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A. Découvrir les probabilités

1. Expérience aléatoire et évènement

  Définitions
Une expérience aléatoire est une expérience, reproductible, dont on connait tous les résultats possibles sans pouvoir déterminer de manière certaine lequel va se produire.
On appelle « issue » ou « éventualité » de lʼexpérience chacun des résultats possibles de lʼexpérience aléatoire.

  J'applique
Consigne : 
Jouer à pile ou face, est-ce une expérience aléatoire ?
Correction : Jouer à pile ou face nʼa que deux issues : tomber sur pile ou tomber sur face. On en connait tous les résultats possibles, donc le jeu de pile ou face est bien une expérience aléatoire.

  Définition
Un évènement est constitué dʼun ensemble dʼissues. Il peut être ou ne pas être réalisé lors dʼune expérience aléatoire. Un évènement est réalisé lorsquʼon obtient lʼune des issues qui le composent.

  J'applique
Consigne : On lance un dé à six faces. Proposez un évènement à une issue, à deux issues, à trois issues. Proposez un évènement qui nʼa aucune issue.
Correction : 
  • « Obtenir un 6 » est un évènement à une issue, car il nʼy a quʼune face du dé marqué dʼun 6 dessus.
  • « Obtenir 1 ou 3 » est un évènement à deux issues.
  • « Obtenir un nombre pair » est un évènement à trois issues, car 2, 4 et 6 sont des nombres pairs.
  • « Obtenir un 8 » est un évènement à zéro issue, car il nʼy a pas de 8 sur un dé à six faces.

2. Évènements particuliers

  Définitions
Évènement impossible
 : un évènement qui ne peut se réaliser, qui nʼest constitué dʼaucune issue.
Évènement certain : un évènement qui se réalise toujours, qui est constitué de toutes les issues.
Évènements incompatibles : deux évènements qui ne peuvent se réaliser lors de la même expérience, qui nʼont aucune issue en commun.
Évènement contraire : lʼévènement contraire de A est lʼévènement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. Il est constitué des issues qui ne sont pas dans A et on le note A , ce qui se prononce « le contraire de A ».

  J'applique
Consigne : 
On place une boule rouge et deux boules bleues dans un sac, puis on en tire une au hasard. Donnez un exemple pour chacun des évènements particuliers évoqués dans le cours.
Correction : 
  • Évènement impossible : « Tirer une boule verte », car il nʼy en a pas dans le sac.
  • Évènement certain : « Tirer une boule bleue ou rouge », car il nʼy a que ces deux couleurs dans le sac.
  • Évènements incompatibles : « Tirer une boule rouge » et « Tirer une boule bleue » sont des évènements incompatibles, car on ne tire quʼune seule boule à la fois.
  • Évènement contraire : « Tirer une boule rouge » est lʼévènement contraire de « Tirer une boule bleue », et inversement. Comme il nʼy a que ces deux couleurs, si on ne tire pas une couleur, cʼest que lʼon tire lʼautre.

Remarque :
Un évènement est toujours incompatible avec son contraire.

B. Calcul de probabilités

1. Probabilité dʼune issue

  Définitions
La probabilité dʼune issue représente les chances quʼelle apparaisse lors dʼune expérience aléatoire. Cʼest un nombre compris entre 0 et 1. Dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité dʼapparaitre, on parle de situation dʼéquiprobabilité. En situation dʼéquiprobabilité, la probabilité de chacune des issues est égale à 1nombre total d’issues\dfrac{1}{\text{nombre total d'issues}}.

La somme des probabilités de toutes les issues dʼune expérience est égale à 1.

Remarque :

  • On peut écrire une probabilité de trois façons :
    • sous forme de nombre décimal : la probabilité de tirer pile est 0,5 ;
    • sous forme de fraction : la probabilité de tirer pile est de 12\dfrac{1}{2} ;
    • sous forme de pourcentage : on a 50 % de chance de tirer pile.
  J'applique
Consigne : 
On lance un dé à six faces non truqué.
Est-ce une situation dʼéquiprobabilité ? Si oui, quelle est la probabilité de tirer un 5 ?
Correction : Le dé nʼest pas truqué. On a donc la même probabilité de tirer chacune des six faces. Il y a six issues possibles, donc la probabilité de tirer un 5 est 16\dfrac{1}{6}.

2. Probabilité dʼun évènement

  Définition
La probabilité dʼun évènement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On note cette probabilité P(A).

  J'applique
Consigne : 
On lance un dé truqué, dont on donne les probabilités de tirer chaque face.
Face123456
Probabilité10%10%10%20%20%30%
Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair ?
Correction : Cʼest la probabilité de tirer 2 (soit 10 %), 4 (soit 20 %) ou 6 (soit 30 %). La probabilité de tirer un nombre pair est donc 10 % + 20 % + 30 % = 60 %.

  Propriété
En situation dʼéquiprobabilité, on a : P(A)=nombre d’issues pour lesquelles est reˊaliseˊnombre total d’issues\text{P(A)} = \dfrac{\text{nombre d'issues pour lesquelles est réalisé}}{\text{nombre total d’issues}}

Avant d’utiliser cette formule, il faut toujours vérifier qu’on est en situation d’équiprobabilité.

  J'applique
Consigne : 
Lorsque lʼon lance un dé à huit faces non truqué, quelle est la probabilité de lʼévènement A, « Tirer un nombre strictement inférieur à 3 » ?
Correction : Le dé est non truqué, donc nous sommes dans une situation dʼéquiprobabilité. Le dé a huit faces, donc il y a huit issues possibles. Il y a deux issues qui réalisent lʼévènement : tirer 1 ou 2.
Donc P(A)=28=14=0,25=25\text{P(A)} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0\text{,}25 = 25%

  Propriétés
Si un évènement A est certain, alors P(A)=1\text{P(A)} = 1.
Si un évènement A est impossible, alors P(A)=0\text{P(A)} = 0.

Exemple :

On tire un dé à six faces.
La probabilité de tirer un entier est 1.
La probabilité de tirer 8 est 0.

  Propriété
Si deux évènements A et B sont incompatibles, la probabilité que lʼun ou lʼautre se réalise est la somme de leurs probabilités : P(A ou B)=P(A)+P(B)\text{P(A ou B)} = \text{P(A)} + \text{P(B)}.

Exemple :

On tire un dé à 6 faces. On note
A : « Tirer 1 ou 2 » et B : « Tirer 4, 5 ou 6 ».
Nous sommes dans une situation dʼéquiprobabilté.
On a P(A)=26=13\text{P}(\text{A}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} et P(B)=36=12\text{P}(\text{B}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
A et B sont incompatibles, lʼévènement « A ou B » correspond à « tirer 1, 2, 4, 5 ou 6 ». On a bien P(A)=56=26+36=P(A)+P(B)\text{P}(\text{A}) = \dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \text{P}(\text{A}) + \text{P}(\text{B})

  Propriété
La somme des probabilités dʼun évènement A et de son contraire vaut 1, soit P(A)+P(A)=1\text{P(A)} + \text{P}(\overline{\text{A}}) = 1.

Exemple : 
Le contraire de A est A\overline{\text{A}} : « Tirer 3, 4, 5 ou 6 ».
On a bien P(A)=46=126=1P(A)\text{P}(\overline{\text{A}}) = \dfrac{4}{6} = 1 - \dfrac{2}{6} = 1 - \text{P(A)}

C. Fréquences et probabilités

  Méthode
On répète de nombreuses fois une expérience aléatoire et lʼon considère la série statistique des résultats.
La fréquence dʼapparition dʼune issue ou dʼun évènement va alors se rapprocher de sa probabilité.

Exemple :

On tire un dé équilibré à quatre faces.
Les probabilités de réalisation des faces sont :
Face 1234
Probabilité25 %25 %25 %25 %
La probabilité de lʼévènement A : « Obtenir 2 ou moins » est donc de 50 %.
Une expérience consiste à lancer le dé 2 000 fois. On répète 5 fois lʼexpérience et on mesure la fréquence de réalisation de lʼévènement A. Les résultats sont consignés dans le tableau et le graphique ci-dessous.
Face1234Total
Effectifs2 5292 4982 4432 53010 000
Fréquence25,29 %24,98 %24,43 %25,3 %100 %

Fréquence de réalisation de A : 50,27 %.
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