Chapitre 8
Travailler ensemble
La droite d'Euler dans un triangle
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Dans un repère orthonormé ( \mathrm { \Omega }\: ; \vec { i } , \vec { j } ) d'unité 2 cm, on considère les points \text{A} ( - 1\:; 4 ), \text{B} ( 3\: ; - 4 ) et \mathrm { C } ( - 2\: ; 1 ).
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Partie 1
Les médiatrices des côtés [ \mathrm { AC } ] et [ \mathrm { BC } ] ont pour équations respectives x + 3y - 6 = 0 et x - y - 2 = 0 .
1. Tracer les deux médiatrices.
GeoGebra
2. Déterminer par le calcul leur point d'intersection, noté \mathrm { O }.
3. Que représente le point \mathrm { O } pour le triangle \mathrm { ABC } ?
3. Que représente le point \mathrm { O } pour le triangle \mathrm { ABC } ?
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Partie 2
\text{P} ( - 3 \:; 2 ) et \text{R} ( - 3\: ; - 2 ) sont les pieds des hauteurs issues de \text{A} et \text{B}.
1. Tracer les hauteurs du triangle.
GeoGebra
2. Pour les hauteurs (\text{AP}) et (\text{BR}) :
a. lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur directeur ;
b. déterminer une équation.
3. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection \text{H} de (\text{AP}) et (\text{BR}).
4. Vérifier graphiquement que (\text{HC}) est perpendiculaire à (\text{AB}).
5. Que représente le point \text{H} pour le triangle \text{ABC} ?
a. lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur directeur ;
b. déterminer une équation.
3. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection \text{H} de (\text{AP}) et (\text{BR}).
4. Vérifier graphiquement que (\text{HC}) est perpendiculaire à (\text{AB}).
5. Que représente le point \text{H} pour le triangle \text{ABC} ?
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Partie 3
1. Tracer les médianes issues de \text{A} et de \text{B} et déterminer une équation de chacune de ces deux droites.
2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection \text{G}.
2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection \text{G}.
3. Que représente le point \text{G} pour le triangle \text{ABC} \:?
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Le mathématicien suisse Leonhard Euler n'est pas celui qui a découvert la droite d'Euler. Cependant, il est le premier à publier une démonstration algébrique de l'alignement dans un triangle du centre de gravité, de l'orthocentre et du centre du cercle circonscrit.
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Mise en commun
1. Dans un repère orthonormé, placer les points \text{G}, \text{M} et \text{O} trouvés par chaque groupe. Que constate-t-on ?
2. Déterminer une équation de la droite (\text{OH}).
3. Vérifier par le calcul que \text{G} appartient à la droite (\text{OH}). On appelle cette droite la droite d'Euler.
2. Déterminer une équation de la droite (\text{OH}).
3. Vérifier par le calcul que \text{G} appartient à la droite (\text{OH}). On appelle cette droite la droite d'Euler.
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Que devient la droite d'Euler lorsque le triangle est isocèle ? et équilatéral ?