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Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2

Illustration bureau mathématiques
Vous savez construire un segment de longueur 2\sqrt{2} cm : c’est la diagonale d’un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d’un nombre décimal ni sous la forme d’une fraction ? On dit que c’est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d’en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.). 
Héron d’Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle sans connaitre de hauteur.
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Étape 1 : Nombre irrationnel

Supposons que 2\sqrt{2} soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction irréductible ab\dfrac{a}{b} , avec aa et bb premiers entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc 2=ab\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.
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DYS

Exercice 1 : Étape 1 : Nombre irrationnel

Supposons que 2\sqrt{2} soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction irréductible ab\dfrac{a}{b} , avec aa et bb premiers entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc 2=ab\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.

Question 1

Énoncé
Démontrez que a2=2b2a^2 = 2b^2.

Question 2

Énoncé
Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d’un nombre entier ? Puisque a2a^2 est le double de b2b^2 , quel est son chiffre des unités ?

Question 3

Énoncé
Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ?
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