Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 16

Problèmes résolus

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41
Un carré

J'envisage plusieurs méthode de résolution
Je comprends la modélisation numérique ou géométrique d'une situation

\text{ABCD} est un carré de côté \text{10~cm} et \text{AE = 2,5~cm}. Le point \text{F} est le milieu de \text{[AD]}.
Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 1Graphique lié à l'exercice 1
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Calculez l'aire du triangle \text{ECF}.
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Méthode 1
On détermine la longueur des trois côtés du triangle, puis on démontre que le triangle est rectangle. On en calcule alors l'aire avec la formule du triangle rectangle.

Corrigé 1
  • Dans le triangle \text{AEF} rectangle en \text{A}, on applique le théorème de Pythagore :
\text{EF}^2 = \text{AE}^2 + \text{AF}^2
\text{EF}^2 = 2\text{,}5^2 + 5^2 = 6\text{,}25 + 25 = 31\text{,}25
\text{EF} = \sqrt{31\text{,}25}

  • Dans le triangle \text{CDF} rectangle en \text{D}, on applique le théorème de Pythagore :
\text{FC}^2 = \text{DF}^2 + \text{DC}^2
\text{FC}^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125
\text{FC} = \sqrt{125}

  • Dans le triangle \text{EBC} rectangle en \text{B}, on applique le théorème de Pythagore :
\text{EC}^2 = \text{EB}^2 + \text{BC}^2
\text{EC}^2 =7\text{,}5^2 + 10^2 = 56\text{,}25 + 100 = 156\text{,}25
\text{EC} = \sqrt{156\text{,}25}.

Le segment \text{[EF]} mesure \sqrt{31,25} \text{cm}, \text{[FC]} = \sqrt{125} \text{cm} et \text{[EC] =} \sqrt{156,25} \text{cm}.

  • Dans le triangle \text{ECF}, \text{[EC]} est le plus grand côté et \text{EC2}\text{ = 156,25}.
\text{CF}^2 + \text{FE}^2 = 125 + 31\text{,}25 = 156\text{,}25
On constate que \text{EC}^2 = \text{CF}^2 +\text{FE}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \text{ECF} est rectangle en \text{F}.

  • A_{\text{ECF}} = \text{FE} \times \text{FC} \div 2 = \sqrt{31\text{,}25} \times \sqrt{125} \div 2
A_{\text{ECF}} = 31\text{,}25.

L'aire du triangle \text{ECF} est égale à \text{31,25~cm}^2.
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Méthode 2
Pour calculer l'aire d'une forme géométrique inscrite dans une autre forme géométrique, on calcule l'aire totale de cette dernière puis on lui enlève l'aire des formes autres que celle dont on cherche l'aire.

Corrigé 2
  • A_{\text{ABCD}} = 10 \times 10 = 100
    L'aire du carré \text{ABCD }est égale à \text{100~cm}2.
  • \text{AEF} est rectangle en \text{A}, \text{EBC} en \text{B} et \text{CDF} en \text{D}.
    • \text{AF} = 10 \div 2 = 5 \text{cm}
      A_{\text{AEF}} = 2,5 \times 5 \div 2 = 6\text{,}25
      Donc l'aire du triangle \text{AEF} est égale à \text{6,25}~\mathrm{cm}^{2}.
    • \text{EB} = 10 - 2\text{,}5 = 7\text{,}5 \text{cm}
      A_{\text{EBC}} = 7\text{,}5 \times 10 \div 2 = 37\text{,}5
      L'aire du triangle \text{EBC} est égale à \text{37,5}~\mathrm{cm}^{2}.
    • \text{DF} = 10 \div 2 = 5 \text{cm}
      A_{\text{CDF}} = 5 \times 10 \div 2 = 25
      L'aire du triangle \text{CDF} est égale à \text{25}~\mathrm{cm}^{2}.
  • A_{\text{ECF}} = 100 - (6\text{,}25 + 37\text{,}5 + 25) = 100 - 68\text{,}75
    A_{\text{ECF}} = 31\text{,}25
L'aire du triangle \text{ECF} est égale à \text{31,25~cm}2.
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Dans un trapèze

Je structure mon raisonnement

Dans le trapèze \text{BCDE} suivant, les longueurs \text{BC = 6~cm} et \text{BE = 2,5~cm}.
Graphique lié à l'exercice 1
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Coup de pouce
Aire du trapèze :
A = (\text{B} + \text{b}) \times \text{h} \div 2.

Calculez l'aire de ce trapèze.
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