatrix}

4. A(4;2)\mathrm { A } ( 4\: ; -2 ) et B(1;1)\mathrm { B } ( 1\: ; 1 ) ; u(11)\vec { u }\begin{pmatrix}{ 1 } \\ { -1 } \end{pmatrix}

42
[Calculer.]
Parmi les équations suivantes, quelles sont celles qui sont des équations de droites ?




37
[Chercher.] ◉◉◉
On se place dans un repère orthonormé du plan (O;i,j).( \text{O} ; \vec { i } , \vec { j } ).
Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur pour chacune des droites représentées dans le repère.

38
[Représenter.]
Représenter dans un repère la droite passant par le point A\text{A} et de vecteur directeur u\vec{u}.
1. Droite d1:A(1;1)d _ { 1 } : \mathrm { A } ( 1\: ; 1 ) et u(1;3)\vec { u } ( - 1 \:; 3 )
2. Droite d2:A(2;1)d _ { 2 } : \mathrm { A } ( - 2 \:; 1 ) et u(5;1)\vec { u } ( 5 \: ; 1 )
3. Droite d3:A(0;3)d _ { 3 } : \mathrm { A } ( 0 \:; 3 ) et u(3;0)\vec { u } ( 3 \:; 0 )
4. Droite d4:A(4;0)d _ { 4 } : \mathrm {A} ( - 4 \:; 0 ) et u(0;5)\vec { u } ( 0\: ; 5 )

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51
ALGO
[Calculer.]
dd est une droite de vecteur directeur u\vec{u} de coordonnées (αβ)\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} et passant par un point A(x;y)\mathrm { A } ( x\: ; y )α\alpha, β\beta, xx et yy sont des réels saisis par l’utilisateur.

1. Écrire un algorithme en langage naturel qui donne les coefficients aa, bb et cc d’une équation cartésienne de la droite d.d.

2. Le traduire en langage Python.



DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 39 ; 48 ; 57 ; 61 et 78
◉◉ Parcours 2 : exercices 49 ; 62 ; 69 ; 84 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 63 ; 81 et 95

40
[Chercher.]
Par lecture graphique, déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites représentées dans le repère.
Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

48
[Chercher.] ◉◉◉
Soit dd une droite passant par le point A\text{A} et de vecteur directeur u\vec{u}.
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite dd :
1. A(0;0)\text{A} ( 0\: ; 0 ) et u(11)\vec { u } \begin{pmatrix} { 1 } \\ { 1 } \end{pmatrix}

2. A(1;2)\text{A} ( 1\: ; 2 ) et u(12)\vec { u } \begin{pmatrix} { 1 } \\ { -2 } \end{pmatrix}

3. A(3;1)\text{A} ( -3\: ; -1 ) et u(21)\vec { u } \begin{pmatrix} { -\sqrt{2} } \\ { 1 } \end{pmatrix}

4. A(12;12)\text{A} ( \dfrac{1}{2} \:; \dfrac{1}{2} ) et u(31)\vec { u } \begin{pmatrix} { -3 } \\ { -1 } \end{pmatrix}

39
[Représenter.] ◉◉◉
Représenter dans le repère chacune des droites suivantes dont on donne une équation cartésienne.
1. d1:x+y+1=0d _ { 1 } : x + y + 1 = 0
2. d2:2xy2=0d _ { 2 } : 2 x - y - 2 = 0
3. d3:x+2y+3=0d _ { 3 } : - x + 2 y + 3 = 0
4. d4:3x2y+3=0d _ { 4 } : 3 x - 2 y + 3 = 0
5. d5:2x+3y4=0d _ { 5 } : 2 x + 3 y - 4 = 0

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50
[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite dd parallèle à la droite (AB)( \mathrm { AB } ) et passant par le point C\mathrm { C }.
1. A(1;0)\mathrm { A } ( 1\: ;0 ), B(0;1)\mathrm { B } ( 0 \:;1 ) et C(3;2)\mathrm { C } (3\: ; -2)

2. A(1;3)\mathrm { A } ( 1 \:; -3 ), B(2;1)\mathrm { B } ( 2 \:; 1 ) et C(1;1)\mathrm { C } (1\: ; 1)

3. A(2;2)\mathrm { A } ( -2\: ; -2 ), B(1;5)\mathrm { B } ( 1 \:; -5 ) et C(6;2)\mathrm { C } (-6 \:; 2)

4. A(5;1)\mathrm { A } ( -5 \:; 1 ), B(1;1)\mathrm { B } ( -1 \:;-1 ) et C(2;2)\mathrm { C } (-2\: ; -2)

49
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)( \mathrm { AB } ).
1. A(0;1)\mathrm { A } ( 0 \:; 1 ) et B(1;0)\mathrm { B } ( 1\: ; 0 )

2. A(2;1)\mathrm { A } ( 2\: ; 1 ) et B(1;6)\mathrm { B } ( -1 \:; 6 )

3. A(23;12)\mathrm { A } ( \dfrac{2}{3}\:; -\dfrac{1}{2} ) et B(13;32)\mathrm { B } ( \dfrac{-1}{3}\:; -\dfrac{3}{2} )

4. A(2;23)\mathrm { A } ( -\sqrt{2} \:; -2\sqrt{3} ) et B(32;3)\mathrm { B } ( 3\sqrt{2}\: ; \sqrt{3} )

54
[Représenter.]
On construit une suite de carrés tronqués à chaque sommet comme dans la figure ci-dessous. On note nn la longueur du côté du carré exprimée en cm (nn supérieur ou égal à 2).
Vecteurs directeurs et équations cartésiennes

1. Quel est le périmètre du premier polygone (le plus petit) ? Et du deuxième ?

2. Exprimer le périmètre Pn\text{P}_n d’un polygone quelconque en fonction de nn.

3. Représenter graphiquement les points (n;y)(n \:; y) y=Pny = \text{P}_n dans un repère orthogonal donc on choisira bien l’unité.

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4. Que constate-t-on ?

5. Établir les dimensions du polygone dont le périmètre dépasse 1 m. Vérifier par le calcul.

43
[Calculer.]
Parmi les équations suivantes, quelles sont celles qui sont des équations de droites ?



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